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English 高校入試英語 並べ替え(語順整序)問題 究極の解法
- 2013.01.16 Wednesday
- 英語
- 09:42
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- by アリ
高校入試英語の並べかえ問題(語順整序の問題)を確実に解く方法を考察します。
並べかえ問題(語順整序の問題)の究極的解法
並べかえ問題を解くときは、常に2段階の頭の使い方をするべきです。
1、入試問題は、受験生が当然知っていないといけない重要事項だけが問われます。
(1)重要な文法事項
(2)重要な英語構文
(3)重要な連語
のうち、「何が問題として問われているのか」を考えると正解に速く到達できます。
2、英語の語順の大原則である、主語+動詞+(目的語)を常に意識して問題を解きます。
(1)特に、動詞をどこに置くかが決め手になることが多い。
(2)疑問文であることや時制などがヒントになることが多い。
つまり、重要なことのうち何が問われているのかを考察し、英語の語順の原則に従っているかどうかを確認する、という2段階の手順をふむとよいのです。
では、実際の問題で練習してみましょう。
重要な文法事項が問われている問題
例題1:次の語や句を並びかえて、英文を完成させなさい。ただし、文頭にくる語も小文字で示してあります。
(1)How (you / lived / have / long) in this town?
(2)(have / to / often / you / how / Paris / been)?
(3)Kumiko was very (beautiful / see / glad / sunset / to / the) .
(4)My father (me / a singer / be / to / want / doesn't).
(5)I (by / asked / the teacher / was / some questions).
(6)You can find something that (people / happy / makes / other).
(7)I (an English teacher / like / because / would / to / be / in the future) I love English.
(8)I also hope everyone can (world / love / filled / live / with / a / in) and peace.
解法と正解
(1)How (you / lived / have / long) in this town?(疑問詞)
(解法)文頭のHowから、期間を尋ねるHow long(どれくらいの間)にしたらよいとわかります(ここでlongを消しておきます)。
そうすると、残ったyou / lived / have /から、疑問文なのでhave you livedの語順が頭にうかんできます。
(正解)How long have you lived in this town?(あなたはどれくらいの間この町に住んでいますか。)
(2)(have / to / often / you / how / Paris / been)? (疑問詞)
(解法)末尾の?から疑問文であり、疑問詞howがあるので、頻度を尋ねるHow often(何回)で始めたらよいとわかります。
残ったhave / to /often / you / how / Paris / beenを眺めて、現在完了形の疑問文であることから、have you been to Parisの語順がうかんできます。
(正解)How often have you been to Paris?(あなたは何度パリに行ったことがありますか。)
(3)Kumiko was very (beautiful / see / glad / sunset / to / the) .(不定詞)
(解法)選択肢中のgladやtoからbe glad to…(…してうれしい)を理解しているかどうかを試す問題だとわかります。
toの後は動詞の原形だから、Kumiko was very glad to seeまでが決まります。
残ったbeautiful /see / glad / sunset / to / theを眺めると、the beautiful sunsetがseeの目的語です。
(正解)Kumiko was very glad to see the beautiful sunset.(くみこは美しい日没を見てとてもうれしかった。)
(4)My father (me / a singer / be / to / want / doesn't).(不定詞・want)
(解法)主語のMy fatherの後だから、動詞がwantがくること、その前にdoesn'tが入ることを確認しておきます。
次に、目的格のmeがあるので、want to(〜したい)ではなくて、want 人 to(…に〜してほしい)がわかっているかどうかを尋ねる問題だとわかります。
doesn't want me to beで、「私になってほしくない」のです(ここでのbeは、becomeと同じ「なる」という意味です)。
(正解)My father doesn't want me to be a singer.(私の父は私に歌手になってほしくない。)
(5)I (by / asked / the teacher / was / some questions).(受け身・文型・ask)
(解法)be動詞のwasがあり、過去分詞のaskedがあるので、受け身です。書き出しは、I was askedとなります。
askは第4文型の動詞ですから、The teacher asked me some question.を受け身にしたもので、直接目的語のsome questionがaskedの後にきます。
(正解)I was asked some question by the teacher.(私は先生にいくつかの問題を尋ねられた。)
(6)You can find something that (people / happy / makes / other).(関係代名詞・文型・make)
(解法)かっこ前のthatは、somethingの直後なので、接続詞ではなくて関係代名詞であり、かっこ内の節(文)が後ろからsomethingを修飾します。
そして、「〜を…にする」のmakeが重要だから出題されていると気づかないといけません。make other people happyの語順になります。
(正解)You can find something that makes other people happy.(あなたは他の人を幸せにする何かを見つけられます。)
(7)I (an English teacher / like / because / would / to / be / in the future) I love English.(would like to・接続詞)
(解法)主語Iの後に、「〜したい」のwould like toがくることにまず気づかないといけません(間違いないと確信できる語を最初に見つけておくと、後が相当楽になります)。
I would like toの後は動詞の原形がくるはずなのでbeであり、そうするとbe an English teacher(先生になる)が続くであろうと予想できます。
I would like to be an English teacherの後は、(an English teacher / like / because / would / to / be / in the future) のうちin the futureであり、最後にI love Englishの前に接続詞のbecauseがくることがわかります。
(正解)I would like to be an English teacher in the future because I love English.(私は、英語が好きだから、将来英語の先生になりたい。)
(8)I also hope everyone can (world / love / filled / live / with / a / in) and peace.(分詞)
(解法)助動詞canの後にくるのは動詞の原形です。loveかliveが候補ですが、「〜で満ちた」という連語(be)filled withの目的語がloveでしょうから、canの後はliveだと推測します(「〜に住む」の連語、live inも頭にうかべておきます)。
すると、I also hope everyone can live in a worldまで、できあがります。
残ったもの(world / love / filled / live / with / a / in)から、worldを後ろからfilled with love (and peace)(愛と平和にみちた)が修飾するであろうことがわかります。
(正解)I also hope everyone can live in a world filled with love and peace.(私はまた、すべての人が愛と平和にあふれた世界に住むことができることを望む。)
重要な英語構文が問われている問題
例題2:次の語や句を並びかえて、英文を完成させなさい。ただし、文頭にくる語も小文字で示してあります。
(1)(to / something / would / hot / I / like) eat.
(2)(hard / the examination / worked / to / he / enough / pass).
(3)I don't (do / know / to / what) with her.
(4)Do you know (Europe / father / for / leave / when / will / your)?
(5)We have to get up early to (the breakfast / eat / for / make / our mothers / us).
(6)The book (by a friend of mine / in London / who / lives / was sent / I am reading now).
(7)(every day / necessary / the piano / isn't / it / practice / is / to / it / ,)?
(8)It was (sleep / hot / couldn't / I / so / that) at all last night.
解法と正解
(1)(to / something / would / hot / I / like) eat.(特殊な語順)
(解法)並べかえ問題によく出る問題の一つにsomething,anything,nothing関連のものがあります。「何か冷たい飲み物」something cold to drinkや「何かあたたかい食べ物」something hot to eatを暗記しておくべきです。
この問題ではI would likeの後、something hot to eatとなります。
(正解)I would like something hot to eat.(私は何かあたたかい食べ物がほしい。)
(2)(hard / the examination / worked / to / he / enough / pass).(特殊な語順)
(解法)enoughも、「〜するほど…だ」、「とても…だから〜した」という意味の特殊な語順である「形容詞+enough+to〜」となる語なので、並べ替え問題によく出題されます。
主語+動詞のHe workedの後、hard enough to passと続きます。
(正解)He worked hard enough to pass the examination.(かれは一生懸命勉強したから試験に合格した。)
(3)I don't (do / know / to / what) with her.(疑問詞+to)
(解法)「疑問詞+to」の理解を問う問題です。
(正解)I don't know what to do with her.(彼女に何をしたらよいかわからない。)
(4)Do you know (Europe / father / for / leave / when / will / your)?(間接疑問文)
(解法)間接疑問文の語順である、「疑問詞+主語+動詞〜」がわかっているかどうかを問う問題です。
(正解)Do you know when your father will leave for Europe?(あなたはお父さんがいつヨーロッパに出発するか知っていますか。)
(5)We have to get up early to (the breakfast / eat / for / make / our mothers / us).(関係代名詞)
(解法)「先行詞+関係代名詞+主語+動詞〜」の語順を問う問題です。
We have to get up early toの後には動詞の原形のeatがきます。
その後に、動詞eatの目的語のthe breakfast、そしてそれを修飾する、(関係代名詞)+主語+動詞〜の、our mothers make for usが続きます(この問題では目的格の関係代名詞が省略されています)。
(正解)We have to get up early to eat the breakfast our mothers make for us.(私たちは母たちが私たちのために作る朝食を食べるために早く起きないといけない。)
(6)The book (by a friend of mine / in London / who / lives / was sent / I am reading now).(関係代名詞)
(解法)まず、the bookを修飾する関係代名詞節は、(関係代名詞(省略))+I am reading nowです。
これが主語にあたり、その後、was sent by a friend of mineと続きます。
そして、a friend of mineを、関係代名詞に導かれた節であるwho lives in Londonが修飾します。
(正解)The book I am reading now was sent by a friend of mine who lives in London.(私が今読んでいる本は、ロンドンに住んでいる友人から送られたものです。)
(7)(every day / necessary / the piano / isn't / it / practice / is / to / it / ,)?(It is…to…、付加疑問)
(解法)It is〜to…の文であることと、付加疑問文でもあることに気づいたら、容易に解くことができます。
(正解)It is necessary to practice the piano every day, isn't it?(毎日ピアノを練習することが必要ですね。)
(8)It was (sleep / hot / couldn't / I / so / that) at all last night.(so 〜that …can't…)
(解法)so〜that…can't…「とても〜だから…できない」の文だと気づいたら、容易に語順が決まります。
(正解)It was so hot that I couldn't sleep at all last night.(昨夜はとても暑くて全く眠れなかった。)
重要な連語が問われている問題
例題3:次の語や句を並びかえて、英文を完成させなさい。
(1)My (swimming / good / not / very / at / is / friend).
(2)Thank you (coming / see / me / for / to).
(3)Don't (out / go / telling / without / me).
(4)Mt. Fuji is (most / one / the / beautiful / mountains / of) in Japan.
解法と正解
(1)My (swimming / good / not / very / at / is / friend).(連語・be good at)
(解法)選択肢を眺めて、「〜することが得意である」be good at+〜ingの文を作ることに気づけば簡単に解けます。
(正解)My friend is not very good at swimming .(私の友人はそんなに泳ぐのが得意ではない。)
(2)Thank you (coming / see / me / for / to).(連語・thank you for)
(解法)文の書き出しから、「〜してくれてありがとう」thank you for+〜ingの文であることに気づくべきです。
「会いにくる」come to seeも暗記事項です。
(正解)Thank you for coming to see me.(私に会いに来てくれてありがとう。)
(3)Don't (out / go / telling / without / me).(連語・without+〜ing)
(解法)「〜しないで」という意味の、前置詞without+〜ingの文であることさえわかれば簡単です。
否定命令文ですから、don'tの後に動詞の原形がきます。
(正解)Don't go out without telling me.(私に言わないで外に出てはいけません。)
(4)Mt. Fuji is (most / one / the / beautiful / mountains / of) in Japan.(連語・比較)
(解法)「最も〜なうちの一つ」という連語、one of the+最上級を暗記しておけば、間違えることはないでしょう。
(正解)Mt.Fuji is one of the most beautiful mountains in Japan.(富士山は日本で最も美しい山の一つです。)
最近の入試問題に多い出題形式
最近の入試問題の出題形式として多いのは、次のような問い方をする問題です(高校入試だけでなく、センター試験や英検の並べかえ問題もこの形式です)。
例題4:次の語や句を並びかえて英文を完成させたとき、2番目と5番目にくる語を答えなさい。
He is (any / the / class / student / other / taller / than / in).
(解法)よくないのは、時間をかけないでいきなり2番目と5番目にくる語を探す解き方です。
必ず、きちんとした英文を書いてのち、その書いた文の2番目と5番目の単語を答えるべきです。
(正解)この問題は、「他のどの〜よりも…だ」という連語、比較級+than+any+otherを問う問題です。
He is taller than any other student in the class.(彼はクラスのどの生徒よりも背が高い。)
したがって、答えは、2番目がthanで5番目がstudentです。
並べかえ問題(語順整序問題)の解法まとめ
1、重要なことのうち何が問われているのかを考察し
2、英語の語順の原則に従っているかどうかを確認する
受験生が当然知っていないといけない重要なこととは…
(1)重要な文法事項
(2)重要な英語構文
(3)重要な連語
2、英語の語順の原則とは…
(1)主語+動詞+(目的語)の語順を常に意識する
(2)疑問文であることや時制などがヒントになる
(英語の、さらに詳しい説明は『英語・分野別・目次』からたどってご覧ください。)
並べかえ問題(語順整序の問題)の究極的解法
並べかえ問題を解くときは、常に2段階の頭の使い方をするべきです。
1、入試問題は、受験生が当然知っていないといけない重要事項だけが問われます。
(1)重要な文法事項
(2)重要な英語構文
(3)重要な連語
のうち、「何が問題として問われているのか」を考えると正解に速く到達できます。
2、英語の語順の大原則である、主語+動詞+(目的語)を常に意識して問題を解きます。
(1)特に、動詞をどこに置くかが決め手になることが多い。
(2)疑問文であることや時制などがヒントになることが多い。
つまり、重要なことのうち何が問われているのかを考察し、英語の語順の原則に従っているかどうかを確認する、という2段階の手順をふむとよいのです。
では、実際の問題で練習してみましょう。
重要な文法事項が問われている問題
例題1:次の語や句を並びかえて、英文を完成させなさい。ただし、文頭にくる語も小文字で示してあります。
(1)How (you / lived / have / long) in this town?
(2)(have / to / often / you / how / Paris / been)?
(3)Kumiko was very (beautiful / see / glad / sunset / to / the) .
(4)My father (me / a singer / be / to / want / doesn't).
(5)I (by / asked / the teacher / was / some questions).
(6)You can find something that (people / happy / makes / other).
(7)I (an English teacher / like / because / would / to / be / in the future) I love English.
(8)I also hope everyone can (world / love / filled / live / with / a / in) and peace.
解法と正解
(1)How (you / lived / have / long) in this town?(疑問詞)
(解法)文頭のHowから、期間を尋ねるHow long(どれくらいの間)にしたらよいとわかります(ここで
そうすると、残ったyou / lived / have /から、疑問文なのでhave you livedの語順が頭にうかんできます。
(正解)How long have you lived in this town?(あなたはどれくらいの間この町に住んでいますか。)
(2)(have / to / often / you / how / Paris / been)? (疑問詞)
(解法)末尾の?から疑問文であり、疑問詞howがあるので、頻度を尋ねるHow often(何回)で始めたらよいとわかります。
残ったhave / to /
(正解)How often have you been to Paris?(あなたは何度パリに行ったことがありますか。)
(3)Kumiko was very (beautiful / see / glad / sunset / to / the) .(不定詞)
(解法)選択肢中のgladやtoからbe glad to…(…してうれしい)を理解しているかどうかを試す問題だとわかります。
toの後は動詞の原形だから、Kumiko was very glad to seeまでが決まります。
残ったbeautiful /
(正解)Kumiko was very glad to see the beautiful sunset.(くみこは美しい日没を見てとてもうれしかった。)
(4)My father (me / a singer / be / to / want / doesn't).(不定詞・want)
(解法)主語のMy fatherの後だから、動詞がwantがくること、その前にdoesn'tが入ることを確認しておきます。
次に、目的格のmeがあるので、want to(〜したい)ではなくて、want 人 to(…に〜してほしい)がわかっているかどうかを尋ねる問題だとわかります。
doesn't want me to beで、「私になってほしくない」のです(ここでのbeは、becomeと同じ「なる」という意味です)。
(正解)My father doesn't want me to be a singer.(私の父は私に歌手になってほしくない。)
(5)I (by / asked / the teacher / was / some questions).(受け身・文型・ask)
(解法)be動詞のwasがあり、過去分詞のaskedがあるので、受け身です。書き出しは、I was askedとなります。
askは第4文型の動詞ですから、The teacher asked me some question.を受け身にしたもので、直接目的語のsome questionがaskedの後にきます。
(正解)I was asked some question by the teacher.(私は先生にいくつかの問題を尋ねられた。)
(6)You can find something that (people / happy / makes / other).(関係代名詞・文型・make)
(解法)かっこ前のthatは、somethingの直後なので、接続詞ではなくて関係代名詞であり、かっこ内の節(文)が後ろからsomethingを修飾します。
そして、「〜を…にする」のmakeが重要だから出題されていると気づかないといけません。make other people happyの語順になります。
(正解)You can find something that makes other people happy.(あなたは他の人を幸せにする何かを見つけられます。)
(7)I (an English teacher / like / because / would / to / be / in the future) I love English.(would like to・接続詞)
(解法)主語Iの後に、「〜したい」のwould like toがくることにまず気づかないといけません(間違いないと確信できる語を最初に見つけておくと、後が相当楽になります)。
I would like toの後は動詞の原形がくるはずなのでbeであり、そうするとbe an English teacher(先生になる)が続くであろうと予想できます。
I would like to be an English teacherの後は、(
(正解)I would like to be an English teacher in the future because I love English.(私は、英語が好きだから、将来英語の先生になりたい。)
(8)I also hope everyone can (world / love / filled / live / with / a / in) and peace.(分詞)
(解法)助動詞canの後にくるのは動詞の原形です。loveかliveが候補ですが、「〜で満ちた」という連語(be)filled withの目的語がloveでしょうから、canの後はliveだと推測します(「〜に住む」の連語、live inも頭にうかべておきます)。
すると、I also hope everyone can live in a worldまで、できあがります。
残ったもの(
(正解)I also hope everyone can live in a world filled with love and peace.(私はまた、すべての人が愛と平和にあふれた世界に住むことができることを望む。)
重要な英語構文が問われている問題
例題2:次の語や句を並びかえて、英文を完成させなさい。ただし、文頭にくる語も小文字で示してあります。
(1)(to / something / would / hot / I / like) eat.
(2)(hard / the examination / worked / to / he / enough / pass).
(3)I don't (do / know / to / what) with her.
(4)Do you know (Europe / father / for / leave / when / will / your)?
(5)We have to get up early to (the breakfast / eat / for / make / our mothers / us).
(6)The book (by a friend of mine / in London / who / lives / was sent / I am reading now).
(7)(every day / necessary / the piano / isn't / it / practice / is / to / it / ,)?
(8)It was (sleep / hot / couldn't / I / so / that) at all last night.
解法と正解
(1)(to / something / would / hot / I / like) eat.(特殊な語順)
(解法)並べかえ問題によく出る問題の一つにsomething,anything,nothing関連のものがあります。「何か冷たい飲み物」something cold to drinkや「何かあたたかい食べ物」something hot to eatを暗記しておくべきです。
この問題ではI would likeの後、something hot to eatとなります。
(正解)I would like something hot to eat.(私は何かあたたかい食べ物がほしい。)
(2)(hard / the examination / worked / to / he / enough / pass).(特殊な語順)
(解法)enoughも、「〜するほど…だ」、「とても…だから〜した」という意味の特殊な語順である「形容詞+enough+to〜」となる語なので、並べ替え問題によく出題されます。
主語+動詞のHe workedの後、hard enough to passと続きます。
(正解)He worked hard enough to pass the examination.(かれは一生懸命勉強したから試験に合格した。)
(3)I don't (do / know / to / what) with her.(疑問詞+to)
(解法)「疑問詞+to」の理解を問う問題です。
(正解)I don't know what to do with her.(彼女に何をしたらよいかわからない。)
(4)Do you know (Europe / father / for / leave / when / will / your)?(間接疑問文)
(解法)間接疑問文の語順である、「疑問詞+主語+動詞〜」がわかっているかどうかを問う問題です。
(正解)Do you know when your father will leave for Europe?(あなたはお父さんがいつヨーロッパに出発するか知っていますか。)
(5)We have to get up early to (the breakfast / eat / for / make / our mothers / us).(関係代名詞)
(解法)「先行詞+関係代名詞+主語+動詞〜」の語順を問う問題です。
We have to get up early toの後には動詞の原形のeatがきます。
その後に、動詞eatの目的語のthe breakfast、そしてそれを修飾する、(関係代名詞)+主語+動詞〜の、our mothers make for usが続きます(この問題では目的格の関係代名詞が省略されています)。
(正解)We have to get up early to eat the breakfast our mothers make for us.(私たちは母たちが私たちのために作る朝食を食べるために早く起きないといけない。)
(6)The book (by a friend of mine / in London / who / lives / was sent / I am reading now).(関係代名詞)
(解法)まず、the bookを修飾する関係代名詞節は、(関係代名詞(省略))+I am reading nowです。
これが主語にあたり、その後、was sent by a friend of mineと続きます。
そして、a friend of mineを、関係代名詞に導かれた節であるwho lives in Londonが修飾します。
(正解)The book I am reading now was sent by a friend of mine who lives in London.(私が今読んでいる本は、ロンドンに住んでいる友人から送られたものです。)
(7)(every day / necessary / the piano / isn't / it / practice / is / to / it / ,)?(It is…to…、付加疑問)
(解法)It is〜to…の文であることと、付加疑問文でもあることに気づいたら、容易に解くことができます。
(正解)It is necessary to practice the piano every day, isn't it?(毎日ピアノを練習することが必要ですね。)
(8)It was (sleep / hot / couldn't / I / so / that) at all last night.(so 〜that …can't…)
(解法)so〜that…can't…「とても〜だから…できない」の文だと気づいたら、容易に語順が決まります。
(正解)It was so hot that I couldn't sleep at all last night.(昨夜はとても暑くて全く眠れなかった。)
重要な連語が問われている問題
例題3:次の語や句を並びかえて、英文を完成させなさい。
(1)My (swimming / good / not / very / at / is / friend).
(2)Thank you (coming / see / me / for / to).
(3)Don't (out / go / telling / without / me).
(4)Mt. Fuji is (most / one / the / beautiful / mountains / of) in Japan.
解法と正解
(1)My (swimming / good / not / very / at / is / friend).(連語・be good at)
(解法)選択肢を眺めて、「〜することが得意である」be good at+〜ingの文を作ることに気づけば簡単に解けます。
(正解)My friend is not very good at swimming .(私の友人はそんなに泳ぐのが得意ではない。)
(2)Thank you (coming / see / me / for / to).(連語・thank you for)
(解法)文の書き出しから、「〜してくれてありがとう」thank you for+〜ingの文であることに気づくべきです。
「会いにくる」come to seeも暗記事項です。
(正解)Thank you for coming to see me.(私に会いに来てくれてありがとう。)
(3)Don't (out / go / telling / without / me).(連語・without+〜ing)
(解法)「〜しないで」という意味の、前置詞without+〜ingの文であることさえわかれば簡単です。
否定命令文ですから、don'tの後に動詞の原形がきます。
(正解)Don't go out without telling me.(私に言わないで外に出てはいけません。)
(4)Mt. Fuji is (most / one / the / beautiful / mountains / of) in Japan.(連語・比較)
(解法)「最も〜なうちの一つ」という連語、one of the+最上級を暗記しておけば、間違えることはないでしょう。
(正解)Mt.Fuji is one of the most beautiful mountains in Japan.(富士山は日本で最も美しい山の一つです。)
最近の入試問題に多い出題形式
最近の入試問題の出題形式として多いのは、次のような問い方をする問題です(高校入試だけでなく、センター試験や英検の並べかえ問題もこの形式です)。
例題4:次の語や句を並びかえて英文を完成させたとき、2番目と5番目にくる語を答えなさい。
He is (any / the / class / student / other / taller / than / in).
(解法)よくないのは、時間をかけないでいきなり2番目と5番目にくる語を探す解き方です。
必ず、きちんとした英文を書いてのち、その書いた文の2番目と5番目の単語を答えるべきです。
(正解)この問題は、「他のどの〜よりも…だ」という連語、比較級+than+any+otherを問う問題です。
He is taller than any other student in the class.(彼はクラスのどの生徒よりも背が高い。)
したがって、答えは、2番目がthanで5番目がstudentです。
並べかえ問題(語順整序問題)の解法まとめ
1、重要なことのうち何が問われているのかを考察し
2、英語の語順の原則に従っているかどうかを確認する
受験生が当然知っていないといけない重要なこととは…
(1)重要な文法事項
(2)重要な英語構文
(3)重要な連語
2、英語の語順の原則とは…
(1)主語+動詞+(目的語)の語順を常に意識する
(2)疑問文であることや時制などがヒントになる
(英語の、さらに詳しい説明は『英語・分野別・目次』からたどってご覧ください。)
math 関数の難問を解くたった一つの方法(東京都と大阪府の入試問題を解く)
- 2013.01.03 Thursday
- 算数・数学
- 12:53
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- -
- by アリ
コメント欄に寄せられた質問:「平成19年度都立入試数学の3番目の問3で悩んでいます。」
確かに、関数の分野では一番難しい問題であり、Hさんが悩むのもうなずけます。
ところが、関数のすべての難問は、たった一つの解き方で解くことができます。
その方法とは…
1、式と座標を書き込む
2、x座標をtとし、y座標をtの式で表す
3、問題文から、tを使って方程式をつくり、解く
この3段階で、ほぼすべての関数の難問を解くことができます。
東京都の問題も
19年度都立高校入試、3番の問い3(一部表現をかえています)
図で、点Aの座標は(-4,-3)であり、直線Lはy=-x+5のグラフである。直線Lとy軸との交点をB、直線L上にありx座標が8より小さい正の数である点をPとする。
2点A、Pを通る直線をMとし、直線Mとy軸との交点をQとする。
2点A、Bを結び、点Pを通りx軸に平行な直線をひき、線分ABとの交点をRとする。
△BRPの面積が27のとき、△APRの面積はいくらか。
手順1、式と座標を書き込む
まず、問題文に書いてあった、Lの式y=-x+5と、点Aの座標(-4,-3)を記入します。
点Bの座標(0,5)も忘れずに記入しておきます。
次に、点Aと点Bを通る直線の式を求めます。
点Aと点Bの座標から、xが-4から0まで4増加し、yが-3から5まで8増加しているので、傾きが8/4、すなわち2であることがわかります。
また、切片は5です。
すなわち、点A、Bを通る直線の式はy=2x+5です。
これを書き込みます。
手順2、x座標をtとし、y座標をtの式で表す
さらに、点Pと点Rの座標を書き込みます。
点P、Rの座標を書き込まないといけない理由は、この問題を解くかぎである△BRPと△APRの面積を考えるのに、点P、点Rの座標が不可欠だからです。
そして、この問題のように問題文の中に点P、点Rの座標について何も書かれていないときは、点Pのx座標をtと決めてしまいます。
そうすると、点Pがグラフy=-x+5上の点なので、xにtを代入して、y=-t+5だとわかります。
すなわち、点Pの座標は(t,-t+5)です。
次に、点Rの座標ですが、直線PRがx軸に平行であることから、点Rのy座標は点Pと同じ-t+5です。
このyの値を、点Rを通る直線の式、y=2x+5に代入します。
-t+5=2x+5
-2x=t+5-5
-2x=t
x=-t/2
つまり、点Rの座標は(-t/2,-t+5)です。
手順3、問題文から、tを使って方程式をつくり、解く
問題文の、「△BRPの面積が27」から、tを使って方程式をつくります。
このとき、特に気をつけないといけないのは、点Rの座標(-t/2,-t+5)のx座標、y座標ともに負の数だということです。
座標が負の数のとき、距離に負の数はありませんから、距離は正の数になります。
つまり、符号を逆にしないといけません。
以上より、図のように、△BRPの底辺の長さはt/2+t、高さは5+(t-5)となります。
△BRPの面積が27であることから方程式をつくると、
(t/2+t)×(5+t-5)×1/2=27
この方程式を解いて、
3/2t×t×1/2=27
t2=36
t>0より、t=6
以上より、点Rの座標は、(-t/2,-t+5)にt=6を代入して、R(-3,1)です。
これで、△APRの面積を求めることができます。
△BRPと△APRはとなり合った三角形なので、2つの三角形の面積の比は、底辺であるBPとRAの比と一致します。
また、点A(-4.-3)、点R(-3,-1)、点B(0,5)から、左図のようにx座標の比は1:3です。
ARとRBの比もこれと同じ比になり、1:3です。
そして、△BRPと△APR、2つの三角形の面積の比は、底辺であるBPとRAの比と一致します。
△APRの面積をxとすると、
27:x=3:1
3x=27
x=9
△APRの面積は9です。
(AR:RB=1:3になることの補足説明)
Aを通るx軸に平行な直線とy軸との交点をS、Rを通るy軸に平行な直線と直線ASとの交点をTとすると、
△RAT∽△BASだから、AT:TS=1:3のとき、AR:RB=1:3になります。
大阪府の問題も
24年度府立高校入試、後期B問題1(6)(一部表現をかえています)
図においてmはy=2/3x2のグラフを、nはy=a/xのグラフを表す。aは0<a<18の定数である。
A、Bはm上の点であり、Aのx座標は-2であり、Bのx座標は3である。
C、D、Eはn上の点であり、Cのx座標はAのx座標と等しく、Dのy座標はBのy座標と等しく、Eのx座標はBのx座標と等しい。
AC=BEであるとき、線分BDの長さを求めよ。
手順1、式と座標を書き込む
まず、問題文に書いてあった、mの式y=2/3x2とnの式y=a/x、点Aの座標(-2,*)と点Bの座標(3,*)を記入します(*印のところは空けておきます)。
点Eと点Bのx座標が等しく、点Cと点Aのx座標が等しいので、点Eの座標(3,*)、点Cの座標(-2,*)も忘れずに記入しておきます。
2、x座標をtとし、y座標をtの式で表す
この問題は、東京都の問題より一つだけ易しい問題です。
すでにx座標がわかっているので、x座標をtとする必要はありません。
それぞれの点を通っているグラフの式にx座標を代入して、点A、B、C、Eのy座標を書き込んでいきます。
点A、Bは放物線y=2/3x2上の点なので、式y=2/3x2にx座標の数を代入して、点Aの座標は(-2,8/3)、点Bの座標は(3,6)となります。
点C、Eは双曲線y=a/x上の点なので、式y=a/xにx座標の数を代入して、点Cの座標は(-2,-a/2)、点Eの座標は(3,a/3)となります。
手順3、問題文から、方程式をつくり、解く
問題文の、「AC=BEである」から、方程式をつくります。
BEの長さは、点Bのy座標から点Eのy座標をひいた6-a/3です。
次にACの長さです。ACの長さは点Aのy座標に、x軸から点Cまでの距離をたしたものです。
気をつけないといけないのは点Cのy座標が負の数であることです。座標が負の数のとき、距離は正の数だから符号をかえないといけません。
ACの長さは、8/3+a/2です。
以上より、AC=BEから、方程式、6-a/3=8/3+a/2ができます。
この式の両辺に6をかけて、36-2a=16+3a
-5a=-20
a=4
こうして、放物線の式が、y=4/xであることがわかりました。
これで、線分BDの長さを求めることができます。
まず、点Dのy座標は点Bのy座標と等しいから6
点Dは双曲線y=4/x上の点だから、y=4/xの式にy=6を代入して6=4/x
6x=4だから、x=2/3
点Dの座標は(2/3,6)です。
線分BDの長さは、点Bのx座標から点Dのx座標をひいた、3-2/3=7/3です。
(数学の、さらに詳しい説明は『中学校・数学・学年別・目次』からたどってご覧ください。)
確かに、関数の分野では一番難しい問題であり、Hさんが悩むのもうなずけます。
ところが、関数のすべての難問は、たった一つの解き方で解くことができます。
その方法とは…
1、式と座標を書き込む
2、x座標をtとし、y座標をtの式で表す
3、問題文から、tを使って方程式をつくり、解く
この3段階で、ほぼすべての関数の難問を解くことができます。
東京都の問題も
19年度都立高校入試、3番の問い3(一部表現をかえています)
図で、点Aの座標は(-4,-3)であり、直線Lはy=-x+5のグラフである。直線Lとy軸との交点をB、直線L上にありx座標が8より小さい正の数である点をPとする。
2点A、Pを通る直線をMとし、直線Mとy軸との交点をQとする。
2点A、Bを結び、点Pを通りx軸に平行な直線をひき、線分ABとの交点をRとする。
△BRPの面積が27のとき、△APRの面積はいくらか。
手順1、式と座標を書き込む
まず、問題文に書いてあった、Lの式y=-x+5と、点Aの座標(-4,-3)を記入します。
点Bの座標(0,5)も忘れずに記入しておきます。
次に、点Aと点Bを通る直線の式を求めます。
点Aと点Bの座標から、xが-4から0まで4増加し、yが-3から5まで8増加しているので、傾きが8/4、すなわち2であることがわかります。
また、切片は5です。
すなわち、点A、Bを通る直線の式はy=2x+5です。
これを書き込みます。
手順2、x座標をtとし、y座標をtの式で表す
さらに、点Pと点Rの座標を書き込みます。
点P、Rの座標を書き込まないといけない理由は、この問題を解くかぎである△BRPと△APRの面積を考えるのに、点P、点Rの座標が不可欠だからです。
そして、この問題のように問題文の中に点P、点Rの座標について何も書かれていないときは、点Pのx座標をtと決めてしまいます。
そうすると、点Pがグラフy=-x+5上の点なので、xにtを代入して、y=-t+5だとわかります。
すなわち、点Pの座標は(t,-t+5)です。
次に、点Rの座標ですが、直線PRがx軸に平行であることから、点Rのy座標は点Pと同じ-t+5です。
このyの値を、点Rを通る直線の式、y=2x+5に代入します。
-t+5=2x+5
-2x=t+5-5
-2x=t
x=-t/2
つまり、点Rの座標は(-t/2,-t+5)です。
手順3、問題文から、tを使って方程式をつくり、解く
問題文の、「△BRPの面積が27」から、tを使って方程式をつくります。
このとき、特に気をつけないといけないのは、点Rの座標(-t/2,-t+5)のx座標、y座標ともに負の数だということです。
座標が負の数のとき、距離に負の数はありませんから、距離は正の数になります。
つまり、符号を逆にしないといけません。
以上より、図のように、△BRPの底辺の長さはt/2+t、高さは5+(t-5)となります。
△BRPの面積が27であることから方程式をつくると、
(t/2+t)×(5+t-5)×1/2=27
この方程式を解いて、
3/2t×t×1/2=27
t2=36
t>0より、t=6
以上より、点Rの座標は、(-t/2,-t+5)にt=6を代入して、R(-3,1)です。
これで、△APRの面積を求めることができます。
△BRPと△APRはとなり合った三角形なので、2つの三角形の面積の比は、底辺であるBPとRAの比と一致します。
また、点A(-4.-3)、点R(-3,-1)、点B(0,5)から、左図のようにx座標の比は1:3です。
ARとRBの比もこれと同じ比になり、1:3です。
そして、△BRPと△APR、2つの三角形の面積の比は、底辺であるBPとRAの比と一致します。
△APRの面積をxとすると、
27:x=3:1
3x=27
x=9
△APRの面積は9です。
(AR:RB=1:3になることの補足説明)
Aを通るx軸に平行な直線とy軸との交点をS、Rを通るy軸に平行な直線と直線ASとの交点をTとすると、
△RAT∽△BASだから、AT:TS=1:3のとき、AR:RB=1:3になります。
大阪府の問題も
24年度府立高校入試、後期B問題1(6)(一部表現をかえています)
図においてmはy=2/3x2のグラフを、nはy=a/xのグラフを表す。aは0<a<18の定数である。
A、Bはm上の点であり、Aのx座標は-2であり、Bのx座標は3である。
C、D、Eはn上の点であり、Cのx座標はAのx座標と等しく、Dのy座標はBのy座標と等しく、Eのx座標はBのx座標と等しい。
AC=BEであるとき、線分BDの長さを求めよ。
手順1、式と座標を書き込む
まず、問題文に書いてあった、mの式y=2/3x2とnの式y=a/x、点Aの座標(-2,*)と点Bの座標(3,*)を記入します(*印のところは空けておきます)。
点Eと点Bのx座標が等しく、点Cと点Aのx座標が等しいので、点Eの座標(3,*)、点Cの座標(-2,*)も忘れずに記入しておきます。
2、x座標をtとし、y座標をtの式で表す
この問題は、東京都の問題より一つだけ易しい問題です。
すでにx座標がわかっているので、x座標をtとする必要はありません。
それぞれの点を通っているグラフの式にx座標を代入して、点A、B、C、Eのy座標を書き込んでいきます。
点A、Bは放物線y=2/3x2上の点なので、式y=2/3x2にx座標の数を代入して、点Aの座標は(-2,8/3)、点Bの座標は(3,6)となります。
点C、Eは双曲線y=a/x上の点なので、式y=a/xにx座標の数を代入して、点Cの座標は(-2,-a/2)、点Eの座標は(3,a/3)となります。
手順3、問題文から、方程式をつくり、解く
問題文の、「AC=BEである」から、方程式をつくります。
BEの長さは、点Bのy座標から点Eのy座標をひいた6-a/3です。
次にACの長さです。ACの長さは点Aのy座標に、x軸から点Cまでの距離をたしたものです。
気をつけないといけないのは点Cのy座標が負の数であることです。座標が負の数のとき、距離は正の数だから符号をかえないといけません。
ACの長さは、8/3+a/2です。
以上より、AC=BEから、方程式、6-a/3=8/3+a/2ができます。
この式の両辺に6をかけて、36-2a=16+3a
-5a=-20
a=4
こうして、放物線の式が、y=4/xであることがわかりました。
これで、線分BDの長さを求めることができます。
まず、点Dのy座標は点Bのy座標と等しいから6
点Dは双曲線y=4/x上の点だから、y=4/xの式にy=6を代入して6=4/x
6x=4だから、x=2/3
点Dの座標は(2/3,6)です。
線分BDの長さは、点Bのx座標から点Dのx座標をひいた、3-2/3=7/3です。
(数学の、さらに詳しい説明は『中学校・数学・学年別・目次』からたどってご覧ください。)
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