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math 【超速まとめ】 方程式の利用(値段・残金・過不足・速さ・割合・食塩水・比例式)


「方程式の利用」の章を一目で理解できるように、重要事項を最も簡単にまとめました。

1、問題を解くときの順序
(1)何をxにするかを決める(ふつう、問題文の最後で「求めなさい」と書かれているものをxにする)

(2)問題文中で、「文章を等式に表せる部分」を見つけて、等式作る

(3)作った方程式を、もっとも簡単な解き方・方法で解く

(4)求めた方程式の解が答えとしてふさわしいかどうかを確認して、単位をつけて答えを書く


2、個数や値段(合わせて〜個)の問題(基本)
例題1:1本90円の鉛筆と1本120円のボールペンを合わせて20本買ったところ、代金の合計は2040円であった。買った鉛筆の本数を求めよ。

(1)問題文の最後に「買った鉛筆の本数を求めよ」とあるから、買った鉛筆の本数をx本とする

(2)「代金の合計は2040円であった」から、代金を表す等式、90x+120(20-x)=2040を導く
合わせて20本買った」とき、一方はx、もう一方は20-xになる(理解して覚えておくこと)

(3)方程式を解く
90x+120(20-x)=2040
分配法則を使って()を開いて、90x+2400-120x=2040
xをふくむ項を左辺に、数字の項を右辺に移項して、90x-120x=2040-2400
-30x=-360
x=12

(4)答えは、鉛筆12本(ちなみに、ボールペンは「合わせて20本」だから、20-12=8本)


3、残金や貯金や年齢の問題(基本)
例題2:Aは750円、Bは600円持っていたが、AもBも同じ鉛筆を5本ずつ買ったところ、Aの残金はBの残金の2倍になった。鉛筆1本の値段を求めよ。

(1)「鉛筆1本の値段を求めよ」だから、鉛筆1本の値段をx円とする

(2)「Aの残金はBの残金の2倍になった」から、残金を表わす等式、750-5x=2(600-5x)を導く(先に残金750-5x、600-5xを見つけておき、そのあと、「AはBの2倍」で式を作ればよい)

(3)方程式を解く
750-5x=2(600-5x)
分配法則を使って()をとって、750-5x=1200-10x
xをふくむ項を左辺に、数字の項を右辺に移項して、-5x+10x=1200-750
5x=450
x=90

(4)答え、鉛筆1本の値段は90円


4、過不足の問題(基本)
例題3:何人かの子どもにみかんを配るのに、1人に4個ずつ配ると10個余り、5個ずつ配ると4個足りない。子どもの人数とみかんの個数を求めよ。

(1)ものを分配する問題は、人数とものの個数の2つのうち、人数のほうをxとするほうが楽に解ける
この問題でも、子どもの人数をx人とする

(2)「1人に4個ずつ配ると10個余る」から、みかんの個数を表す式は4x+10であり、「5個ずつ配ると4個足りない」から、みかんの個数を表わす式は5x-4である
両方ともみかんの個数を表しているから、等式にして4x+10=5x-4

(3)方程式を解く
4x+10=5x-4
xをふくむ項を左辺に、数字の項を右辺に移項して、4x-5x=-4-10
-x=-14
x=14

(4)答えは、子どもの人数が14人、みかんの個数は、4x+10代入して4×14+10=66個、または、5x-4代入して5×14-4=66個


5、速さの問題(基本)
例題4:弟が家を出発して毎分60mの速さで学校に向かった。弟が出発してから4分後に、兄が毎分140mの速さで同じ道を追いかけた。兄は、出発してから何分後に弟に追いつくか。

(1)「兄が何分後に追いつくか」を求める問題だから、兄が出発してから追いつくまでの時間をx分とする。

(2)兄が進む距離は、距離=速さ×時間より140x
弟が進む距離は、兄より4分前に出発したから(4分多く進んでいるから)、60(x+4)
追いつく」とは、進んだ距離同じだという意味だから、等式140x=60(x+4)ができる

(3)方程式を解く
140x=60(x+4)
分配法則を使って()を開いて、140x=60x+240
xをふくむ項を左辺に移項して、140x-60x=240
80x=240
x=3

(4)答え、兄は出発してから3分後に弟に追いつく


6、割合の問題(基本)
例題5:ある商品に、仕入れ値(原価)の30%の利益を見込んで定価をつけ、大売出しの日に定価から500円値引きして売ったところ、利益は700円であった。この商品の仕入れ値(原価)を求めよ。

(1)「仕入れ値(原価)を求めよ」とあるので、仕入れ値をx円とする

(2)「30%の利益を見込む」から、仕入れ値のxに、もとの割合130%0.3を加えた1.3をかけて1.3x(「30%」は0.3だが、30%利益を見込んだ定価は、それだけ高く売るわけだから1+0.31.3をかけないといけない)
500円値引きしたので、1.3x-500
「利益は700円であった」より、等式1.3x-500-x=700を導く(「利益」は「儲け」だから、売った値段の1.3x-500から仕入れ値のxをひいたものが利益、儲けである)

(3)方程式を解く
1.3x-500-x=700
小数の式だから、両辺を10倍して、13x-5000-10x=7000
数字の項-5000を右辺に移項して、13x-10x=7000+5000
3x=12000
x=4000

(4)答え、仕入れ値は4000円


7、食塩水の問題(基本)
例題6:12%の食塩水400gに4%の食塩水を混ぜて、9%の食塩水を作りたい。4%の食塩水を何g混ぜればよいか。

(1)4%の食塩水をxgとする(9%の食塩水は、400gとxgを合わせた(400+x)gになる)

(2)食塩水にふくまれる食塩を表わす等式、400×0.12+0.04=(400+x)×0.09を導く(食塩を表す式は食塩水×%であり、食塩水×%+食塩水×%=食塩水×%の式を作る)
食塩水









(3)方程式を解く
400×0.12+0.04=(400+x)×0.09
この式の両辺に100をかけて、400×12+x×4=(400+x)×9
分配法則を使って()を開いて、4800+4x=3600+9x
移項して、4x-9x=3600-4800
-5x=-1200
x=240

(4)答え、4%の食塩水は240g


8、比例式を使う問題(基本)
例題2:5cmの長さが、実際の距離10kmを表している地図がある。この地図で8cm離れた2つの地点の、実際の距離は何kmか。

(1)「実際の距離は何kmか」だから、実際の距離をxkmとする

(2)地図の5cmの長さ:実際の距離10kmの比と、地図の8cmの長さ:実際の距離xkmの比が等しいので、比例式5:10=8:xを作る

(3)方程式を解く
5:10=8:x
外側の項の積と内側の項の積は等しいから、5x=8×10
5x=80
x=16

答え、実際の距離は16km





(数学の、さらに詳しい説明はこちらの目次からたどってご覧ください。)


math 【超速まとめ】 方程式の解き方


方程式の解き方を一目で理解できるように、重要事項を最も簡単にまとめました。

1、等式・辺・解
最初に、方程式に関係のある用語を覚える

等式等号(=)で結ばれた式を等式といい、方程式も等式の一つである

左辺右辺両辺…等式の左側を左辺、右側を右辺、両方を合わせて両辺という

方程式を解いて求めた答え(方程式の文字にあてはめると等式が成り立つ)を、方程式のといい、解を求めることを「方程式を解く」という


2、方程式の解き方(その1)…代入して解を求める解き方
例題1:次のア〜ウの方程式のうち、解が5であるものを選べ。
(ア) x-2=-3  (イ) 5-2x=15  (ウ) x+3=3x-7


方程式の各辺にあるxに5を代入して、左辺と右辺が等しくなるかどうかを調べる
(ア)左辺が5-2=3となり、右辺の-3とは違うから、解が5であるとはいえない
(イ)左辺が5-2×5=5-10=-5となり、右辺の15とは違うから、解が5であるとはいえない
(ウ)左辺は5+3=8となり、右辺は3×5-7=15-7=8となり、左辺と右辺が等しいので解が5だといえる
答えは(ウ)


3、方程式の解き方(その2)…等式の性質を使って解を求める解き方
例題2:次の方程式を、等式の性質を使って解け。
(1)x-7=-11
(2)x+12=15
(3)x/5=-2
(4)-2x=-10


等式の性質…等式の性質とは次の4つをいう
等式の性質1:等式の両辺に同じ数をたしても等式は成り立つ A=Bならば、A+C=B+C
等式の性質2:等式の両辺から同じ数をひいても等式は成り立つ A=Bならば、A-C=B-C
等式の性質3:等式の両辺に同じ数をかけても等式は成り立つ A=BならばA×C=B×C
等式の性質4:等式の両辺を同じ数でわっても等式は成り立つ A=BならばA÷C=B÷C(ただしC≠0)

「等式の性質を使って解く」とは、最後がx=□の形になるように、等式の両辺に、同じ数をたしたり、ひいたり、かけたり、わったりすることをいう

(1)x-7=-11…両辺に7をたす
x-7+7=-11+7
x=-4

(2)x+12=15…両辺から12をひく
x+12-12=15-12
x=3

(3)x/5=-2…両辺に5をかける
x/5×5=-2×5
x=-10

(4)-2x=-10…両辺を-2でわる
-2x÷(-2)=-10÷(-2)
x=5

方程式の答えはで、解とはxにあてはまる値のことだから、答えは必ずx=〜と書かないといけない(答えとして数字だけ書いたら×になる)


4、方程式の解き方(その3)…移項して解を求める解き方
例題3:次の方程式を解け
(1)4x-15=-3
(2)3x=x+8
(3)-8x+5=-5x+20


移項…方程式の項を、左辺にあるものを右辺に、右辺にあるものを左辺に移すことを移項という
方程式の答えはで、解とはxにあてはまる値のことだから、答えは必ずx=〜となる
だから、xをふくむ項左辺に、数字だけの項右辺に移項する

移項するときの規則+の項は移項すると−に−の項は移項すると+に変わる
また、等式の性質である、「両辺に同じ数をかけても等式は成り立つ」と、「両辺を同じ数でわっても等式は成り立つ」も使う

(1)4x-15=-3…「xをふくむ項左辺に、数字だけの項右辺に」を目標に、左辺の-15を右辺に移項する
4x=-3+15…移項すると、左辺の-15は右辺では+15になる
4x=12…方程式の答えはx=〜の形だから、最後に両辺を4でわる
x=3

(2)3x=x+8…「xをふくむ項左辺に、数字だけの項右辺に」を目標に、右辺のxを右辺に移項する
3x-x=8…移項すると、右辺のxは左辺では-xになる
2x=8…方程式の答えはx=〜の形だから、最後に両辺を2でわる
x=4

(3)-8x+5=-5x+20…「xをふくむ項左辺に、数字だけの項右辺に」を目標に、左辺の5を右辺に、右辺の5xを左辺に移項する
-8x+5x=20-5…移項すると、左辺の+5は右辺では-5に、右辺の-5xは左辺では+5xになる
-3x=15…方程式の答えはx=〜の形だから、最後に両辺を-3でわる
x=-5

一次方程式…移項するとax=bの形(aとbは数字)になる方程式を一次方程式という


5、やや複雑な方程式の解き方
例題4:次の方程式を解け
(1)4(1-2x)=-5(2x+4)
(2)2/3x-1/6x=-1
(3)x-1/3=3x+7/4
(4)1.2x-1.7=x-4.1
(5)200(4x+1)=900(2x-7)

(6)42:12=14:x


()がある方程式は、まず、分配法則を使ってかっこをはずしたあと、移項して解く
(1)4(1-2x)=-5(2x+4)…まず、分配法則を使ってかっこをはずす
4-8x=-10x-20
-8x+10x=-20-4
2x=-24
x=-12


分数をふくむ方程式は、まず、分母の公倍数を両辺にかけて整数の式にしてから、移項して解く(分数のままでも解くことはできるが、計算が複雑になるので整数にしてから解く)
(2)2/3x-1/6x=-1分母の公倍数6を両辺にかけて整数の式にする
2/3x×6-1/6x×6=-1×6…両辺のすべての項に6をかける
4x-x=-6
3x=6
x=2


分数をふくむ方程式は、まず、分母の公倍数を両辺にかけて整数の式にしてから、移項して解く
(3)x-1/3=3x+7/4分母の公倍数12を両辺にかけて整数の式にする
分数の方程式











小数をふくむ方程式は、まず、両辺を10倍100倍して整数の式にしてから、移項して解く(小数のままでも解くことはできるが、計算が複雑になるので整数にしてから解く)
(4)1.2x-1.7=x-4.1…10倍すると整数になるから、両辺のすべての項を10倍する
12x-17=10x-41
12x-10x=-41+17
2x=-24
x=-12


両辺に0があって、10や100でわると小さい数字になることが明らかなときなどは、先に両辺を同じ数でわってから、移項して解く
(5)200(4x+1)=900(2x-7)…200と900に着目して、両辺を100でわって小さい数字にしてから解く
200(4x+1)/100=900(2x-7)/100
2(4x+1)=9(2x-7)
8x+2=18x-63
8x-18x=-63-2
-10x=-65
x=6.5(または、x=13/2)


比例式は、外側の項の積=内側の項の積(a:b=c:dのとき、ad=bc)を利用して解く
(6)42:12=14:x…外側の項の積=内側の項の積(a:b=c:dのとき、ad=bc)を利用する
42x=12×14
42x=168
x=4

比の値…比a:bで、a÷b=b/aを比の値という
比の値が等しいものを等式で表したとき、比例式という
比例式では、外側の項の積と内側の項の積は等しいa:b=c:dのとき、ad=bc



(方程式の、さらに詳しい説明はこちらの目次からたどってご覧ください。)

math 【超速まとめ】 連立方程式の利用(応用問題…平均・池・鉄橋とトンネル・食塩水の移動・比・仕事)


「連立方程式の利用」の応用問題を一目で理解できるように、重要事項を最も簡単にまとめました。

1、問題を解くときの順序
(1)何をxとyにするかを決める(ふつう、問題文の最後で「求めなさい」と書かれているものをx、yにする)

(2)問題文中で、「文章を等式に表せる部分」を2か所見つけて、等式2つ作る

(3)作った連立方程式を、もっとも簡単な解き方・方法で解く

(4)求めた連立方程式の解が答えとしてふさわしいかどうかを確認して、単位をつけて答えを書く


2、平均の問題(応用)
例題1:ある中学校の生徒80人が学力テストを受験した。全体の平均点は58点で、男子の平均点は52点、女子の平均点は62点であった。男子・女子の人数はそれぞれ何人か。

(1)男子の人数をx人、女子の人数をy人とする

(2)「生徒数80人」から、人数を表す等式、x+y=80を導く
「全体の平均点は58点で、男子の平均点は52点、女子の平均点は62点であった」から、合計点を表わす等式、52x+62y=58×80を導く(合計=平均×人数をもちい、平均×人数平均×人数=平均×人数の式を作る)

(3)連立方程式を解く
x+y=80…(1)
52x+62y=58×80…(2)
(2)の式の両辺を2でわって、26x+31y=58×40、26x×31y=2320
(1)の式の両辺を26倍して、26x+26y=2080
この2式を加減法で解いて、y=48、x=32

(4)答えは、男子32人、女子48人


3、池の問題(応用)
例題2:周囲2400mの池を、A、B2人が同時に同じ地点から歩いた。反対の方向に歩くと2人は15分で出会い、同じ方向に歩くと60分でAがBを初めて追い抜いた。A、Bはそれぞれ分速何mで歩いたか。

(1)Aの分速をxm、Bの分速をymとする

(2)「反対の方向に歩くと15分で出会い」から、池の周囲を表す等式、15x+15y=2400を導く(反対方向に進んで出会うとき、Aの進んだ距離Bの進んだ距離=池の周囲の長さである)
「同じ方向に歩くと60分でAがBを追い抜いた」から、池の周囲を表わす等式、60x-60y=2400を導く(同じ方向に進んで追い抜くとき、Aの進んだ距離Bの進んだ距離=池の周囲の長さである)

(3)連立方程式を解く
15x+15y=2400…(1)
60x-60y=2400…(2)
(1)の式の両辺を15でわって、x+y=160
(2)の式の両辺を60でわって、x-y=40
この2式を加減法で解いて、x=100、y=60

(4)答えは、Aが分速100m、Bが分速60m


4、鉄橋とトンネルの問題(応用)
例題3:ある列車が一定の速さで走っている。この列車が長さ570mの鉄橋を渡りはじめてから渡り終わるまでに18秒かかった。また、長さ3500mのトンネルをくぐるとき、この列車がすっかりかくれている時間は56秒であった。この列車の長さと速さをそれぞれ求めよ。

(1)列車の長さをxm、列車の速さを秒速ymとする

(2)「列車が長さ570mの鉄橋を渡りはじめてから渡り終わるまでに18秒」から、列車が進んだ距離を表す等式、18y=570+xを導く(渡りはじめてから渡り終わるまでに、列車は、鉄橋の長さ+列車の長さだけ進む)
「長さ3500mのトンネルをくぐるとき、この列車がすっかりかくれている時間は56秒」から、列車が進んだ距離を表す等式、56y=3500-xを導く(列車がすっかりかくれている距離トンネルの長さ列車の長さである)

(3)連立方程式を解く
18y=570+x…(1)
56y=3500-x…(2)
この2式を加減法で解いて、y=55、x=420

(4)答えは、列車の長さが420m、列車の速さが秒速55m


5、食塩水を移す問題(応用)
例題4:容器Aと容器Bに、濃さの違う食塩水がそれぞれ400gずつある。容器Aから食塩水を200gとり容器Bに移したら、容器Bには4%の食塩水600gができた。そのあと、容器Bから食塩水を200gとり容器Aに移したら、容器Aには6%の食塩水400gができた。最初、容器A、容器Bにはそれぞれ何%の食塩水があったか。

(1)容器Aの食塩水の最初の濃度をx%、容器Bの食塩水の最初の濃度をy%とする

(2)「容器Aから食塩水を200gとり容器Bに移したら、容器Bには4%の食塩水600gができた」から、それぞれの食塩水に含まれる食塩の量を表す等式、200×x/100+400×y/100=600×4/100を導く
「容器Bから食塩水を200gとり容器Aに移したら、容器Aには6%の食塩水400gができた」から、それぞれの食塩水に含まれる食塩の量を表す等式、200×4/100+200×x/100=400×6/100を導く

(3)連立方程式を解く
2x+4y=24…(1)
8+2x=24…(2)
(2)の一次方程式を解いて、x=8
この解を(1)の式に代入して、y=2

(4)答えは、容器Aの食塩水が8%、容器Bの食塩水が2%


6、比の問題(応用)
例題5:兄と弟の所持金の比は5:3であった。兄が父から300円もらい、弟が120円使ったら、所持金の比が5:2になった。はじめに兄と弟はそれぞれ何円持っていたか。

(1)兄の最初の所持金をx円、弟の最初の所持金をy円とする

(2)「兄と弟の所持金の比は5:3であった」から、それぞれの所持金のを表す等式、x:y=5:3を導く
「兄が300円もらい、弟が120円使ったら、所持金の比が5:2になった」から、を表わす等式、x+300:y-120=5:2を導く

(3)連立方程式を解く
x:y=5:3より、3x=5y…(1)
x+300:y-120=5:2より、2(x+300)=5(y-120)…(2)
(2)の式の()を開いて整頓して、2x-5y=-1200
(1)の式の5y=3xを(2)の式の2x-5y=-1200に代入して、2x-3x=-1200
この式を解いて、x=1200、(1)に代入して解くとy=720

(4)答えは、兄の所持金は1200円、弟の所持金は720円


7、仕事の問題(応用)
例題6:ある仕事をするのに、A1人では20日、B1人では30日かかるという。この仕事をするのに、A1人で何日かした後で、残りをB1人でしたところ、全部で22日かかった。A、Bはそれぞれ何日仕事をしたか。

(1)Aが仕事をした日をx日、Bが仕事をした日をy日とする

(2)「全部で22日かかった」から、2人が仕事をした日数の合計を表す等式、x+y=22を導く
A1人では20日、B1人では30日かかる」から、Aが1日にする仕事の量は全体の仕事の1/20、Bが1日にする仕事の量は全体の仕事の1/30であることを見つけておき、仕事の量の割合を表す等式、1/20×x+1/30×y=1を導く(仕事全体の割合は1である)

(3)連立方程式を解く
x+y=22…(1)
1/20×x+1/30×y=1…(2)
(2)の式の両辺に分母の公倍数60をかけて、3x+2y=60
(1)の式の両辺を2倍して、2x+2y=44
この2式を加減法で解いて、x=16、x=6

(4)答えは、Aが16日、Bが6日




(数学の、さらに詳しい説明はこちらの目次からたどってご覧ください。)


math 【超速まとめ】 連立方程式の利用(代金・2けたの整数・年齢・速さ・割合・食塩水)


「連立方程式の利用」の章を一目で理解できるように、重要事項を最も簡単にまとめました。

1、問題を解くときの順序
(1)何をxとyにするかを決める(ふつう、問題文の最後で「求めなさい」と書かれているものをx、yにする)

(2)問題文中で、「文章を等式に表せる部分」を2か所見つけて、等式2つ作る

(3)作った連立方程式を、もっとも簡単な解き方・方法で解く

(4)求めた連立方程式の解が答えとしてふさわしいかどうかを確認して、単位をつけて答えを書く


2、個数や値段の問題(基本)
例題1:1本80円の鉛筆と1本100円のボールペンを合わせて8本買い、700円払った。買った鉛筆とボールペンの本数をそれぞれ求めよ。

(1)鉛筆の本数をx、ボールペンの本数をyとする

(2)「合わせて8本買い」から、本数を表す等式、x+y=8を導く
「700円払った」から、代金を表わす等式、80x+100y=700を導く

(3)連立方程式を解く
x+y=8…(1)
80x+100y=700…(2)
(2)の式の両辺を10でわって、8x+10y=70
(1)の式の両辺を8倍して、8x+8y=64
この2式を加減法で解いて、y=3、x=5

(4)答えは、鉛筆5本、ボールペン3本


3、2けたの整数の問題(基本)
例題2:2けたの正の整数がある。その整数の十の位の数と一の位の数の和は13である。また、十の位の数と一の位の数を入れかえてできる整数は、もとの整数より27大きい。もとの整数を求めよ。

(1)中1の文字式で学んだことを思い出して、もとの整数である2けたの整数10x+yとする

(2)「その整数の十の位の数と一の位の数の和は13」から、x+y=13(「十の位の数」は「十の位を表す数字」つまりxであって10xではない、10x+y=13は一番多い間違い)
「十の位の数と一の位の数を入れかえてできる整数は、もとの整数より27大きい」から、10y+x=10x+y+27(「入れかえてできる整数」は10y+x、「もとの整数」は10x+y

(3)連立方程式を解く
x+y=13…(1)
10y+x=10x+y+27…(2)
(2)の式の10x、yを左辺に移して-9x+9y=27
さらに両辺を9でわって、-x+y=3
この式と(1)のx+y=13の2式を加減法で解いて、x=5、y=8

(4)答えは、問題文「もとの整数を求めよ」から、58


4、年齢の問題(基本)
例題3:現在、父親の年齢は子どもの年齢の3倍であるが、15年後には父親の年齢が子どもの年齢の2倍になる。現在の父親の年齢と子どもの年齢を求めよ。

(1)現在の父親の年齢をx、現在の子どもの年齢をyとする

(2)「現在、父親の年齢は子どもの年齢の3倍である」から、等式のx=3yを導く
「15年後には父親の年齢が子どもの年齢の2倍になる」から、等式のx+15=2(y+15)を導く(15年後、父親の年齢はx+15、子どもの年齢はy+15である)

(3)連立方程式を解く
x=3y…(1)
x+15=2(y+15)…(2)
(2)の式の()をあけて、式を整頓して、x-2y=15
(1)の式の形から代入法で解くこと決めて、x-2y=15の式にx=3yを代入する
この式を解いて、y=15、(1)のx=3yに代入してx=45

(4)答えは、現在の父親は45歳、子どもは15歳


5、速さの問題(基本)
例題4:峠をはさんで18km離れたA・B両地がある。ある人がA地からB地へ行くのに、A地から峠までは毎時4km、峠からB地までは毎時6kmの速さで歩いたら全部で4時間かかった。A地から峠まで、峠からB地までの距離をそれぞれ求めよ。

(1)A地から峠までの距離をxkm、峠からB地までの距離をykmとする

(2)「18km離れたA・B両地がある」から、距離を表す等式、x+y=18を導く
「A地から峠までは毎時4km、峠からB地までは毎時6kmの速さで歩いたら全部で4時間かかった」から、時間を表わす等式、x/4+y/6=4を導く

(3)連立方程式を解く
x+y=18…(1)
x/4+y/6=4…(2)
(2)の式の両辺に分母の公倍数12をかけて、3x+2y=48
(1)の式の両辺を2倍して、2x+2y=36
この2式を加減法で解いて、x=12、y=6

(4)答えは、A地から峠まで12km、峠からB地まで6km


6、割合の問題(基本)
例題5:ある中学校の昨年の生徒数は男女合わせて350人であったが、今年は昨年と比べて男子が10%増加し女子が5%減少したので、男女合わせて358人になった。今年の男子、女子の生徒数をそれぞれ求めよ。

(1)問題文は「今年の男子、女子の生徒数をそれぞれ求めよ」とあるが、昨年の男子の生徒数をx人、女子の生徒数をy人とする(「過去・今」の問題は、「今を求めよ」とあっても「過去」のほうをx、yとする)

(2)「昨年の生徒数は男女合わせて350人であった」から、昨年の人数を表す等式、x+y=350を導く
「今年は男子が10%増加し女子が5%減少したので、男女合わせて358人になった」から、今年の人数を表わす等式、1.1x+0.95y=358を導く(「10%になった」ではなくて「10%増加した」だから、0.1xではなくて、(1+0.1)xつまり1.1x、同様に、「5%減少した」だから、(1-0.05)yつまり0.95y

(3)連立方程式を解く
x+y=350…(1)
1.1x+0.95y=358…(2)
(2)の式の両辺を100倍して、110x+95y=35800
(1)の式の両辺を110倍して、110x+110y=38500
この2式を加減法で解いて、y=180、x=170

(4)連立方程式のは「去年の男子、女子」であり、問題文には「今年の男子、女子の生徒数をそれぞれ求めよ」とあるから、答えは、男子は170×1.1=187人、女子は180×0.95=171人


7、食塩水の問題(基本)
例題6:4%の食塩水と8%の食塩水がある。この2種類の食塩水を混ぜて、5%の食塩水を400gつくりたい。2種類の食塩水をそれぞれ何g混ぜればよいか。

(1)4%の食塩水をxg、8%の食塩水をygとする

(2)「食塩水を400gつくりたい」から、食塩水を表す等式、x+y=400を導く
「2種類の食塩水を混ぜて、5%の食塩水を400gつくりたい」から、食塩水にふくまれる食塩を表わす等式、0.04x+0.08y=0.05×400を導く(食塩を表す式は%×食塩水であり、%×食塩水+%×食塩水=%×食塩水の式を作る)

(3)連立方程式を解く
x+y=400…(1)
0.04x+0.08y=0.05×400…(2)
(2)の式の両辺に100をかけて、4x+8y=2000、さらに両辺を4でわって、x+2y=500
(1)の式のx+y=400と、(2)の式を変形したx+2y=500から
この2式を加減法で解いて、x=300、x=100

(4)答えは、4%の食塩水が300g、8%の食塩水が100g



(数学の、さらに詳しい説明はこちらの目次からたどってご覧ください。)


social studuies 【超速まとめ】 オセアニア


世界地理分野のうち、オセアニアの章が一目で理解できるように、重要事項を最もわかりやすくまとめました。


1、オセアニア
オセアニア






















オセアニア(大洋州)…太平洋の島々オーストラリアニュージーランドをふくむ地域


太平洋の島々…ポリネシアミクロネシアメラネシアに分かれる

ポリネシア(「多くの島々」という意味、ほぼ経度180度以東、ハワイ・ニュージーランド・イースター島を結ぶ三角形の内部の島々、ハワイ諸島・サモアイースター島など)

ミクロネシア(「小さな島々」という意味、赤道以北・経度180度以西、ミクロネシア連邦パラオグアム島など)

メラネシア(「黒い島々」という意味、赤道以南・経度180度以西、ナウルフィジー諸島パプアニューギニアなど)


自然気候…オーストラリア・ニュージーランド・ニューギニア島が面積の98%、太平洋の島々(火山でできた島とさんご礁でできた島)が面積の2%
ほとんどが熱帯、オーストラリアは乾燥帯が多く、ニュージーランドは温帯
総人口3000万人


歴史…先住民はアボリジニ(オーストラリア)・マオリ(ニュージーランド)、17世紀以降ヨーロッパ人が入植、19世紀にオーストラリア・ニュージーランドはイギリスの植民地に、現在は15の独立国


地球温暖化の影響…海水面の上昇で水没(ツバルなど)


2、オーストラリア
自然…日本とほぼ同じ経度で南半球にあるため季節は逆
東部・南西部は温帯で人口が集中(首都キャンベラシドニーなど)、中央部・西部は乾燥帯で砂漠(グレートビクトリア砂漠グレートサンディー砂漠など)

農業の飼育数は世界一(グレートアーテジアン盆地で掘りぬき井戸を活用)、の飼育、小麦

鉱業…東部で石炭、北西部で鉄鉱石(多くを日本に輸出)、ボーキサイトニッケル

貿易…アジアと結びつく(オーストラリアからの輸出は日本・中国の順、輸入は中国・日本の順)

観光…カンガルー・コアラ

白豪主義…かつては白人以外の移民を禁止、現代は白豪主義を廃止し多文化主義


3、ニュージーランド
…人口より羊の頭数が多い
農業…羊毛・羊肉・牛肉を日本やアメリカに輸出
二文化主義…先住民マオリの文化を尊重する

4、サモア
1962年、ニュージーランドから最初に独立

5、パプアニューギニア
森林伐採で環境破壊、さんご礁が観光地に




(社会科の、さらに詳しい説明はこちらの目次からたどってご覧ください。)

social studuies 【超速まとめ】 南アメリカ


世界地理分野のうち、南アメリカの章が一目で理解できるように、重要事項を最もわかりやすくまとめました。

1、南アメリカ
南アメリカ自然・気候アマゾン川河口を赤道が通る→熱帯雨林気候

アンデス山脈高山気候

ブラジル高原→乾燥帯

ラプラタ川流域…温帯


セルバ…アマゾン川流域の熱帯雨林

セラード…ブラジル高原の草原

パンパ…ラプラタ川流域の草原

歴史スペインポルトガルが侵略(インカ帝国滅びる)植民地に(ラテンアメリカと呼ばれる)、現在は12の国

公用語ブラジルのみポルトガル語、他はスペイン語

民族…先住民はインディオ、ヨーロッパ系と先住民の混血がメスティーソ、他にアフリカ系との混血、日本からの移民も150万人

モノカルチャー経済…農産物、鉱産資源

メルコスール(南米南部共同市場)…関税の引き下げ、ブラジルアルゼンチンウルグアイパラグアイベネズエラ


2、ブラジル
農業…コーヒーの生産・輸出は世界一、さとうきびバイオ燃料(石油の代替エネルギー)、とうもろこし大豆

鉱業…鉄鉱石(イタビラ・カラジャス)、日本も輸入

工業…自動車工業など(BRICs(ブリックス)の一つ)

開発…アマゾン川の開発(横断道路の建設や焼畑農業環境破壊、入植者の貧困化)、セラードの開発(機械化された大農場でコーヒー・大豆)

オリンピック…2016年、南アメリカで初の夏季オリンピックがリオデジャネイロ


3、ベネズエラ
マラカイボ湖周辺で石油産出、OPEC加盟国

4、ペルー
インカ文明の遺跡が世界遺産、を産出、漁業がさかん、首都リマの周辺にプエブロホーベン(新しい村)と呼ばれる住宅地区(スラム化)

5、ボリビア
内陸国、すず鉱石を産出

6、チリ
の産出が世界一

7、アルゼンチン
パンパ小麦大豆牧牛、自動車工業



(社会科の、さらに詳しい説明はこちらの目次からたどってご覧ください。)


social studuies 【超速まとめ】 北アメリカ


世界地理分野のうち、北アメリカの章が一目で理解できるように、重要事項を最もわかりやすくまとめました。

1、北アメリカ
北アメリカ
































地形…西にロッキー山脈、東にアパラチア山脈、その間にミシシッピ川と中央大平原

中央大平原ミシシッピ川流域に広がる広大な平野を地形構造から呼ぶときの言葉

グレートプレーンズ…中央大平原と隣接する、ロッキー山脈から流れ出る川が形成したロッキー山脈東側山麓の平野をさす言葉

プレーリー…温帯の背丈の高い草原を意味する言葉、その草原が生えている地域をプレーリーと呼ぶ

中央大平原グレートプレーンズは隣接した地域名だが、プレーリーは植生や土壌に着目した呼び名なので中央大平原やグレートプレーンズと重なることもある(つまり、地図では3つが別のもののように並んで記述してあるが、はっきりと区別できるものではない)。



気候…カナダ・アラスカは冷帯(タイガ気候)、東西海岸部は温帯、西部に乾燥帯、メキシコ湾岸は亜熱帯熱帯

歴史先住民インディアン(ネイティブアメリカン)・イヌイット、16世紀からヨーロッパ人が移住、18世紀にアメリカ合衆国建国、アフリカから奴隷として黒人、最近はアジア系・中南アメリカからヒスパニック(スペイン語系)が増加


2、アメリカ合衆国の農業
世界の食料庫小麦とうもろこし大豆綿花輸出は世界一

大規模農業企業的農業大農場機械化された農業、巨大企業であるアグリビジネス穀物商社)と契約

適地適作…気候・土壌に最適の作物を栽培
アメリカの農業五大湖周辺…酪農

東部…近郊農業

カナダ・グレートプレーンズ北部・プレーリー…小麦

東中部…とうもろこし

南部・・・綿花

メキシコ湾岸…果物・野菜

ロッキー山脈…放牧

カリフォルニア州…果物・野菜・米


3、アメリカ合衆国の工業
資源…鉄鉱石(メサビ)、石炭(アパラチア)、石油・天然ガス(メキシコ湾岸・カリフォルニア)

古い工業地帯…北東部五大湖周辺で鉄鋼業自動車工業

北緯37°以南…サンベルト(宇宙産業・石油化学)

サンフランシスコ郊外…シリコンバレー先端技術産業

ロサンゼルスシアトル航空機


グローバル化…マイクロソフト・グーグルなど情報通信産業で世界をリード

多国籍企業…世界各地に支店や工場

NAFTA北米自由貿易協定)…アメリカ合衆国カナダメキシコ3国で関税をなくす


4、世界をリード
国際石油資本メジャー)…資源の供給と価格を支配

ウォール街ニューヨーク)…世界の金融の中心地

文化音楽(ジャズ・ロック)、映画(ハリウッドで製作)、商業(ショッピングセンターファーストフードコンビニエンスストア)、インターネットは世界に広がる


5、都市の発達
都市化…都心(ダウンタウン)にオフィス、富裕層は郊外に居住、貧困層はスラムを形成

メガロポリスボストンからワシントンD.C.まで、大都市がつらなっている

他民族国家公民権法で差別を禁止

6、カナダ
面積は世界第2位、イギリス系移民が多くケベック州にはフランス系住民、小麦・木材・ニッケル・鉄鉱石・銅などを輸出


7、メキシコ
首都はメキシコシティ、石油・銀を輸出




(社会科の、さらに詳しい説明はこちらの目次からたどってご覧ください。)


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