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《世界一やさしい》 円の面積を求める問題の解き方


小学6年生で習う、円の面積の問題の解き方を世界一やさしく解説します。

今から学ぶこと

1、円の面積を求める式…円の面積=半径×半径×3.14
2、円の一部の面積を求める式…円の面積の一部=半径×半径×3.14×中心の角/360°
3、色(かげ)がついた部分の面積の求め方…全体-白い部分



これだけは理解しよう

1、円の面積は、半径×半径×3.14の式で求めることができる
円の面積は、半径×半径×3.14の式で求められます。

例題1:次の円の面積を求めなさい。
(1)半径3cmの円
円周2






(2)直径10cmの円

円周1







(解答)
(1)円の面積を求める式、半径×半径×3.14にあてはめて、円の面積=3×3×3.14=28.26cm2

(2)まず、半径の長さを先に求める。半径は直径の半分だから、10÷2=5cm。
これを円の面積を求める式、半径×半径×3.14にあてはめて、円の面積=5×5×3.14=78.5cm2

(参考)
何度か問題を解くうちに、3.14のかけ算の答えが頭に残っていきます。
2×3.14=6.28
3×3.14=9.42
4×3.14=12.56
5×3.14=15.7


答えをぼんやりとでも覚えておくと、計算間違いを減らすことができます。


例題2:次の問いに答えなさい。
(1)円周の長さが43.96cmの円の面積を求めなさい。

(2)面積が113.04cm2の円の半径を求めなさい。


(解答)
(1)まず、5年生で習った、円周=直径×3.14の式を使う。
円周÷3.14で、直径を求めることができる。
直径=43.96÷3.14=14cm。
直径が14cmだから、半径は7cm。
円の面積=半径×半径×3.14
=7×7×3.14
=153.86cm2

(2)円の面積=半径×半径×3.14の式から、面積÷3.14で、(半径×半径)がわかる。
半径×半径=円の面積÷3.14
=113.04÷3.14
=36
半径×半径=36より、同じ数をかけて36になる数を見つける。
6×6=36だから、半径は6cm


(参考)
4=2×2
9=3×3
16=4×4
25=5×5


のような、同じ数をかけた積である4、9、16、25、36、49…平方数といいます)は、数学でしばしば出現します。


2、円の一部(おうぎ形といいます)の面積を求めるときは、円の何分の何になるかを、式の最後につけ加える
円の一部の面積を求めるときは、「円全体のどれだけにあたるか」を考えたら求めることができます。

360円全体の、中心をぐるっとまわる角度は360°です。







90だから、円の一部が「円全体のどれだけにあたるか」は、中心の角が円全体360°のどれだけにあたるかを、中心の角/360°の式をつけ加えることで求めたらよいことになります。

左の図形だと、円全体6×6×3.14の式に、中心の角/360°をつけ加えたらよいわけです。
6×6×3.14×90/360
=6×6×3.14×1/4
=3×3×3.14(6×6と1/4の約分を先にしておきます)
=28.26cm2


例題3:次の図形の面積を求めなさい。
(1)

45






(2)
30






(3)
135








(解答)
(1)8×8×3.14×45/360
=8×8×3.14×1/8(45/360を先に約分する)
=1×8×3.14(ここでも約分を先にする)
=25.12cm2

(2)6×6×3.14×30/360
=6×6×3.14×1/12
=1×3×3.14
=9.42cm2

(3)6×6×3.14×135/360
=6×6×3.14×3/8(135/360を先に約分する)
=3×3×3.14×3/2(約分できるものは先に約分)
=3×3×3.14×3÷2(分母が残るので、かけ算を先にして)
=84.78÷2(最後にわり算をする)
=42.39cm2


3、色(かげ)がついた部分の面積の求め方…全体-白い部分
円の面積に限らず、色(かげ)がついた部分の面積は、全体の面積から、不要な白い部分の面積を引いて求めるのが原則です。

例題4:次の図形の、かげをつけた部分の面積を求めなさい。
(1)
かげ1(解答)
全体-白い部分
=半径2cmの円-半径1cmの円
=2×2×3.14-1×1×3.14
=(2×2-1×1)×3.14
=3×3.14
=9.42cm2


(2)
かげ2(解答)
白い部分は、4つ集めると1つの円になる。
全体-白い部分
=1辺8cmの正方形-半径4cmの円
=8×8-4×4×3.14
=64-50.24
=13.76cm2



(3)
かげ3(解答)
全体-白い部分
=半径10cmの円の4分の1-底辺10cmで高さ10cmの三角形
=10×10×3.14×1/4-10×10÷2
=25×3.14-50
=78.5-50
=28.5cm2


(4)
かげ4










(解答)
いろいろな解き方があるが、1つ上の(3)の問題の解き方を応用すると最も簡単に解ける。
かげ4の2
正方形の対角線を1本引くと、(3)の図形が2つ分だということがわかる。

=(半径10cmの円の4分の1-底辺10cmで高さ10cmの三角形)×2
=(10×10×3.14×1/4-10×10÷2)×2
=(25×3.14-50)×2
=(78.5-50)×2
=28.5×2
=57cm2



これだけ、理解して覚えておけば大丈夫

1、円の面積を求める式…円の面積=半径×半径×3.14
2、円の一部の面積を求める式…円の面積の一部=半径×半径×3.14×中心の角/360°
3、色(かげ)がついた部分の面積の求め方…全体-白い部分



(参考)
円の面積が、半径×半径×3.14で求められる理由・・・

例えば、半径が10cmの円を考えてみましょう。
円の面積の公式
この円を、30°きざみに半径で切り分けます。

切り分けた12個の図形を、下の図のように交互に並べます。
円の面積の公式2
交互に並べた左の図形は、平行四辺形に近い形をしています。
平行四辺形の面積は、底辺×高さの式で求めることができますが、この平行四辺形に近い図形では、底辺は、円周(=円のまわりの長さ)の半分に近い長さであること、高さ半径の長さと等しいことがわかります。

さらに小さく、15°きざみで切り分けて、交互に並べます。
円の面積の公式3
やはり、平行四辺形に近い形で、底辺円周(=円のまわりの長さ)の半分に近い長さであること、高さ半径の長さと等しいことがわかります。

そして、小さい角度で切れば切るほど、底辺に当たる部分が直線に近くなり、底辺の長さが円周の半分の長さに近くなっていくこともわかります。

以上の考察から、さらにもっともっと小さい角度で円を切り分けていけばいくほど、円の面積は、底辺円周の半分で、高さが円の半径である平行四辺形の面積と同じになっていくと考えることができるはずです。

円の面積=円を切り分けて並べた平行四辺形の面積
=底辺×高さ
ところが、底辺円周の半分高さ半径だから、
=円周の半分×半径
円周は直径×3.14で求められるから、円周の半分=直径×3.14÷2、
=直径×3.14÷2×半径
直径は半径×2だから、
=半径×2×3.14÷2×半径
=半径×3.14×半径
=半径×半径×3.14



(算数のさらに詳しい説明は『小学校算数・目次』からたどってご覧ください。)


《世界一やさしい》 円周率と、円周を求める問題の解き方


小学5年生で習う円周率と、円周の問題の解き方を、世界一やさしく解説します。


今から学ぶこと

1、円周率…円周(円の周りの長さ)は直径の約3.14倍であり、この3.14…のことを円周率という
2、円周の長さを求める式…円周=直径×3.14
3、円周の一部の長さを求める問題…円周の何分の一かを先に求めてから、円周をわる



これだけは理解しよう

1、円周(円の周りの長さ)は、直径の約3.14倍である
円の周りの長さは、直径約3.14倍であることがわかっています。

円周直径何倍かを表す数を円周率といいます。
どんな円でも、円周が直径の何倍かは同じ数になります。

円周率を簡単に求めるには、筒(つつ)型の容器を用意し、筒の周囲に糸をまきつけて糸の長さを測り、次に、直径の長さをものさしで測り、糸の長さを直径の長さでわって求めることができます(完全に正確に測ることは不可能なので、正確な円周率ではなくて、だいたいの数しかわかりません)。

円周率を正確に求める式はいくつかあり(高校以上の数学で習います)、円周率は、不規則な数字が永遠に続く小数であることがわかっています。
円周率は、
3.1415926535…と不規則な数字が永遠に続く小数であり、現在、コンピューターを使って、ほぼ小数点以下10兆けたまでの数値が判明しています。

小学生は、円周率として、実際の数値に近い値である3.14倍を使って問題を解きます。


2、円周の長さを求めるは、円周=直径×3.14
円周の長さは直径の3.14倍だとわかっているので、円周の長さは円周=直径×3.14の式にあてはめると求められます。

例題1:次の円の円周の長さを求めなさい。
(1)直径10cmの円
円周1






(2)半径3cmの円

円周2







(解答)
(1)円周を求める式、円周=直径×3.14の式にあてはめて、円周=10×3.14=31.4cm

(2)まず、直径の長さを先に求める。直径は半径の2倍だから、3×2=6cm。
これを円周=直径×3.14の式にあてはめて、円周=6×3.14=18.84cm


例題2:円周の長さがわかっているとき、次の問いに答えなさい。
(1)円周の長さが15.7cmの円の直径を求めなさい。
直径






(2)円周の長さが25.12cmの円の半径を求めなさい。
半径








(解答)
(1)円周=直径×3.14だから、円周÷3.14で直径の長さが求められる。
15.7÷3.14=5cm

(2)まず、円周÷3.14=直径の式を使って、直径を求める。
25.12÷3.14=8cm(直径)
半径は直径の半分の長さだから、半径は8÷2=4cm


3、円周の一部(弧(こ)といいます)の長さを求めるときは、円周の何分の一になるかを先に求めてから、円周をわる
円周の一部の長さを求めたいときは、その図形が円全体の何分の一にあたるかを先に求めておきます。

180度360度例えば、円の中心をはさむ半径の角度が180°のとき(これを半円といいます)、円の中心をぐるっとまわる角度は360°ですから、その図形は、360÷180=2より、円の2分の1の大きさだとわかります。



90度また、円の中心をはさむ半径の角度が90°なら、360°÷90=4より、その図形は円の4分の1です。



例題3:次の各問いに答えなさい。
(1)次の図形の、円周の一部にあたる部分の長さを求めなさい。
45度






(2)次の図形のまわりの長さを求めなさい。

30度





(解答)
(1)(1)の図形は、360°÷45°=8より、円の8分の1の図形。
だから、円周の一部にあたる部分は、円周全体の8分の1。
また、直径は半径8cmの2倍の16cm。
円周の8分の1だから、直径×3.14÷8=16×3.14÷8=16÷8×3.14=2×3.14=6.28cm

(2)「まわりの長さ」とは、円周の一部だけではなくて、まわり全部の長さのことだから、半径の部分もふくむ。
まず、円周の一部にあたる部分の長さを求める。
(2)の図形は、直径が6×2=12cmで、360÷30=12だから、円全体の12分の1である。
円周=直径×3.14より、円周の一部にあたる部分の長さは12×3.14÷12で求められる。
12×3.14÷12=12÷12×3.14=1×3.14=3.14cm。
円周の一部にあたる部分の長さは3.14cm。

まわりの長さは、この長さに半径2つ分が加わるから、3.14+6+6=15.14cm


(参考)
円周を求める問題では、計算の工夫をすると、解く時間も短くてすみ、間違いも減ります。
例えば、16×3.14÷8を計算するとき、正直に16×3.14をしてから、その答えを8でわるのは遠回りです。
16×3.14÷8を16÷8×3.14と順序をかえると、16÷8=2なので、2×3.14の計算だけをしたらよいことになり、とても計算が楽になります。




例題4:運動場に、図のようなトラックがあります。このトラックのまわりにそって走ると何m走ることになりますか。
トラック







(解答)
トラックのうち、直線ではない部分を2つ合わせると1つの円の円周になる。
円周の部分の長さは、円周=直径×3.14より、50×3.14=157m。
この長さに、直線部分の50m×2=100mを加えると、100+157=257m


例題4:図の四角形は1辺が8cmの正方形です。色をぬった部分のまわりの長さを求めなさい。
弓形






(解答)
色をぬった部分のまわりは、円周の一部であり、2つの部分を合わせるとちょうど円の半分になる。
半径8cmだから、直径は8×2=16cm。
直径16cmの円の円周の長さの半分だから、16×3.14÷2=16÷2×3.14=8×3.14=25.12cm



これだけ、理解して覚えておけば大丈夫

1、円周率…円周(円の周りの長さ)は直径の約3.14倍であり、この3.14…のことを円周率という
2、円周の長さを求める式…円周=直径×3.14
3、円周の一部の長さを求める問題…円周の何分の一かを先に求めてから、円周をわる





(算数のさらに詳しい説明は『小学校算数・目次』からたどってご覧ください。)


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