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math 見取り図と展開図の関係 (小学算数)
- 2012.03.28 Wednesday
- 算数・数学
- 22:39
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- by アリ
塾生にはいつも偉そうに教えていますが、私にも苦手な問題がいくつかあります。展開図の問題もその一つです。
例題1:左の立方体の見取り図の3つの面に書かれたA、B、Cのアルファベットを、下の展開図の正しい場所に、向きも考えて正しく書き入れなさい。
(解き方と解答)
見取り図の頂点に自分で記号をつけておくと、確信をもって正解にたどりつくことができます。
見取図に記号を書き込んだら、見取図を参考に、展開図のAが書かれた面に記号を記入していきます。
文字Aの上側がアエ、左がアイ、下がイウ、右がエウです。
次に、見取図のBの書かれている面の上の辺がイウであることを参考に、展開図のBの書かれているであろう面に記号を記入していきます。
このとき、文字Aの下がイウで、そのイウが文字Bの上であることと、見取図の文字Bの左がイカ、右がウキであることが参考になります。
最後に、見取図で記号イウが文字Bの上であることを確認して、展開図に文字Bを記入します。
同じように、見取図でCの書かれている面の上の部分がウエであることを手がかりに展開図上でCの面を見つけて、その面に記号ウキクエを書き込み、その記号を参考にCを記入します。
(2)も同じように、見取図に書き込んだ記号を参考に、展開図に記号を記入していくと、正解に到達できます。
例題2:図は立方体の見取図とその展開図です。辺ABの真ん中の点をM、辺BCの真ん中の点をNとし、3点M、N、Fを結ぶとき、この線を展開図に書き入れなさい。
展開図
(解き方と解答)
やはり見取図を参考に、先に展開図にA〜Hの記号を記入してから考えます。
このとき使える技は、同じ面の向かい合う辺に注目することです。
まず、BCの向かい合う辺であるFGを記入します。
そうすると、CGと向かい合うDHを記入できます。
さらにそのDHの向かい合う辺であるAE、GHと向かい合う辺であるFE、そして最後にFEと向かい合う辺BAというふうに、見取図を見て同じ面の向かい合う辺に着目すると、すべての頂点に正確に記号を記入することができます。
展開図にA〜Hの記号が記入できたら、問題に合わせて、ABの真ん中にM(2か所)、BCの真ん中にNを記入して準備完了です。
見取図を参考に、MとN、MとF、NとFを結びます。
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English これで満点 高校入試 英作文(7) 否定文
- 2012.03.27 Tuesday
- 英語
- 11:25
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- by アリ
英文には原則として主語+動詞が絶対に必要です。
つまり英文の骨格は主語+動詞+〜であり、そして動詞で英文が決まるという立場から英作文問題を考えるシリーズです。
この稿では否定文を取り上げます。
動詞は、be動詞と一般動詞の2つに分かれるので、2つをはっきり区別して使い分けないといけません。
さらに、「動詞」の概念を広げるものとして、
(1)be動詞+動詞のing形(進行形)、
(2)助動詞+動詞の原形、
(3)be動詞+動詞の過去分詞形(受け身)、
(4)have(has)+動詞の過去分詞形(現在完了)
の4つがあります。
以上の知識を踏まえた上で、否定文の英作文を考察します。
否定文
「〜である」、「〜をする」という普通の文(肯定文といいます)に対して、「〜ではない」、「〜しない」と述べる文を否定文といいます。
be動詞の否定文…be動詞(is,am,are,was,were)の後にnotを入れる
一般動詞の否定文…一般動詞の前にdo not、does not(主語が3人称単数のとき)、did not(過去形のとき)を入れる
進行形(be動詞+〜ing)…be動詞の後にnotを入れる
受け身(be動詞+過去分詞)…be動詞の後にnotを入れる
助動詞(can,will,must,may,should,had better)…助動詞の後にnotを入れる
現在完了(have,has+過去分詞)…have,hasの後にnotを入れる
まとめると、大きく2つに分かれることがわかります。
(1)do not, does not, did notを動詞の前に入れる・・・一般動詞の文
(2)be動詞、助動詞、have・hasの後にnotを入れる・・・be動詞、助動詞、現在完了の文
be動詞の否定文・進行形の否定文・受け身の否定文
例題7(1) この町には公園がまったくありません。
「〜がある」の否定の文です。
「〜がある」はthere is, there areであり、be動詞の否定文なのでbe動詞の後にnotを入れます。
正解
There are not any parks in this town.
注意:「〜がない」はthere is not a+名詞ですが、「〜がまったくない」はthere are not any+名詞の複数形となります。
肯定文と否定文とで使い分けないといけない形容詞・副詞には次のようなものがあります。
「いくつかある」some〜 ⇔ 「まったくない」not any〜
「〜もある」〜too ⇔ 「〜もない」not〜 either
「すでに〜した」have already 過去分詞 ⇔ 「まだ〜していない」have not 過去分詞〜yet
例題7(2) トムは今宿題をしていません。
進行形(be動詞+〜ing)はbe動詞をもちいるので、否定文を作るときはbe動詞の否定文の規則に従います。
正解
Tom isn't doing his homework now.
例題7(3) パーティでその歌は歌われませんでした。
受け身(be動詞+過去分詞)もbe動詞をもちいるので、否定文を作るときはbe動詞の否定文の規則に従います。
正解
The song wasn't sung at the party.
一般動詞の否定文
一般動詞をもちいた英文の否定文は、主語+don't,doesn't,didn't+動詞の原形の語順になります。
現在形・・・do not+動詞の原形
現在形で主語が3人称・単数のとき・・・does not+動詞の原形
過去形のとき・・・did not+動詞の原形
例題7(4) そのサッカーの試合が終わるまで、雨は降りやまなかった。
天候を述べるので主語はit、「降りやむ」は「降るのがやむ」と考えてstop+ing、「〜まで」は接続詞のtill(またはuntil)をもちいます。
stopは一般動詞であり、「降りやまなかった」で「〜た」とあるので過去形だから、否定文はdid not+動詞の原形の形です。
正解
It didn't stop raining till(until) the soccer game ended.
助動詞の否定文
be動詞と同じで、助動詞の後にnotが入ります。
will→will not, won't
can→cannot, can't(can notはほとんど使わない)
may→may not
must→don't have to, must not, mustn'tは「してはいけない」のときだけ
should→should not
had better→had better not
例題7(5) あなたは食べ過ぎないほうがよい。
「〜したほうがよい」は助動詞のhad betterを使うので、「〜しないほうがよい」はその否定形です。
正解
You had better not eat too much.
注意:had betterは、2語で1つの助動詞です。だから、had better not〜の形になります。よく出題されます。
例題7(6) あなたは今出発する必要はありません。
「〜しないといけない」はmustを使いますが、「〜しなくてよい」、「〜する必要はない」はどう表現するのでしょうか?
正解
You don't have to start now.
注意:must notは、「してはいけない」という意味なので、「〜しなくてよい」、「〜する必要はない」と言いたいときはdon't have toをもちいます。
現在完了の否定文
be動詞や助動詞の文と同様に、have(has)の後にnotを入れます。
例題7(7) 私たちはまだ教室を掃除していません。
正解
We haven't cleaned our classroom yet.
注意:「まだ〜していない」と言うときは、文末にyetを置きます。
notを使わない否定表現
no
例題7(8) 彼はこの町に友人がいません。
「〜がない」は、形容詞のnoを使って表現できます。
noの後にくる名詞は複数形です。
正解
He has no friends in this town.
few,little
a few, a littleは「少しある」、few, littleだと「少ししかない」と訳します。
例題7(9) 正午までにほとんど時間がありません。
正解
There is little time before noon.
never
neverには、「決して〜ない」と、現在完了でもちいて「今まで〜したことがない」の2つの意味があります。
例題7(10) 私は決してあきらめない。
正解
I will never give up.
例題7(11) 私はこれほど美しい絵を見たことがありません。
正解
I have never seen such a beautiful picture.
部分否定
notが動詞を否定しないで、形容詞や副詞だけを否定する場合を部分否定といいます。
not every (すべて〜とは限らない)
not all (すべて〜とは限らない)
not always (いつも〜するとは限らない)
例題7(12) 彼はいつも忙しいわけではありません。
正解
He is not always busy.
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math 平均値と仮の平均
- 2012.03.24 Saturday
- 算数・数学
- 12:34
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- by アリ
仮の平均
あなたのテストの点数が78点、83点、91点、88点、75点だったとします。5科の平均点を求める式は、
(78+83+91+88+75)÷5
ですが、もっと楽に求める方法があります。
得点が80点の前後に散らばっていることに着目して、「80点との差」の平均を求めてみます。
(-2+3+11+8-5)÷5=3
平均して80点より3点高いことになるので、5科の平均点は80+3=83点だとわかります。
このときの80点、計算を楽にするために仮に(一時的に)利用した数値のことを、「仮の平均」といいます。
平均値と仮の平均
ある資料全体の特徴を表す数値のことを代表値といいます。
代表値には、平均値・中央値・最頻値(さいひんち)の3つがあります。
平均値…合計を度数(個数や人数)でわった値
中央値(メジアン)…資料を大きい順に並べたとき、中央にくる値
最頻値(モード)…度数が最も大きい階級の階級値
この稿で取り上げるのは平均値です。
次の表は、あるクラスの女子20人の50m走の記録をまとめたものです。20人の記録の平均値を求めてみましょう。
平均を求める式は、合計÷度数です。
ところが、図で、例えば7.4秒〜7.8秒の階級に含まれている1人の実際の記録が何秒なのかはわかりません。
そこで、7.4と7.8の真ん中にあたる7.6秒だと決めてしまいます(7.4〜7.8の中央の値である7.6のことを階級値といいます)。
平均値を求める式は、
(7.6×1+8.0×3+8.4×8+8.8×6+9.2×2)÷20となり、
平均値は(7.6+24.0+67.2+52.8+18.4)÷20
=170÷20
=8.5秒です。
もっと楽に求めるために、「仮の平均」の考え方を導入してみましょう。
各階級の真ん中であり、度数が最も大きいことに着目して、8.2〜8.6の階級の階級値8.4を仮の平均と決めます。
(階級値-仮の平均)×度数を導入することで、計算がずいぶん楽になったことがわかります。
この結果をもとに平均値を求めると、
2.0÷20=0.1
仮の平均の8.4秒より、平均して0.1大きい値が平均値だから、8.4+0.1=8.5秒です。
問題:表は、あるクラスの男子25人の身長をまとめたものである。平均値を求めよ。
(解き方)
仮の平均を使わないで求めようとすると、煩雑な式になって手間もかかります。
仮の平均を利用して、楽に求めないといけません。
仮の平均を決めたあと、度数分布表に「階級値」、「仮の平均との差」、「仮の平均との差×度数」の欄を追加します。
仮の平均を度数の最も大きい階級160〜165の階級値162.5と決めて、欄を追加した表を作ります。
ずいぶんと楽な計算になったことが実感できます。
(階級値-仮の平均)×度数の合計である-35を度数の25でわると、
-35÷25=-1.4
仮の平均162.5cmの-1.4が平均値ですから、
162.5-1.4=161.1cmが答えです。
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Japanese 古文を読もう・16 無住(むじゅう)『沙石集(しゃせきしゅう)』
- 2012.03.20 Tuesday
- 国語
- 18:55
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- by アリ
「古文を気楽に読もう」の(16)は、無住(むじゅう)の随筆『沙石集(しゃせきしゅう)』です。
無住(1226年〜1312年)は、鎌倉時代に活躍した僧侶です。18歳で出家し、諸国をまわって仏教諸宗を学んだ博識家で、上野国(こうずけのくに:群馬県)や尾張国(おわりのくに:愛知県)で寺院を開くかたわら、『沙石集』、『妻鏡』、『雑談集(ぞうだんしゅう)』などの作品を著しました。
『沙石集(しゃせきしゅう)』は、わかりやすい逸話(=沙(しゃ:小粒の砂)や石)を題材に、金や宝石にあたる仏教の真髄を庶民に教えさとすという意味で名づけられた説話集です。
日本、中国、インドの伝説や日本各地の寓話の他、庶民の生活を伝える話、滑稽な話などで構成されており、『徒然草』や後の時代の狂言、落語に影響を与えたと言われています。
今日とりあげるのは、「藤の木のこぶを信じて馬を見つける話」です。
まず、本文を、(1)音読を心がける、(2)「作者の伝えたいことは何か=何がおもしろい(興味深い)のか」を理解する、の2点に留意して、読んでみましょう。
『藤の木のこぶを信じて馬を見つける話』
ある在家人(ざいけにん)、山寺の僧を信じて、世間出世のこと、深く頼みて、病むこともあれば、薬なども問ひけり。
この僧、医骨もなかりければ、よろづの病に「藤のこぶを煎じてめせ」と教へける。
信じてこれを用ゐけるに、よろづの病癒えずといふことなし。
ある時、馬を失ひて、「いかがつかまつるべき」といへば、例の「藤のこぶを煎じてめせ」といふ。
心得がたかりけれども、様ぞあるらんと信じて、あまりに取り尽くして、近々には、なかりければ、少し遠行きて、山のふもとを尋ぬるほどに、谷の辺より、失ひたる馬を見つけけり。
これも信のいたすところなり。
読むときのヒント
ある在家人(ざいけにん)、山寺の僧を信じて、世間出世のこと、深く頼みて、病むこともあれば、薬なども問ひけり。
在家人(ざいけにん):出家していない人、僧侶ではない一般の人
世間出世:世間とは世の中のこと、出世とは仏教の教えに関すること(現代語の「出世」とは意味が違います)
「ある在家人」が、田舎寺の僧侶を信じきって、何ごとにつけ頼みにして、病気になれば飲む薬まで質問をしていたのです。
この僧、医骨もなかりければ、よろづの病に「藤のこぶを煎じてめせ」と教へける。
医骨(いこつ):医術の心得
よろづの:よろずの、いろいろな、さまざまな
藤のこぶ:藤の木にできるこぶのようなもの
虫に食われた場所の細胞が増殖してこぶのようになったもので、昔から、癌や食欲不振、便秘に効果があるとされており、現在医学でもその効用が実証されています。
煎じて(せんじて):「煎ずる」薬や茶などを煮つめて成分を取り出すこと
めせ(召せ):飲みなさい
信じてこれを用ゐけるに、よろづの病癒えずといふことなし。
癒(い)えずといふことなし:治らないということがなかった、すべて治った
ある時、馬を失ひて、「いかがつかまつるべき」といへば、例の「藤のこぶを煎じてめせ」といふ。
「いかがつかまつるべき」:どうしたらいいでしょうか
・「つかまつる」…「する」、「行う」という意味の、「為(な)す」、「行(おこな)ふ」の謙譲語
心得がたかりけれども、様ぞあるらんと信じて、あまりに取り尽くして、近々には、なかりければ、少し遠行きて、山のふもとを尋ぬるほどに、谷の辺より、失ひたる馬を見つけけり。
心得がたかりけれども:納得しにくいことではあったけれども
「心得(こころう)」は「納得する」「理解する」
「がたかり」は、形容詞「がたし」(〜するのがむつかしい)の連用形
様(さま):理由
あるらん:あるのであろう
「らん」は、推量の助動詞「らむ」
あまりに取り尽くして:何かにつけて「藤のこぶを飲め」と言われるので、近辺の藤のこぶは取り尽してしまい、遠くまで藤のこぶを採りにいったことで、偶然、逃げた馬を見つけることができたのです。
これも信のいたすところなり。
信:信心、信仰
「これも深く信じた結果である」
文の主題(テーマ)を読み取ろう
現代人から見るといい加減なお坊さんと、そのお坊さんの言うことは何でも素直に信じる純朴な人の物語です。
おなかの病気にしか効かないはずの藤のこぶをよろずの病に「煎じて飲め」と勧める僧ですが、僧の言葉を全面的に信じて素直に飲む人は「よろづの病癒えずといふことなし」。
そしてきわめつけは、馬を失った人へのアドバイスがまた「藤のこぶを煎じてめせ」であったのに、さすがに今度は半信半疑であった人がそれでも僧の言葉を信じてその指示に従ったところ、見事に馬を探し当てたことです。
その理由が合理的に説明されていることにも感服してしまいます。
キリスト教でいう「信じるものは救われる」、日本のことわざの「いわしの頭も信心から」などを髣髴(ほうふつ)とさせる逸話です。
せっかく読んだので、ついでに出題された問題も解いておきましょう
次の文章を読んで、あとの問いに答えなさい。
ある在家人(ざいけにん)、山寺の僧を信じて、世間出世のこと、深く頼みて、病むこともあれば、薬なども問ひけり。
この僧、医骨もなかりければ、よろづの病に「藤のこぶを煎じてめせ」と教へける。
信じてこれを用ゐけるに、よろづの病癒えずといふことなし。
ある時、馬を(1)失ひて、「(2)いかがつかまつるべき」といへば、例の「藤のこぶを煎じてめせ」と(3)いふ。
(4)心得がたかりけれども、様ぞあるらんと信じて、あまりに(5)取り尽くして、近々には、なかりければ、少し遠行きて、山のふもとを尋ぬるほどに、谷の辺より、失ひたる馬を見つけけり。
これも( A )。
問い一、傍線(1)「失ひて」・(3)「いふ」の主語を文章中の言葉で書け。
解答 (1)在家人、(3)僧
問い二、傍線(2)「いかがつかまつるべき」の意味として適切なものを次から一つ選べ。
ア いつごろたずねたらよいでしょうか
イ どうしたらよいでしょうか
ウ 誰に聞いたらわかるでしょうか
エ なにがいちばん効くのでしょうか
解答 イ どうしたらよいでしょうか
問い三、傍線(4)「心得がたかり」は「納得しにくい」という意味だが、どうして納得しにくかったのか、書け。
解答 馬を失ってどうしたらよいかを僧に尋ねたのに、薬である藤のこぶを煎じて飲めと言われたから。(同意可)
問い四、傍線(4)「取り尽くして」は何を取り尽くしたのか。文章中から抜き出して書け。
解答 藤のこぶ
問い五、空欄Aにあてはまるものとして適切なものを次から一つ選べ。
ア 孝行の深き心よりおこれり
イ 信のいたすところなり
ウ 愚かなる人の世のならひなり
エ 罪深きことなり
解答 イ
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science 摩擦力(まさつりょく)
- 2012.03.19 Monday
- 理科
- 18:49
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- by アリ
ある物体を真上に持ち上げるときは、その物体にはたらく重力(重さ)と同じ大きさの力で持ち上げることができます。
ある物体を持ち上げないで横に引いたり押したりして動かそうとするときは、ある物体と床の面との間に「横に動くのをさまたげる力」=「摩擦力(まさつりょく)」がはたらいており、その摩擦力と同じ大きさの力で押したり引いたりすると物体を横に動かすことができます。
摩擦力の特徴
知っておかないといけない摩擦力の特徴には次のようなものがあります。
(1)摩擦力の大きさは、物体を横に引いたり押したりする力と等しい(引いたり押したりしないときの摩擦力は0である)。
(2)摩擦力は、面の種類・状態と物体の重さによって決まる。
(3)摩擦力は、接触している面積の大小とは関係しない。
(4)物体を引いても押しても動かないときの摩擦力を静止摩擦力、引いたり押したりしているときにはたらいている摩擦力を動摩擦力という。
摩擦力の図示
摩擦力は、物体と面との接触部にはたらく力であり、物体を引いたり押したりする力とつり合う力なので、接触面の中心から、引いたり押したりする力と反対の向きに図示します。
(疑問点)
2つの力がつり合っているときの3条件は、2つの力が(1)同一直線上にあり、(2)向きが逆で、(3)大きさが等しい、ことです。
ところが、どのテキストでも、物体を引く力と摩擦力は「つり合っている」と記述されています。しかし、この2力は、向きは逆で、大きさは等しいのですが、同一直線上ではありません。
大いに疑問を感じるところですが、この点を説明しているテキストは見たことがありません。
摩擦力の大きさ
摩擦力は、物体を横に押したり引いたりする力と等しい大きさの力です。
引く力が0のとき、摩擦力の大きさも0です。
引く力がAで物体が静止したままのとき、摩擦力の大きさはAです。
引く力がBで物体が横に移動しているとき、摩擦力の大きさはBです。
摩擦力を決定するもの
摩擦力は、摩擦力=摩擦係数×抗力の式で求めることができます。
摩擦係数は、ふれあう面の種類と面の状態によって決まります。
例えば、接触している物質が銅と鉄のときの摩擦係数は0.53、銅とガラスのときは0.68です。
一般に、すべりやすい物質の摩擦係数は小さく、すべりにくい物質の摩擦係数は大きいとイメージすることができます。
また、摩擦力=摩擦係数×抗力の式のうち、抗力は、重力に比例し(特に水平な面に置いた物体の場合、抗力=重力)、重力は質量に比例します。
つまり、同じ物質であれば「重いものほど摩擦力は大きい」といえます。
(参考)
摩擦係数は、左図のように斜面に物体を置き、ACの長さをかえて測定したときの、物体がすべりだしたときのAC/BCの大きさで求めます。
例えば、AC=5cm、BC=10cmのとき、摩擦係数は5/10=0.5です。
AC/BCの値は、(すべり落ちる力)/(斜面をおす力)の値と一致します。
また、図でわかるように、斜面をすべり落ちる力=摩擦力です。
摩擦力と接触する面積
ふれあう面積が大きくても小さくても摩擦力は変わりません。
つまり、同じ物体の置き方を変えて接触する面積が変わっても、摩擦力の大きさは変わりません。同じ力で、横に動かすことができます。
静止摩擦力と動摩擦力
中学生範囲の問題ではあまり見かけませんが、実は摩擦力は静止摩擦力と動摩擦力に分かれます。
物体にひもをつけて横に引くとき、 途中まで物体は動きません。
引く力を大きくしていき、引く力がある大きさに達すると物体は横に移動を始めます。
物体が動かないときの摩擦力を静止摩擦力、物体が動き始めてからの摩擦力を動摩擦力といいます。
物体が動き出す前は、摩擦力=物体を引く力より、引く力を大きくすると摩擦力も比例して大きくなり、物体が動き始める直前に摩擦力は最大になります(このときの摩擦力を最大静止摩擦力といいます)。
物体が動き始めると、最大静止摩擦力>動摩擦力となり、動き始める直前の物体を引く力より小さい力で物体を移動し続けることができます。
摩擦力と仕事
仕事の大きさを求める一般的な公式は、仕事(J)=力の大きさ(N)×力の向きに動いた距離(m)です。
物体を持ち上げるときは、仕事(J)=重力の大きさ(N)×持ち上げた高さ(m)と言い換えることができます。
物体を面にそって動かすときは、仕事(J)=摩擦力の大きさ(N)×力の向きに動いた距離(m)となります。
仕事の大きさを求めるときは摩擦力だけを考慮すればよく、物体の重さは仕事を求める式には表れません(摩擦力が重さに比例することと混同しないようにする必要があります)。
例題:水平な面の上に置いた質量400gの物体をばねはかりで水平に引いた。次の問いに答えなさい。
(1)引いているとき、ばねはかりは1Nを示したが物体は動かなかった。このとき物体がされた仕事は何Jか。
(2)物体が動き始めると、ばねはかりは3Nを示していた。物体と面との間にはたらいている摩擦力の大きさは何Nか。また、物体が50cm動いたとき、物体がされた仕事は何Jか。
(解き方と解答)
(1)引いているとき、ばねはかりは1Nを示したが物体は動かなかった。このとき物体がされた仕事は何Jか。
摩擦力=引く力より、摩擦力は1Nですが、「動かなかった」ので、移動した距離は0です。
仕事(J)=摩擦力の大きさ(N)×力の向きに動いた距離(m)の式にあてはめると、仕事=1N×0m=0
答えは0Jです。
(2)物体が動き始めると、ばねはかりは3Nを示していた。物体と面との間にはたらいている摩擦力の大きさは何Nか。また、物体が50cm動いたとき、物体がされた仕事は何Jか。
まず、摩擦力=引く力より、摩擦力の大きさは3Nです。
次に、仕事(J)=摩擦力の大きさ(N)×力の向きに動いた距離(m)の式にあてはめて、仕事=3N×0.5m=1.5J
物体がされた仕事は1.5Jです。
この問題では、物体の質量400gを考慮する必要はありません。
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math 角度の難問(中学2年生)
- 2012.03.11 Sunday
- 算数・数学
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- by アリ
地元中学校の中2学年末テストで出題された問題です。
塾の授業後、塾生から解き方を質問されたのですが、すぐには答えられませんでした。
帰りの電車の中で、やっと解くことができました。
問題:∠A=23°、∠D=32°、∠ABE=2a、∠EBD=a、∠ACE=2b、∠ECD=b、∠E=xのとき、xの大きさを求めよ。
(考え方・解き方)
最初、問題を見たとき、aとbの文字があるので、連立方程式を立てることができれば解けるのではないかと考えました。
どこか2ヶ所、aとbを使ってそれぞれの角を表す等式を作ることができれば、その連立方程式を解くことでaとbを求めることができます(それがなかなか、うまくいきませんでした)。
頭にうかんだのは、「内角と内角の和は、となりあわない外角に等しい」です。
ACとBDの交点をFとすると、三角形ABFで∠A+∠ABF=∠BFC、つまり、∠BFC=23°+2a+aです。
また、三角形FCDで∠FCD+∠D=∠BFC、つまり、∠BFC=2b+b+32°です。
これで、∠BFCを2つの式で表すことができたので、これを等式にして、
23+2a+a=2b+b+32
この式を整理して、
23+2a+a=2b+b+32
3a-3b=9
この式の各係数が3でわれることに気づいて、両辺を3でわって、
a-b=3…(1)
(数学の鉄則、「式はできるだけ簡単に」を思い出して、式を簡単にしておいたことが、後で大いに役立ちました。)
この後、もう1つ、等式を作ることができる角を探したのですが、なかなか見つかりません。
やっとひらめいたのが、この場所です。
EFの延長上の点をGとすると、
∠BFG=∠BEF+∠EBF、
また、∠GFC=∠FEC+∠FCEだから、
∠BFC=∠BFG+∠GFC
=∠BEF+∠EBF+∠FEC+∠FCE
=(∠BEF+∠FEC)+∠EBF+∠FCE
=∠E+∠EBF+∠FCE
=∠E+a+2b
=x+a+2b…(2)
また、同じ∠BFC=∠A+∠ABF=23+3a…(3)
∠BFCを表す2つの式、(2)と(3)を等式にして、
x+a+2b=23+3a
この式を変形して、
x=23+3a-a-2b
x=23+2a-2b
x=23+2(a-b)…(4)
(4)の式に、(1)の式a-b=3を代入して、
x=23+2(a-b)=23+2×3=29°
これで求めることができました。
塾生の話によると、この問題が解けた人は学年に10人もいなかったそうです(ってことは、私より賢い子が何人かいたわけだ、悔しい)。
確か、数学オリンピックの問題で、これとよく似たものを見たような記憶があります。
私の解き方が最善手かどうかはわかりません。
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