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  • 2013.05.18 Saturday
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index 小学校 算数 目次


ブログ『働きアリ』掲載記事のうち、算数の目次です。
目次の項目にマウスをあててクリックすると、その記事を表示します。

 ///算数////////////////////////////////////////

 算数・数学の言葉 原価・仕入れ値、定価、売り値・売価、利益・値引き

 小 全学年 0をふくむ、かけ算と割り算
 小 全学年 3でわれる数の見つけ方(4・6・8・9でわれる数)
 小 全学年 +-×÷( )を入れて答えが10になる式をつくる問題
 小5・小6 計算を楽にするために(小学生と分配法則)

 小5 整数 素因数分解(連除法・はしご算)と最大公約数・最小公倍数
 小5 整数 3個以上の数の素因数分解(連除法・はしご算)と最大公約数・最小公倍数
 小5 割合 割合・比べる量・もとにする量
 小5 割合 割合、百分率・歩合は、「〜倍」をつけると超簡単
 小5 割合 利益と割引の問題を超簡単に解く方法

 小6 対称な図形 点対称な図形のかき方
 小6 単位量あたり 「単位量あたりの大きさ」を求める問題
 小6 速さ 速さの公式、キ・ハ・ジはキ・恥
 小6 速さ 速さの問題はこれで解ける
 小6 速さ 速さの問題をもっとも簡単に解く方法
 小6 速さ 池のまわりで出会い追いつく問題の考え方
 小6 分数 分数にかけると(分数をわると)整数になる分数
 小6 分数 分数と時間
 小6 分数 分数と速さ
 小6 超簡単 比例 (小学算数)
 小6 超簡単 反比例(はんぴれい) (小学算数)
 小6 おうぎ形の面積を求める3つの方法
 小6 円の問題を解くときに使う3つの技(全体-白、分配法則、移動)
 小6 メートル法と単位
 小6 縮図と拡大図 縮尺

 小 中学受験 計算(1) 計算問題を正確に速く解く
 小 中学受験 計算(2) くふうをしてから解く計算問題
 小 中学受験 計算(3) 未知数を求める計算問題(還元算)
 小 中学受験 計算(4) 約束記号の問題
 小 中学受験 図形(1) 角度の問題は、等しい角を見つけて書き込む
 小 中学受験 図形(2) 面積は、三角形かおうぎ形にして求める
 小 中学受験 図形(3) となりあった三角形の面積は、比で求める
 小 中学受験 図形(4) 形が同じ(相似の)三角形を見つけて、比で解く
 小 中学受験 図形(5) 実は簡単、図形の移動の問題
 小 中学受験 図形(6) 円の中の正方形
 小 中学受験 図形(7) 積み重ねた立方体の表面積
 小 中学受験 図形(8) 斜線部分の面積の求め方
 小 中学受験 図形(9) 容器にものを入れる問題(公式「体積=底面積×高さ」の応用)
 小 中学受験 図形(10) 正三角形・正六角形と面積(同じ形に分けて考える問題)
 小 中学受験 図形(11) 横にした円すいが転がる問題
 小 中学受験 図形(12) 円すいの展開図の中心角と母線・半径
 小 中学受験 図形(13) 円すいの側面積が1秒で求められる公式
 小 中学受験 図形(14) 見取図と展開図の関係

 小 中学受験 和差算 発展問題
 小 中学受験 平均算 発展問題
 小 中学受験 つるかめ算 発展問題
 小 中学受験 年齢算 発展問題
 小 中学受験 消去算 発展問題
 小 中学受験 相当算 発展問題
 小 中学受験 還元算 発展問題
 小 中学受験 のべ算・帰一算 発展問題
 小 中学受験 ニュートン算 発展問題
 小 中学受験 分配算 分配算には3種類のものがある
 小 中学受験 分配算 線分図をかくときのコツ
 小 中学受験 倍数算 2つの比が出てくる問題の解き方
 小 中学受験 仕事算 2つの解き方
 小 中学受験 植木算 発展問題
 小 中学受験 方陣算 発展問題
 小 中学受験 旅人算 発展問題
 小 中学受験 通過算 発展問題
 小 中学受験 流水算 発展問題
 小 中学受験 時計算 発展問題
 小 中学受験 場合の数 発展問題

 小 中学受験 文章題のコツ(1) ほとんどの特殊算は1つの式で解ける
 小 中学受験 文章題のコツ(2) 過不足算・差集め算の応用問題
 小 中学受験 文章題のコツ(3) 比や割合の問題は、1の量を求める
 小 中学受験 文章題のコツ(4) 公倍数を利用して、簡単に解く
 小 中学受験 文章題のコツ(5) 速さの問題を逆比で解く
 小 中学受験 文章題のコツ(6) 差集め算・つるかめ算で解く速さの問題
 小 中学受験 文章題のコツ(7) 分配算を、線分図より簡単な図で解く
 小 中学受験 文章題のコツ(8) 相当算を、分数を使わずに解く
 小 中学受験 文章題のコツ(9) 食塩水の問題は、2種類ある
 小 中学受験 文章題のコツ(10) 時計算は、図の書き方を工夫する
 小 中学受験 文章題のコツ(11) 1から10、1から100、1からnまでの整数の和
 小 中学受験 文章題のコツ(12) 集合(重なり)の問題とベン図

 中学受験の難問 規則性
 中学受験の難問 数列
 中学受験の難問 角度を求める問題
 中学受験の難問 90°30°60°の直角三角形と辺の比

 エッセイ 「式のどこが同じ単位か」の観点から算数の問題を分類する
 エッセイ 立式と途中式は絶対必要、筆算は不要
 エッセイ 塾と学校が逆転
 エッセイ 親の善意が計算力を弱くする場合も…
 エッセイ 5年生で起こる算数の一大革命
 エッセイ エイプリル・フールの大発見(代金・速さ・密度・割合が同じ方法で解ける)


index 高校入試 数学 目次


ブログ『働きアリ』掲載記事のうち、高校入試数学の目次です。
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 数学の言葉 原価・仕入れ値、定価、売り値・売価、利益・値引き
 数学の言葉 利益・割引き

 ・・・・・・・・高校入試数学を解くときの入り口・・・・・・・・
 計算 年号の数字を使った計算問題
 文字式・方程式 規則性の問題の入り口
 関数 グラフの問題の入り口
 平面図形 合同の証明の入り口
 平面図形 相似の問題の入り口
 空間図形 三平方の定理の問題の入り口
 確率 場合の数・確率の問題の入り口

 ・・・・・・・・高校入試数学の頻出事項・・・・・・・・
 三角形ができる条件と最短距離
 空間図形と最短距離
 作図・最短距離の難問
 三角形に内接する円
 立体に内接する球
 ややこしい立体の体積は、柱と錐に分割して求める
 相似の難問を『てこの原理』を使って簡単に解く
 回転体の体積・表面積とパップス・ギュルダンの定理
 1:2:√3から30°60°に気づく
 内接する球・外接する球
 円と接線

 ・・・・・・・・大阪府公立高校入試問題の解説・・・・・・・・
 中3 大阪府 素数 理数科・19年・22年
 中3 大阪府 整数の個数 理数科・19年・20年
 中3 大阪府 規則性 後期B・21年
 中3 大阪府 規則性 理数科・20年
 中3 大阪府 連立方程式 理数科・20年
 中3 大阪府 関数 後期B・21年
 中3 大阪府 関数 理数科・20年
 中3 大阪府 関数 理数科・21年
 中3 大阪府 関数 理数科・22年
 中3 大阪府 関数 後期B選択問題(16〜20年度)
 中3 大阪府 関数 22年後期 A選択
 中3 大阪府 関数 22年後期 B選択
 中3 大阪府 平面図形 後期B・18年
 中3 大阪府 平面図形 後期B・21年
 中3 大阪府 平面図形 理数科・20年
 中3 大阪府 平面図形 理数科・21年
 中3 大阪府 平面図形 理数科・22年
 中3 大阪府 空間図形 後期B・21年
 中3 大阪府 空間図形 理数科・20年
 中3 大阪府 空間図形 理数科・21年
 中3 大阪府 空間図形 理数科・22年
 中3 大阪府 関数・平面図形・空間図形 理数科・21年
 中3 大阪府 確率 前期・19年・理数科・21年
 中3 大阪府 確率 理数科・22年
 中3 大阪府 確率 後期B選択問題(16〜20年度)

 ***平成23年 文理学科問題 後期B問題***
 大阪府23年前期・文理 二元一次方程式と解の個数
 大阪府23年文理学科 関数
 大阪府23年文理学科 平面図形
 大阪府23年文理学科 空間図形(立体図形)
 大阪府23年後期B 関数
 大阪府23年後期B 一次関数・方程式の利用
 大阪府23年後期B 平面図形
 大阪府23年後期B 空間図形


「何のために勉強するのか?」を見つけよう! (アリ塾春期講習ちらしから)

春の第一歩 ア見つめる小学生リ塾 春期講習

人はなぜ勉強しないといけないのでしょうか?
いい学校に進学するためでしょうか?
収入の高い仕事につくためでしょうか?
私はちがうと思っています。
その答えは・・・


幸せな人生を生きるために

勉強をしないといけない理由は、「よい人生」を生きるためです。

自分が持って生まれたはずの才能を十二分に開花させ、人と社会のために役に立つ人生を生き、自分に与えられた環境で自分にできる最大の努力をして、これで悔いはないと笑ってふりかえられるような生活をおくるためです。


勉強とは何か?

私たちの社会は、先人の営々と積み重ねてきた努力の上に成り立っています。
今の快適な生活はすべて、今まで精一杯生きてきた人たちの努力の賜物(たまもの)です。

勉強とは、その先人の過去の努力の過程をたどり、人間が未来に向かって何ができるのかを謙虚に学ぶための作業です。

方程式も、英文法も、理科の公式も、社会の年表も…、勉強することのすべてが「よい人生」を生きるためになくてはならないものばかりだから、私たちは学ばないといけないのです。


すべてのものが生まれかわる春

学舎の横に、一本の梅の木があります。
今まさに開花して、多くの小鳥がその恵みに誘われて集まってきています。
私も梅の木を見るたびに、新しい年度を迎え、新しい塾生に出会える感謝の心に満たされます。

アリ塾の春期講習は、皆さんが心新たに、さあ頑張るぞと闘志を燃やし、やる気を喚起するための講習会です。


塾が成績を伸ばすのではありません。

1週間ぶりに顔を見て、お、また背が伸びたなと言うことがよくあります。
しかし、子どもの背が伸びたのは自分のおかげだと誇る親はいません。
子どもたちは自分の力で伸びるのです。

学力も同じです。
子どもは自分の努力で伸びるだけです。
塾ができるのは、よい学習環境を整備し、適切な学習指導を通して、頑張れ頑張れと応援することだけです。

そんなアリ塾の春期講習会ですが、私たちと一緒に新たな春の第一歩を踏み出しませんか。


English 高校入試英語 並べ替え(語順整序)問題 究極の解法

英語の本高校入試英語の並べかえ問題(語順整序の問題)を確実に解く方法を考察します。





並べかえ問題(語順整序の問題)の究極的解法

並べかえ問題を解くときは、常に2段階の頭の使い方をするべきです。

1、入試問題は、受験生が当然知っていないといけない重要事項だけが問われます。
(1)重要な文法事項
(2)重要な英語構文
(3)重要な連語
のうち、「何が問題として問われているのか」を考えると正解に速く到達できます。

2、英語の語順の大原則である、主語動詞+(目的語)を常に意識して問題を解きます。
(1)特に、動詞をどこに置くかが決め手になることが多い。
(2)疑問文であることや時制などがヒントになることが多い。

つまり、重要なことのうち何が問われているのかを考察し、英語の語順の原則に従っているかどうかを確認する、という2段階の手順をふむとよいのです。

では、実際の問題で練習してみましょう。


重要な文法事項が問われている問題

例題1:次の語や句を並びかえて、英文を完成させなさい。ただし、文頭にくる語も小文字で示してあります。
(1)How (you / lived / have / long) in this town?
(2)(have / to / often / you / how / Paris / been)?
(3)Kumiko was very (beautiful / see / glad / sunset / to / the) .
(4)My father (me / a singer / be / to / want / doesn't).
(5)
I (by / asked / the teacher / was / some questions).
(6)
You can find something that (people / happy / makes / other).
(7)
I (an English teacher / like / because / would / to / be / in the future) I love English.
(8)I also hope everyone can (world / love / filled / live / with / a / in) and peace.


解法と正解

(1)How (you / lived / have / long) in this town?(疑問詞)

(解法)文頭のHowから、期間を尋ねるHow long(どれくらいの間)にしたらよいとわかります(ここでlongを消しておきます)。
そうすると、残ったyou / lived / have /から、疑問文なのでhave you livedの語順が頭にうかんできます。

(正解)How long have you lived in this town?(あなたはどれくらいの間この町に住んでいますか。)


(2)(have / to / often / you / how / Paris / been)? (疑問詞)

(解法)末尾の?から疑問文であり、疑問詞howがあるので、頻度を尋ねるHow often(何回)で始めたらよいとわかります。
残ったhave / to / often / you / how / Paris / beenを眺めて、現在完了形の疑問文であることから、have you been to Parisの語順がうかんできます。

(正解)How often have you been to Paris?(あなたは何度パリに行ったことがありますか。)


(3)Kumiko was very (beautiful / see / glad / sunset / to / the) .(不定詞)

(解法)選択肢中のgladやtoからbe glad to…(…してうれしい)を理解しているかどうかを試す問題だとわかります。
toの後は動詞の原形だから、Kumiko was very glad to seeまでが決まります。
残ったbeautiful / see / glad / sunset / to / theを眺めると、the beautiful sunsetがseeの目的語です。

(正解)Kumiko was very glad to see the beautiful sunset.(くみこは美しい日没を見てとてもうれしかった。)


(4)My father (me / a singer / be / to / want / doesn't).(不定詞・want)

(解法)主語のMy fatherの後だから、動詞がwantがくること、その前にdoesn'tが入ることを確認しておきます。
次に、目的格のmeがあるので、want to(〜したい)ではなくて、want 人 to(…に〜してほしい)がわかっているかどうかを尋ねる問題だとわかります。
doesn't want me to beで、「私になってほしくない」のです(ここでのbeは、becomeと同じ「なる」という意味です)。

(正解)My father doesn't want me to be a singer.(私の父は私に歌手になってほしくない。)


(5)I (by / asked / the teacher / was / some questions).(受け身・文型・ask)

(解法)be動詞のwasがあり、過去分詞のaskedがあるので、受け身です。書き出しは、I was askedとなります。
askは第4文型の動詞ですから、The teacher asked me some question.を受け身にしたもので、直接目的語のsome questionがaskedの後にきます。

(正解)I was asked some question by the teacher.(私は先生にいくつかの問題を尋ねられた。)


(6)You can find something that (people / happy / makes / other).(関係代名詞・文型・make)

(解法)かっこ前のthatは、somethingの直後なので、接続詞ではなくて関係代名詞であり、かっこ内の節(文)が後ろからsomethingを修飾します。
そして、「〜を…にする」のmakeが重要だから出題されていると気づかないといけません。make other people happyの語順になります。

(正解)You can find something that makes other people happy.(あなたは他の人を幸せにする何かを見つけられます。)


(7)I (an English teacher / like / because / would / to / be / in the future) I love English.(would like to・接続詞)

(解法)主語Iの後に、「〜したい」のwould like toがくることにまず気づかないといけません(間違いないと確信できる語を最初に見つけておくと、後が相当楽になります)。
I would like toの後は動詞の原形がくるはずなのでbeであり、そうするとbe an English teacher(先生になる)が続くであろうと予想できます。
I would like to be an English teacherの後は、(an English teacher / like / because / would / to / be / in the future) のうちin the futureであり、最後にI love Englishの前に接続詞のbecauseがくることがわかります。

(正解)I would like to be an English teacher in the future because I love English.(私は、英語が好きだから、将来英語の先生になりたい。)


(8)I also hope everyone can (world / love / filled / live / with / a / in) and peace.(分詞)

(解法)助動詞canの後にくるのは動詞の原形です。loveかliveが候補ですが、「〜で満ちた」という連語(be)filled withの目的語がloveでしょうから、canの後はliveだと推測します(「〜に住む」の連語、live inも頭にうかべておきます)。
すると、I also hope everyone can live in a worldまで、できあがります。
残ったもの(world / love / filled / live / with / a / in)から、worldを後ろからfilled with love (and peace)(愛と平和にみちた)が修飾するであろうことがわかります。

(正解)I also hope everyone can live in a world filled with love and peace.(私はまた、すべての人が愛と平和にあふれた世界に住むことができることを望む。)


重要な英語構文が問われている問題

例題2:次の語や句を並びかえて、英文を完成させなさい。ただし、文頭にくる語も小文字で示してあります。
(1)(to / something / would / hot / I / like) eat.
(2)(hard / the examination / worked / to / he / enough / pass).

(3)I don't (do / know / to / what) with her.
(4)
Do you know (Europe / father / for / leave / when / will / your)?
(5)
We have to get up early to (the breakfast / eat / for / make / our mothers / us).
(6)
The book (by a friend of mine / in London / who / lives / was sent / I am reading now).
(7)(every day / necessary / the piano / isn't / it / practice / is / to / it / ,)?
(8)It was (sleep / hot / couldn't / I / so / that) at all last night.



解法と正解

(1)(to / something / would / hot / I / like) eat.(特殊な語順)

(解法)並べかえ問題によく出る問題の一つにsomething,anything,nothing関連のものがあります。「何か冷たい飲み物」something cold to drinkや「何かあたたかい食べ物」something hot to eatを暗記しておくべきです。
この問題ではI would likeの後、something hot to eatとなります。

(正解)I would like something hot to eat.(私は何かあたたかい食べ物がほしい。)


(2)(hard / the examination / worked / to / he / enough / pass).
(特殊な語順)

(解法)enoughも、「〜するほど…だ」、「とても…だから〜した」という意味の特殊な語順である「形容詞+enough+to〜」となる語なので、並べ替え問題によく出題されます。
主語+動詞のHe workedの後、hard enough to passと続きます。

(正解)
He worked hard enough to pass the examination.
(かれは一生懸命勉強したから試験に合格した。)


(3)I don't (do / know / to / what) with her.
(疑問詞+to)

(解法)「疑問詞+to」の理解を問う問題です。

(正解)I don't know what to do with her.(彼女に何をしたらよいかわからない。)


(4)Do you know (Europe / father / for / leave / when / will / your)?
(間接疑問文)

(解法)間接疑問文の語順である、「疑問詞+主語+動詞〜」がわかっているかどうかを問う問題です。

(正解)Do you know when your father will leave for Europe?(あなたはお父さんがいつヨーロッパに出発するか知っていますか。)


(5)We have to get up early to (the breakfast / eat / for / make / our mothers / us).
(関係代名詞)

(解法)「先行詞+関係代名詞+主語+動詞〜」の語順を問う問題です。
We have to get up early toの後には動詞の原形のeatがきます。
その後に、動詞eatの目的語のthe breakfast、そしてそれを修飾する、(関係代名詞)+主語+動詞〜の、our mothers make for usが続きます(この問題では目的格の関係代名詞が省略されています)。

(正解)We have to get up early to eat the breakfast our mothers make for us.(私たちは母たちが私たちのために作る朝食を食べるために早く起きないといけない。)


(6)The book (by a friend of mine / in London / who / lives / was sent / I am reading now).(関係代名詞)

(解法)まず、the bookを修飾する関係代名詞節は、(関係代名詞(省略))+I am reading nowです。
これが主語にあたり、その後、was sent by a friend of mineと続きます。
そして、a friend of mineを、関係代名詞に導かれた節であるwho lives in Londonが修飾します。

(正解)The book I am reading now was sent by a friend of mine who lives in London.(私が今読んでいる本は、ロンドンに住んでいる友人から送られたものです。)


(7)(every day / necessary / the piano / isn't / it / practice / is / to / it / ,)?(It is…to…、付加疑問)

(解法)It is〜to…の文であることと、付加疑問文でもあることに気づいたら、容易に解くことができます。

(正解)It is necessary to practice the piano every day, isn't it?(毎日ピアノを練習することが必要ですね。)


(8)It was (sleep / hot / couldn't / I / so / that) at all last night.(so 〜that …can't…)

(解法)so〜that…can't…「とても〜だから…できない」の文だと気づいたら、容易に語順が決まります。

(正解)It was so hot that I couldn't sleep at all last night.(昨夜はとても暑くて全く眠れなかった。)


重要な連語が問われている問題

例題3:次の語や句を並びかえて、英文を完成させなさい。
(1)My (swimming / good / not / very / at / is / friend).
(2)Thank you (coming / see / me / for / to).
(3)Don't (out / go / telling / without / me).
(4)Mt. Fuji is (most / one / the / beautiful / mountains / of) in Japan.



解法と正解

(1)My (swimming / good / not / very / at / is / friend).(連語・be good at)

(解法)選択肢を眺めて、「〜することが得意である」be good at+〜ingの文を作ることに気づけば簡単に解けます。

(正解)My friend is not very good at swimming .(私の友人はそんなに泳ぐのが得意ではない。)


(2)Thank you (coming / see / me / for / to).
(連語・thank you for)

(解法)文の書き出しから、「〜してくれてありがとう」thank you for+〜ingの文であることに気づくべきです。
「会いにくる」come to seeも暗記事項です。

(正解)Thank you for coming to see me.(私に会いに来てくれてありがとう。)


(3)Don't (out / go / telling / without / me).
(連語・without+〜ing)

(解法)「〜しないで」という意味の、前置詞without+〜ingの文であることさえわかれば簡単です。
否定命令文ですから、don'tの後に動詞の原形がきます。

(正解)Don't go out without telling me.(私に言わないで外に出てはいけません。)


(4)Mt. Fuji is (most / one / the / beautiful / mountains / of) in Japan.
(連語・比較)

(解法)「最も〜なうちの一つ」という連語、one of the+最上級を暗記しておけば、間違えることはないでしょう。

(正解)Mt.Fuji is one of the most beautiful mountains in Japan.(富士山は日本で最も美しい山の一つです。)


最近の入試問題に多い出題形式

最近の入試問題の出題形式として多いのは、次のような問い方をする問題です(高校入試だけでなく、センター試験や英検の並べかえ問題もこの形式です)。

例題4:次の語や句を並びかえて英文を完成させたとき、2番目と5番目にくる語を答えなさい。

He is (any / the / class / student / other / taller / than / in).



(解法)よくないのは、時間をかけないでいきなり2番目と5番目にくる語を探す解き方です。
必ず、きちんとした英文を書いてのち、その書いた文の2番目と5番目の単語を答えるべきです。

(正解)この問題は、「他のどの〜よりも…だ」という連語、比較級+than+any+otherを問う問題です。
He is taller than any other student in the class.(彼はクラスのどの生徒よりも背が高い。)
したがって、答えは、2番目がthanで5番目がstudentです。


並べかえ問題(語順整序問題)の解法まとめ


1、重要なことのうち何が問われているのかを考察し
2、英語の語順の原則に従っているかどうか
を確認する

受験生が当然知っていないといけない重要なこととは…
(1)重要な文法事項
(2)重要な英語構文
(3)重要な連語

2、英語の語順の原則とは…
(1)主語動詞+(目的語)の語順を常に意識する
(2)疑問文であることや時制などがヒントになる





(英語の、さらに詳しい説明は『英語・分野別・目次』からたどってご覧ください。)

math 関数の難問を解くたった一つの方法(東京都と大阪府の入試問題を解く)

コメント欄に寄せられた質問:「平成19年度都立入試数学の3番目の問3で悩んでいます。」
確かに、関数の分野では一番難しい問題であり、Hさんが悩むのもうなずけます。

ところが、関数のすべての難問は、たった一つの解き方で解くことができます。

その方法とは…
1、座標を書き込む
2、x座標tとし、y座標tの式で表す
3、問題文から、tを使って方程式をつくり、解く

この3段階で、ほぼすべての関数の難問を解くことができます。


東京都の問題も

19年度都立高校入試、3番の問い3(一部表現をかえています)
東京都19年3-1図で、点Aの座標は(-4,-3)であり、直線Lはy=-x+5のグラフである。直線Lとy軸との交点をB、直線L上にありx座標が8より小さい正の数である点をPとする。
2点A、Pを通る直線をMとし、直線Mとy軸との交点をQとする。
2点A、Bを結び、点Pを通りx軸に平行な直線をひき、線分ABとの交点をRとする。
△BRPの面積が27のとき、△APRの面積はいくらか。




手順1、座標を書き込む
東京都19年-2まず、問題文に書いてあった、Lの式y=-x+5と、点Aの座標(-4,-3)を記入します。
点Bの座標(0,5)も忘れずに記入しておきます。

次に、点Aと点Bを通る直線の式を求めます。
点Aと点Bの座標から、xが-4から0まで4増加し、yが-3から5まで8増加しているので、傾きが8/4、すなわち2であることがわかります。
また、切片は5です。
すなわち、点A、Bを通る直線の式はy=2x+5です。
これを書き込みます。


手順2、x座標をtとし、y座標をtの式で表す
さらに、点Pと点Rの座標を書き込みます。
点P、Rの座標を書き込まないといけない理由は、この問題を解くかぎである△BRPと△APRの面積を考えるのに、点P、点Rの座標が不可欠だからです。

そして、この問題のように問題文の中に点P、点Rの座標について何も書かれていないときは、点Pのx座標をtと決めてしまいます。
そうすると、点Pがグラフy=-x+5上の点なので、xにtを代入して、y=-t+5だとわかります。
すなわち、点Pの座標は(t,-t+5)です。

次に、点Rの座標ですが、直線PRがx軸に平行であることから、点Rのy座標は点Pと同じ-t+5です。
このyの値を、点Rを通る直線の式、y=2x+5に代入します。
-t+5=2x+5
-2x=t+5-5
-2x=t
x=-t/2
つまり、点Rの座標は(-t/2,-t+5)です。


手順3、問題文から、tを使って方程式をつくり、解く
問題文の、「△BRPの面積が27」から、tを使って方程式をつくります。
修正後
このとき、特に気をつけないといけないのは、点Rの座標(-t/2,-t+5)のx座標、y座標ともに負の数だということです。

座標が負の数のとき、距離に負の数はありませんから、距離は正の数になります。
つまり、符号を逆にしないといけません。

以上より、図のように、△BRPの底辺の長さはt/2+t、高さは5+(t-5)となります。
△BRPの面積が27であることから方程式をつくると、
(t/2+t)×(5+t-5)×1/2=27
この方程式を解いて、
3/2t×t×1/2=27
t2=36
t>0より、t=6

以上より、点Rの座標は、(-t/2,-t+5)にt=6を代入して、R(-3,1)です。

これで、△APRの面積を求めることができます。

東京都19年-4△BRPと△APRはとなり合った三角形なので、2つの三角形の面積の比は、底辺であるBPとRAの比と一致します。

また、点A(-4.-3)、点R(-3,-1)、点B(0,5)から、左図のようにx座標の比は1:3です。

ARとRBの比もこれと同じ比になり、1:3です。


そして、△BRPと△APR、2つの三角形の面積の比は、底辺であるBPとRAの比と一致します。

△APRの面積をxとすると、
27:x=3:1
3x=27
x=9

△APRの面積は9です。


補足
(AR:RB=1:3になることの補足説明)

Aを通るx軸に平行な直線とy軸との交点をS、Rを通るy軸に平行な直線と直線ASとの交点をTとすると、
△RAT∽△BASだから、AT:TS=1:3のとき、AR:RB=1:3になります。










大阪府の問題も

24年度府立高校入試、後期B問題1(6)(一部表現をかえています)
大阪府24年1(6)図においてmはy=2/3x2のグラフを、nはy=a/xのグラフを表す。aは0<a<18の定数である。
A、Bはm上の点であり、Aのx座標は-2であり、Bのx座標は3である。
C、D、Eはn上の点であり、Cのx座標はAのx座標と等しく、Dのy座標はBのy座標と等しく、Eのx座標はBのx座標と等しい。
AC=BEであるとき、線分BDの長さを求めよ。








手順1、座標を書き込む
大阪府24年1(6)の2まず、問題文に書いてあった、mの式y=2/3x2とnの式y=a/x、点Aの座標(-2,*)と点Bの座標(3,*)を記入します(*印のところは空けておきます)。
点Eと点Bのx座標が等しく、点Cと点Aのx座標が等しいので、点Eの座標(3,*)、点Cの座標(-2,*)も忘れずに記入しておきます。









2、x座標tとし、y座標tの式で表す
この問題は、東京都の問題より一つだけ易しい問題です。
すでにx座標がわかっているので、x座標をtとする必要はありません。

それぞれの点を通っているグラフの式にx座標を代入して、点A、B、C、Eのy座標を書き込んでいきます。

3点A、Bは放物線y=2/3x2上の点なので、式y=2/3x2にx座標の数を代入して、点Aの座標は(-2,8/3)、点Bの座標は(3,6)となります。
点C、Eは双曲線y=a/x上の点なので、式y=a/xにx座標の数を代入して、点Cの座標は(-2,-a/2)、点Eの座標は(3,a/3)となります。









手順3、問題文から、方程式をつくり、解く
問題文の、「AC=BEである」から、方程式をつくります。

BEの長さは、点Bのy座標から点Eのy座標をひいた6-a/3です。

次にACの長さです。ACの長さは点Aのy座標に、x軸から点Cまでの距離をたしたものです。
気をつけないといけないのは点Cのy座標が負の数であることです。座標が負の数のとき、距離は正の数だから符号をかえないといけません。
ACの長さは、8/3+a/2です。

以上より、AC=BEから、方程式、6-a/3=8/3+a/2ができます。
この式の両辺に6をかけて、36-2a=16+3a
-5a=-20
a=4

こうして、放物線の式が、y=4/xであることがわかりました。

これで、線分BDの長さを求めることができます。

まず、点Dのy座標は点Bのy座標と等しいから6
点Dは双曲線y=4/x上の点だから、y=4/xの式にy=6を代入して6=4/x
6x=4だから、x=2/3
点Dの座標は(2/3,6)です。

線分BDの長さは、点Bのx座標から点Dのx座標をひいた、3-2/3=7/3です。




(数学の、さらに詳しい説明は『中学校・数学・学年別・目次』からたどってご覧ください。)

《世界一やさしい》 円の面積を求める問題の解き方


小学6年生で習う、円の面積の問題の解き方を世界一やさしく解説します。

今から学ぶこと

1、円の面積を求める式…円の面積=半径×半径×3.14
2、円の一部の面積を求める式…円の面積の一部=半径×半径×3.14×中心の角/360°
3、色(かげ)がついた部分の面積の求め方…全体-白い部分



これだけは理解しよう

1、円の面積は、半径×半径×3.14の式で求めることができる
円の面積は、半径×半径×3.14の式で求められます。

例題1:次の円の面積を求めなさい。
(1)半径3cmの円
円周2






(2)直径10cmの円

円周1







(解答)
(1)円の面積を求める式、半径×半径×3.14にあてはめて、円の面積=3×3×3.14=28.26cm2

(2)まず、半径の長さを先に求める。半径は直径の半分だから、10÷2=5cm。
これを円の面積を求める式、半径×半径×3.14にあてはめて、円の面積=5×5×3.14=78.5cm2

(参考)
何度か問題を解くうちに、3.14のかけ算の答えが頭に残っていきます。
2×3.14=6.28
3×3.14=9.42
4×3.14=12.56
5×3.14=15.7


答えをぼんやりとでも覚えておくと、計算間違いを減らすことができます。


例題2:次の問いに答えなさい。
(1)円周の長さが43.96cmの円の面積を求めなさい。

(2)面積が113.04cm2の円の半径を求めなさい。


(解答)
(1)まず、5年生で習った、円周=直径×3.14の式を使う。
円周÷3.14で、直径を求めることができる。
直径=43.96÷3.14=14cm。
直径が14cmだから、半径は7cm。
円の面積=半径×半径×3.14
=7×7×3.14
=153.86cm2

(2)円の面積=半径×半径×3.14の式から、面積÷3.14で、(半径×半径)がわかる。
半径×半径=円の面積÷3.14
=113.04÷3.14
=36
半径×半径=36より、同じ数をかけて36になる数を見つける。
6×6=36だから、半径は6cm


(参考)
4=2×2
9=3×3
16=4×4
25=5×5


のような、同じ数をかけた積である4、9、16、25、36、49…平方数といいます)は、数学でしばしば出現します。


2、円の一部(おうぎ形といいます)の面積を求めるときは、円の何分の何になるかを、式の最後につけ加える
円の一部の面積を求めるときは、「円全体のどれだけにあたるか」を考えたら求めることができます。

360円全体の、中心をぐるっとまわる角度は360°です。







90だから、円の一部が「円全体のどれだけにあたるか」は、中心の角が円全体360°のどれだけにあたるかを、中心の角/360°の式をつけ加えることで求めたらよいことになります。

左の図形だと、円全体6×6×3.14の式に、中心の角/360°をつけ加えたらよいわけです。
6×6×3.14×90/360
=6×6×3.14×1/4
=3×3×3.14(6×6と1/4の約分を先にしておきます)
=28.26cm2


例題3:次の図形の面積を求めなさい。
(1)

45






(2)
30






(3)
135








(解答)
(1)8×8×3.14×45/360
=8×8×3.14×1/8(45/360を先に約分する)
=1×8×3.14(ここでも約分を先にする)
=25.12cm2

(2)6×6×3.14×30/360
=6×6×3.14×1/12
=1×3×3.14
=9.42cm2

(3)6×6×3.14×135/360
=6×6×3.14×3/8(135/360を先に約分する)
=3×3×3.14×3/2(約分できるものは先に約分)
=3×3×3.14×3÷2(分母が残るので、かけ算を先にして)
=84.78÷2(最後にわり算をする)
=42.39cm2


3、色(かげ)がついた部分の面積の求め方…全体-白い部分
円の面積に限らず、色(かげ)がついた部分の面積は、全体の面積から、不要な白い部分の面積を引いて求めるのが原則です。

例題4:次の図形の、かげをつけた部分の面積を求めなさい。
(1)
かげ1(解答)
全体-白い部分
=半径2cmの円-半径1cmの円
=2×2×3.14-1×1×3.14
=(2×2-1×1)×3.14
=3×3.14
=9.42cm2


(2)
かげ2(解答)
白い部分は、4つ集めると1つの円になる。
全体-白い部分
=1辺8cmの正方形-半径4cmの円
=8×8-4×4×3.14
=64-50.24
=13.76cm2



(3)
かげ3(解答)
全体-白い部分
=半径10cmの円の4分の1-底辺10cmで高さ10cmの三角形
=10×10×3.14×1/4-10×10÷2
=25×3.14-50
=78.5-50
=28.5cm2


(4)
かげ4










(解答)
いろいろな解き方があるが、1つ上の(3)の問題の解き方を応用すると最も簡単に解ける。
かげ4の2
正方形の対角線を1本引くと、(3)の図形が2つ分だということがわかる。

=(半径10cmの円の4分の1-底辺10cmで高さ10cmの三角形)×2
=(10×10×3.14×1/4-10×10÷2)×2
=(25×3.14-50)×2
=(78.5-50)×2
=28.5×2
=57cm2



これだけ、理解して覚えておけば大丈夫

1、円の面積を求める式…円の面積=半径×半径×3.14
2、円の一部の面積を求める式…円の面積の一部=半径×半径×3.14×中心の角/360°
3、色(かげ)がついた部分の面積の求め方…全体-白い部分



(参考)
円の面積が、半径×半径×3.14で求められる理由・・・

例えば、半径が10cmの円を考えてみましょう。
円の面積の公式
この円を、30°きざみに半径で切り分けます。

切り分けた12個の図形を、下の図のように交互に並べます。
円の面積の公式2
交互に並べた左の図形は、平行四辺形に近い形をしています。
平行四辺形の面積は、底辺×高さの式で求めることができますが、この平行四辺形に近い図形では、底辺は、円周(=円のまわりの長さ)の半分に近い長さであること、高さ半径の長さと等しいことがわかります。

さらに小さく、15°きざみで切り分けて、交互に並べます。
円の面積の公式3
やはり、平行四辺形に近い形で、底辺円周(=円のまわりの長さ)の半分に近い長さであること、高さ半径の長さと等しいことがわかります。

そして、小さい角度で切れば切るほど、底辺に当たる部分が直線に近くなり、底辺の長さが円周の半分の長さに近くなっていくこともわかります。

以上の考察から、さらにもっともっと小さい角度で円を切り分けていけばいくほど、円の面積は、底辺円周の半分で、高さが円の半径である平行四辺形の面積と同じになっていくと考えることができるはずです。

円の面積=円を切り分けて並べた平行四辺形の面積
=底辺×高さ
ところが、底辺円周の半分高さ半径だから、
=円周の半分×半径
円周は直径×3.14で求められるから、円周の半分=直径×3.14÷2、
=直径×3.14÷2×半径
直径は半径×2だから、
=半径×2×3.14÷2×半径
=半径×3.14×半径
=半径×半径×3.14



(算数のさらに詳しい説明は『小学校算数・目次』からたどってご覧ください。)


《世界一やさしい》 円周率と、円周を求める問題の解き方


小学5年生で習う円周率と、円周の問題の解き方を、世界一やさしく解説します。


今から学ぶこと

1、円周率…円周(円の周りの長さ)は直径の約3.14倍であり、この3.14…のことを円周率という
2、円周の長さを求める式…円周=直径×3.14
3、円周の一部の長さを求める問題…円周の何分の一かを先に求めてから、円周をわる



これだけは理解しよう

1、円周(円の周りの長さ)は、直径の約3.14倍である
円の周りの長さは、直径約3.14倍であることがわかっています。

円周直径何倍かを表す数を円周率といいます。
どんな円でも、円周が直径の何倍かは同じ数になります。

円周率を簡単に求めるには、筒(つつ)型の容器を用意し、筒の周囲に糸をまきつけて糸の長さを測り、次に、直径の長さをものさしで測り、糸の長さを直径の長さでわって求めることができます(完全に正確に測ることは不可能なので、正確な円周率ではなくて、だいたいの数しかわかりません)。

円周率を正確に求める式はいくつかあり(高校以上の数学で習います)、円周率は、不規則な数字が永遠に続く小数であることがわかっています。
円周率は、
3.1415926535…と不規則な数字が永遠に続く小数であり、現在、コンピューターを使って、ほぼ小数点以下10兆けたまでの数値が判明しています。

小学生は、円周率として、実際の数値に近い値である3.14倍を使って問題を解きます。


2、円周の長さを求めるは、円周=直径×3.14
円周の長さは直径の3.14倍だとわかっているので、円周の長さは円周=直径×3.14の式にあてはめると求められます。

例題1:次の円の円周の長さを求めなさい。
(1)直径10cmの円
円周1






(2)半径3cmの円

円周2







(解答)
(1)円周を求める式、円周=直径×3.14の式にあてはめて、円周=10×3.14=31.4cm

(2)まず、直径の長さを先に求める。直径は半径の2倍だから、3×2=6cm。
これを円周=直径×3.14の式にあてはめて、円周=6×3.14=18.84cm


例題2:円周の長さがわかっているとき、次の問いに答えなさい。
(1)円周の長さが15.7cmの円の直径を求めなさい。
直径






(2)円周の長さが25.12cmの円の半径を求めなさい。
半径








(解答)
(1)円周=直径×3.14だから、円周÷3.14で直径の長さが求められる。
15.7÷3.14=5cm

(2)まず、円周÷3.14=直径の式を使って、直径を求める。
25.12÷3.14=8cm(直径)
半径は直径の半分の長さだから、半径は8÷2=4cm


3、円周の一部(弧(こ)といいます)の長さを求めるときは、円周の何分の一になるかを先に求めてから、円周をわる
円周の一部の長さを求めたいときは、その図形が円全体の何分の一にあたるかを先に求めておきます。

180度360度例えば、円の中心をはさむ半径の角度が180°のとき(これを半円といいます)、円の中心をぐるっとまわる角度は360°ですから、その図形は、360÷180=2より、円の2分の1の大きさだとわかります。



90度また、円の中心をはさむ半径の角度が90°なら、360°÷90=4より、その図形は円の4分の1です。



例題3:次の各問いに答えなさい。
(1)次の図形の、円周の一部にあたる部分の長さを求めなさい。
45度






(2)次の図形のまわりの長さを求めなさい。

30度





(解答)
(1)(1)の図形は、360°÷45°=8より、円の8分の1の図形。
だから、円周の一部にあたる部分は、円周全体の8分の1。
また、直径は半径8cmの2倍の16cm。
円周の8分の1だから、直径×3.14÷8=16×3.14÷8=16÷8×3.14=2×3.14=6.28cm

(2)「まわりの長さ」とは、円周の一部だけではなくて、まわり全部の長さのことだから、半径の部分もふくむ。
まず、円周の一部にあたる部分の長さを求める。
(2)の図形は、直径が6×2=12cmで、360÷30=12だから、円全体の12分の1である。
円周=直径×3.14より、円周の一部にあたる部分の長さは12×3.14÷12で求められる。
12×3.14÷12=12÷12×3.14=1×3.14=3.14cm。
円周の一部にあたる部分の長さは3.14cm。

まわりの長さは、この長さに半径2つ分が加わるから、3.14+6+6=15.14cm


(参考)
円周を求める問題では、計算の工夫をすると、解く時間も短くてすみ、間違いも減ります。
例えば、16×3.14÷8を計算するとき、正直に16×3.14をしてから、その答えを8でわるのは遠回りです。
16×3.14÷8を16÷8×3.14と順序をかえると、16÷8=2なので、2×3.14の計算だけをしたらよいことになり、とても計算が楽になります。




例題4:運動場に、図のようなトラックがあります。このトラックのまわりにそって走ると何m走ることになりますか。
トラック







(解答)
トラックのうち、直線ではない部分を2つ合わせると1つの円の円周になる。
円周の部分の長さは、円周=直径×3.14より、50×3.14=157m。
この長さに、直線部分の50m×2=100mを加えると、100+157=257m


例題4:図の四角形は1辺が8cmの正方形です。色をぬった部分のまわりの長さを求めなさい。
弓形






(解答)
色をぬった部分のまわりは、円周の一部であり、2つの部分を合わせるとちょうど円の半分になる。
半径8cmだから、直径は8×2=16cm。
直径16cmの円の円周の長さの半分だから、16×3.14÷2=16÷2×3.14=8×3.14=25.12cm



これだけ、理解して覚えておけば大丈夫

1、円周率…円周(円の周りの長さ)は直径の約3.14倍であり、この3.14…のことを円周率という
2、円周の長さを求める式…円周=直径×3.14
3、円周の一部の長さを求める問題…円周の何分の一かを先に求めてから、円周をわる





(算数のさらに詳しい説明は『小学校算数・目次』からたどってご覧ください。)


《世界一やさしい》 反比例


小学6年生で習う反比例を、世界一やさしく解説します。


今から学ぶこと

1、(反比例とは)一方が2倍、3倍、…のとき、他方は1/2、1/3…
2、(反比例の)y=決まった数÷x
3、(反比例のグラフなめらかな曲線
4、(反比例の文章題
×かけて全体を求めてから、÷わる


これだけは理解しよう

1、反比例とは)一方が2倍、3倍、…のとき、他方は1/2、1/3…
2つの数、xとyがあって、xが2倍、3倍、…になると、逆にyは1/2、1/3、…になる関係を、反比例といいます。

(例)24Lの水が入る水そうに水を入れるとき、1分間に入れる水の量をxL、水そうを一杯にするのにかかる時間をy分とします。
反比例の表1分間に入れる水の量が1L、2L、3L、…と増えると、かかる時間のほうは24分、12分、8分…と、1/2、1/3、…に減っていきます。

このとき、時間は、(1分間に入れる)水の量に反比例するといいます。


例題1:次のことがらのうち、yがxに反比例するものをいいなさい。
(1)1mの重さが20gの針金の、長さxmと重さyg
(2)面積12cm2の長方形の、縦の長さxcmと横の長さycm
(3)正方形の、1辺の長さxcmと周りの長さycm
(4)18kmの道のりを進むとき、進む速さ分速xkmとかかる時間y分


(解答)
(1)長さが2倍、3倍…になると、重さも2倍、3倍…になるから、比例であって、反比例ではない
(2)縦の長さが2倍、3倍…になると、横の長さは逆に1/2、1/3…になるから、反比例
(3)1つの辺の長さが2倍、3倍…になると、周りの長さも2倍、3倍…になるから、比例であって、反比例ではない
(4)進む速さが2倍、3倍…になると、かかる時間は逆に1/2、1/3…になるから、反比例


2、(反比例の)y=決まった数÷x
反比例の式は、y=決まった数÷xと表わす決まりになっています。
「決まった数」は、自分で見つけないといけません。

では、決まった数はどうしたら見つかるでしょうか?

24Lの水が入る水そうに水を入れるとき、1分間に入れる水の量をxL、水そうを一杯にするのにかかる時間をy分とすると、
反比例の表2表の上の水の量と、表の下の時間をかけると、いつも積は24になっていることに気づいてください。
この24が、「決まった数」です。
このとき、式は、y=24÷xとなります。

つまり、「決まった数」は、x×yで求められます。

さらに、「決まった数」は、水そうに入る水の量全体です。

例題2:yとxの関係を式に表しなさい。
(1)
面積12cm2の長方形の、縦の長さxcmと横の長さycm
(2)18kmの道のりを進むとき、進む速さ分速xkmとかかる時間y分

(解答)
(1)縦×横の答えがいつも12cm2になる関係だから、y=12÷x
(2)分速×時間の答えがいつも18kmになる関係だから、y=18÷x


3、(反比例のグラフなめらかな曲線
反比例する2つのものはグラフに表すことができます。

(例)面積12cm2の長方形の、縦の長さxcmと横の長さycmの関係をグラフに表すと、
反比例のグラフ

縦1cmで横12cm、縦2cmと横6cm、縦3cmと横4cm、縦4cmと横3cm、縦6cmと横2cm、縦12cmと横1cmの点を先に打ち、それを通るなめらかな曲線を引きます。

なめらかな曲線ですから、定規を使わないで手だけで線をかいていきます。

グラフの左端の線、下端の線に、どんどん近づきますが、交わってはいけません。
また、左端の線、下端の線に近づくだけで、離れることはありません。
反比例のグラフ2













反比例のグラフは、左端と下端にどんどん近づく、なめらかな曲線になります。


4、(反比例の文章題×かけて全体を求めてから、÷わる
反比例の式が、y=決まった数÷xなので、先にかけ算で、決まった数(=全体)を見つけてから、その数をわると、問題を解くことができます。

例題3:自分の家から遊園地へ行くのに、時速24kmで進むと2時間かかります。
(1)時速16kmで進むと、何時間で着きますか。
(2)家を出てから1時間30分で着くには、時速何kmで進まないといけませんか。


(解答)
先に、24×2を計算して、家から遊園地までの道のり全体を求めておきます。
24×2=48km
家から遊園地までの道のりは48kmです。
これを使って、問題を解きます。

(1)48kmの道のりを時速16kmの速さで行くので、48÷16=3時間

(2)48kmの道のりを1時間半(=1.5時間)で行くので、48÷1.5=時速32km




これだけ、理解して覚えておけば大丈夫

1、(反比例とは)一方が2倍、3倍、…のとき、他方は1/2、1/3…
2、(反比例の)y=決まった数÷x
3、(反比例のグラフなめらかな曲線
4、(反比例の文章題
×かけて全体を求めてから、÷わる




(算数のさらに詳しい説明は『小学校算数・目次』からたどってご覧ください。)

《世界一やさしい》 比例


小学6年生で習う比例を、世界一やさしく解説します。


今から学ぶこと

1、(比例とは)一方が2倍、3倍、…のとき、他方も2倍、3倍…
2、(比例の)y=決まった数×x
3、(比例のグラフ0を通る直線
4、(比例の文章題
÷わって1つ分を求めてから、計算する


これだけは理解しよう

1、(比例とは)一方が2倍、3倍、…のとき、他方も2倍、3倍…
2つの数、xとyがあって、xが2倍、3倍、…になると、yも2倍、3倍、…になる関係を、比例といいます。

(例)1本60円の鉛筆x本の代金がy円のとき、鉛筆の本数が2本、3本…と増えると、代金も60円、120円…と、ともに2倍、3倍、…になります。
このとき、代金は(鉛筆の)本数に比例するといいます。
比例の表





片方が増えるともう片方も増える関係のうち、同じように2倍、3倍に増えるものだけが比例です。

例題1:次のことがらのうち、yがxに比例するものをいいなさい。
(1)1mの重さが20gの針金の、長さxmと重さyg
(2)40個の菓子を分けるとき、人数x人と1人分の個数y個
(3)正方形の、1辺の長さxcmと周りの長さycm
(4)1日24時間のうち、昼の時間xと夜の時間y


(解答)
(1)長さが2倍、3倍…になると、重さも2倍、3倍…になるから、比例
(2)人数が増えると、1人分の個数は減るから、比例ではない
(3)1つの辺の長さが2倍、3倍…になると、周りの長さも2倍、3倍…になるから、比例
(4)昼の時間が増えると、夜の長さは短くなるから、比例ではない


2、(比例の)y=決まった数×x
比例の式は、y=決まった数×xと表わす決まりになっています。
「決まった数」は、自分で見つけないといけません。

では、決まった数はどうしたら見つかるでしょうか?

1本60円の鉛筆x本の代金がy円のとき、
表の下の代金は、いつ決まった数も、表の上の本数の60倍になっていることに気づいてください。
この60が、「決まった数」です。
このとき、式は、y=60×xとなります。

また、「決まった数」は、y÷xで求められます。

さらに、「決まった数」は、xの一つ分の量です。

例題2:yとxの関係を式に表しなさい。
(1)1mの重さが20gの針金の、長さxmと重さyg
(2)正方形の、1辺の長さxcmと周りの長さycm

(解答)
(1)1mの重さが20gだから、y=20×x
(2)正方形の周りの長さは1つの辺の長さの4倍だから、y=4×x


3、(比例のグラフ0を通る直線
比例する2つのものはグラフに表すことができます。

(例)1mの重さが20gの針金の、長さxmと重さygの関係をグラフに表すと、
グラフ1

1mで20g、2mで40g、3mで60g、4mで80g、5mで100gの点を先に打ち、それを通る直線を引きます。

0mのときは重さも0gですから、線は0まで引かないといけません。
また、グラフの端まで線を引きます。




(例)正方形の、1辺の長さxcmと周りの長さycmの関係をグラフに表すと、
グラフ2










このように、比例のグラフは、必ず、0を通る直線になります。


4、(比例の文章題÷わって1つ分を求めてから、計算する
比例の式が、y=決まった数×xなので、先にわり算で、決まった数(=一つ分)を見つけると、問題を解くことができます。

例題3:針金があり、5mの重さが60gです。
(1)この針金20mの重さは何gですか。
(2)この針金3kgの長さは何mですか。


(解答)
先に、60÷5を計算して、1つ分、1m分の重さを求めておきます。
60÷5=12
1mの重さは12gです。
これを使って、問題を解きます。

(1)1mで12gの針金が20mもあるから、12×20=240g

(2)1mで12gの針金が3kg(=3000g)もあるので、3000÷12=250m



これだけ、理解して覚えておけば大丈夫

1、(比例とは)一方が2倍、3倍、…のとき、他方も2倍、3倍…
2、(比例の)y=決まった数×x
3、(比例のグラフ0を通る直線
4、(比例の文章題
÷わって1つ分を求めてから、計算する




(算数のさらに詳しい説明は『小学校算数・目次』からたどってご覧ください。)

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