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  • 2022.10.14 Friday
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math 高校入試の難問 内接する球・外接する球


球の体積を求める公式は4/3πr^3、球の表面積を求める公式は4πr^2です。(休の体積と表面積についてはこちらを参照。)
球だけの体積・表面積を求める問題であれば、公式にあてはめれば求めることができます、

この稿では、難問であることが多い、球と他の立体を組み合わせた問題を取り上げます。


円柱や円錐に内接した球

例題1:円錐の底面と面を共有している半径5cmの半球と、その上に半径円錐と球3cmの球がある。半球と球はたがいに外接し、また、円錐の側面にもそれぞれ内接している。
(1)円錐の高さを求めよ。
(2)円錐の体積を求めよ。











(解き方・考え方と正解)
空間図形の難問を解くときの入り口である、
「空間図形の応用問題は、相似三平方の定理をもちいて解く」と、
「求めたい線分がふくまれている平面を見つけてその平面を書き出し、書き出した平面の図を使って解く」から、
出発します。

この問題では、球の半径を求めてそれを手がかりにしないと円錐の高さや体積を求められません。
まず、球の半径がふくまれる平面を見つけて、その平面を書き出します。

円錐と球2左の図が、その平面です。
この平面を書き出す理由は、この平面だけが球の半径と円錐との接点を書き込める唯一の面だからです。

また、重要な定理「接線は、接点を通る半径と垂直に交わる」を使うためでもあります。

円錐の頂点をA、半径3cmの球の中心をB、半径5cmの球の中心をC、2つの球の接点をD、この平面上で2つの球が円錐と接している点をそれぞれE、Fとします。

半径3cm、5cmを図に書き込みます。
BDにも3cm、DCにも5cmを書き込んでおくのがポイントです。

(1)円錐の高さを求めよ。
平面の図をながめて、相似が利用できることに気がつけば解くことができます。

2組の角がそれぞれ等しいから、△ABE∽△ACFです。

求めたいACの長さをxとすると、BE:CF=AB:ACより、
3:5=x-8:x
5(x-8)=3x
5x-40=3x
5x-3x=40
2x=40
x=20

円錐の高さは20cmです。


(2)円錐の体積を求めよ。
やはり、同じ平面で求めることができます。
円錐と球3
2組の角がそれぞれ等しいので、△ACF∽△CFG。

だから、求めたい円錐の半径をyとすると、AC:GF=CF:GFより、
20:y=5:GF
20×GF=5y
GF=y/4

直角三角形△CGFで三平方の定理を使って、yの値を求めることができます。
円錐と球4



















円錐の半径を求めることができたから、円錐の体積は、
4√15/3×4√15/3×π×20×1/3
=1600π/9立方cmです。


関連して、よく出題される定理

円錐と球5左の図で、三角錐に内接する球の半径を求める方法としてよく使う定理があります。

球の半径が接する面に垂直であることを利用します。

三角錐A-BCDの体積は、△ABC、△ACD、△ABDを底面として高さが球の半径である3つの三角錐の和と考えることができます。

△ABC×球の半径×1/3+△ACD×球の半径×1/3+△ABD×球の半径×1/3=三角錐A-BCDの体積


この稿のポイント

他の立体に球が接している問題を解くときは、

1、球の半径がふくまれている平面を見つけてその平面を書き出し、書き出した平面の図を使って解く

2、定理「接線は、接点を通る半径と垂直に交わる」が利用できるように平面を書き出す

3、空間図形の応用問題は、相似三平方の定理をもちいて解く



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English これで満点 高校入試 英作文(6) 動詞の拡張(進行形・助動詞・受け身・現在完了)


英文の骨格は主語動詞であり、そして、動詞で英文が決まるという立場から英作文問題を考えるシリーズです。

この稿では、「動詞」の概念を広げて、進行形助動詞受け身現在完了を取り上げます。

英文には原則として主語動詞が絶対に必要ですが、この「動詞」には、be動詞+動詞のing形(進行形助動詞+動詞の原形be動詞+動詞の過去分詞形(受け身have(has)+動詞の過去分詞形(現在完了4つが含まれ、動詞の意味を広げます。


「〜している」「〜していた」は進行形(be動詞+動詞のing形)

「〜している」はis(am),are+動詞のing形、「〜していた」はwas,were+動詞のing形で表します。


例題6(1) 父はそのとき車を洗っていました。

日本文が「〜している」、「〜していた」で、『』が含まれていたら進行形で表します。

「そのとき」は、at that timeか、thenです。

正解
My father was washing his car at that time.



注意:進行形をつくるときに注意するのはbe動詞です。「〜している」のとき、主語が単数形であればis(am,youのときのみare)、複数形であればareを使います。

「父」は、「私の父」と明記していないときでもmy father、同様に「車」もhis carです。


例題6(2) ケンが帰宅したとき、彼の父と弟はテレビでサッカーの試合を見ていました。

進行形の英作文で最もよく出題される問題です。

正解
When Ken came home, his father and brother were watching a soccer game on TV.



注意:「〜したとき」は、『』だから過去形であり、When+主語+動詞の過去形です。

「見る」には、see,watch,look atなどがありますが、テレビを見るときはwatchを使います。
「テレビで」「ラジオで」はon TV, on the radioです。


問題文に注意、助動詞+動詞の原形

中学範囲では、次のような問題文であれば助動詞を使わないと表現できません。

「〜するつもりだ」「〜するでしょう」…will,be going to
「〜できる」「〜れる」…can,be able to
「〜してもよい」、「〜かもしれない」…may
「〜しなければならない」
…must, have to、「〜にちがいない」…must
「〜するべきだ」…should
「〜したい」…would like to
「〜したほうがよい」…had better


以上の7個です。


例題6(3) あなたは明日の朝、早く起きる必要はないでしょう。

「明日の朝」であり、「〜でしょう」だから、未来を表すwillを使います。「〜しなければならない」はmust、「〜する必要はない」はmustの否定形のnot have toです。

正解
You will not (won't) have to get up early tomorrow morning.



注意:この文には直接関係しませんが、英語では1つの文中に複数個の助動詞を使うことはできません。未来のwillを残し、can→be able to、must→have toにします。

mustの否定形はnot have to(〜する必要はない)です。must notは「〜してはいけない(禁止)」のときしか使いません。

canの過去形はcould、willの過去形はwouldですが、mustの過去形はhad toです。


例題6(4) 昨日はとても暑かったので、まったく眠れませんでした。

「眠れませんでした」の『れ』を見逃さないようにしないといけません。can(過去形could)を使います。

「とても〜だから…だ」は、so〜that…です。

「まったく〜ない」は、not〜at allです。

正解
It was so hot that I couldn't sleep at all last night.



「〜される」「〜された」は受け身(be動詞+動詞の過去分詞形)

「〜される」はis(am),are+動詞の過去分詞形、「〜された」はwas,were+動詞の過去分詞形で表します。


例題6(5) その赤ちゃんは彼女に世話をされています。

「されている」という問題文だから、受け身で表します。

「世話をする」は、連語のtake care ofを使います。

正解
The baby is taken care of by her.


注意:take care ofのような連語は、受け身の文でもセットで扱います。


例題6(6) 私は北海道生まれの北海道育ちで、スキーが得意です。

「生まれる」=be born、「おどろく」=be surprised、「育つ」=be brought upなどは、日本語では受け身ではありませんが、英語では受け身になります。

「〜が得意だ」は、be good atです。

正解
I was born and brought up in Hokkaido, so I'm good at skiing.


注意:英語では、前置詞のあとに動詞がくるときは必ず動名詞(動詞のing形)になります。
「スキーをするのが得意である」=be good at skiing


「ずっと〜している」「〜したことがある」「〜したところだ」は現在完了(have(has)+動詞の過去分詞形)

「ずっと〜している(継続)」、「〜したことがある(経験)」、「〜したところだ(完了)」という日本文のときは、have(has)+動詞の過去分詞形を使います。


例題6(7) お久しぶりです。

「お久しぶりです。」を、英文が構成できるように「私たちはお互い長い間会っていない。」と言い換えてから英文を作ります。

正解
We haven't seen each other for a long time.



例題6(8) この町に来てから2年たちますが、そのとき以来ずっとここに住んでいます。

「2年たちました」+「この町に来てから」、「ずっとここに住んでいます」+「そのとき以来」という構造の英文になります。

正解
Two years have passed since I came to this town(city), I have lived here since then.


注意:「この町に来た」のは過去のある時点だから過去形、「2年たった」のは継続中のことで、「ずっと住んでいる」のも継続した状態だから、現在完了を使います。


まとめ

1、進行形
「〜している」はis(am),are+動詞のing形、「〜していた」はwas,were+動詞のing形で表す。

2、助動詞
「〜するつもりだ」「〜するでしょう」…will,be going to
「〜できる」「〜れる」…can,be able to
「〜してもよい」、「〜かもしれない」…may
「〜しなければならない」
…must, have to、「〜にちがいない」…must
「〜するべきだ」…should
「〜したい」…would like to
「〜したほうがよい」…had better


3、受け身
「〜される」はis(am),are+動詞の過去分詞形、「〜された」はwas,were+動詞の過去分詞形で表す。

4、現在完了
「ずっと〜している(継続)」、「〜したことがある(経験)」、「〜したところだ(完了)」という日本文のときは、have(has)+動詞の過去分詞形を使う。




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science 輪軸(りんじく)


半径の異なる2つの輪を組み合わせ、同じ軸(中心)のまわりを回転するようにした道具を輪軸(りんじく)といいます。
輪軸
滑車てこのはたらきの両方を備えた道具です。

(1)滑車と同じはたらき
大きい輪に下向きに力を加えると、小さい輪につるされたものを逆の向きに持ち上げることができます。

(2)てこと同じはたらき
半径(中心からの距離)の小さい輪につりさげたおもりを、大きい輪を小さい力で引くことで持ち上げることができます。

輪軸は、滑車とてこの両方の性質をもった道具なので、滑車の原理てこの原理のどちらかを使って問題を解くことができます(滑車の原理についてはこちら、てこの原理についてはこちらを参照)。


例題1:図1でひもをひく力Aの大きさ、図2で輪軸の半径Bの長さはそれぞれいくらですか。
輪軸例題1(図1の解き方)
軸(中心)が支点ですから、てこの原理の、おもり×支点までの距離=おもり×支点までの距離を使って解きます。
輪軸を反時計まわりにまわそうとする60×10と、輪軸を時計まわりにまわそうとするA×30が同じになればよいわけです。
60×10÷30=20
答えは20gの力です。

おもり×半径(支点までの距離)=おもり×半径(支点までの距離)で、積が一定だから、反比例と考えて解くこともできます。
半径が10:30=1:3で、おもりの比は逆の3:1になるから、3:1=60:A
A=20gです。

(図2の解き方)
同じように考えて、25×20=10×Bだから、25×20÷10=50、答えは50cmです。
または、25:10=5:2の逆の比になるから、2:5=20:Bより、B=50cmでもかまいません。




輪軸と仕事の原理

輪軸でも、仕事の原理力×動いた距離は一定で変わらないが成り立ちます。

例題2:図1、図2で、おもりを10cm引き上げるには、ひもを何cm引かないといけませんか。
輪軸例題2(図1の解き方)
小さい輪で、60gのおもりが10cm動いたので、仕事の量は60×10=600。
仕事の原理より、大きい輪で20×ひもを引いた距離が600になればよい。
60×10=20×□
60×10÷20=30cmが答えです。

おもりの大きさが60:20=3:1だから、ひもの動く距離は逆比の1:3と考えて、30cmと考えてもかまいません。

別の考え方として、回転する角度が同じだから、おもりが移動する距離は半径に比例すると考えることもできます。
半径が1:3だから、おもりが移動する距離(=糸を引く距離)も1:3。
10:□=1:3だから、30cm。


(図2の解き方)
25×10=10×ひもを引く距離だから、25×10÷10より、答えは25cm。
または、おもりの大きさ25:10=5:2の逆の比になるから、10:□=2:5より、25cm。
または、同じ角度で回転するから半径の比=ひもを引く距離。10:□=2:5より、25cm。


複雑な問題の解き方

例題3:半径が5cmの小さい輪、半径が10cmの中くらいの輪、半径が輪軸例題320cmの大きい輪の、3つの輪をもった輪軸があります。図のように、小さい輪に18gのおもり、中くらいの輪に29gのおもりをつけて、大きい輪をAの力で引いたところ、輪軸はつり合いました。
(1)大きい輪を引く力Aの大きさはいくらですか。
(2)大きい輪のひもを40cm上に引いたとき、18gのおもり、29gのおもりはそれぞれどちらの向きに何cm動きますか。

(3)輪軸を支えている支柱がてんじょうを引く力はいくらですか。ただし、輪軸の重さは考えないものとします。


(解き方)
(1)大きい輪を引く力Aの大きさはいくらですか。
やや複雑な問題では、てこの問題と同じで、どちらにまわそうとする力なのかを確認しておく必要があります。
18gのおもりは、反時計まわりに輪軸をまわそうとする力です。
29gのおもりは、時計まわりにまわそうとする力です。
大きい輪に加えた力Aは、反時計まわりにまわそうとする力です。
この3つの力の間に、おもり×支点までの距離=おもり×支点までの距離
の関係が成り立ちます。

だから、18×5+A×20=29×10。
90+A×20=290
A×20=200
A=10gです。


(2)大きい輪のひもを40cm上に引いたとき、18gのおもり、29gのおもりはそれぞれどちらの向きに何cm動きますか。
大きい輪を上に引くと、輪軸は反時計まわりに回転します。すると、18gのおもりは下に、29gのおもりは上に、動きます。

次に、おもりが動く距離ですが、この問題の場合、「回転する角度が同じだから移動する距離は半径に比例する」を使うのが一番簡単でしょう。
輪の半径は、5:10:20=1:2:4でした。

18gのおもりの動く距離は、□:40=1:4より10cm。

29gのおもりの動く距離は、□:40=2:4より20cm。


(3)輪軸を支えている支柱がてんじょうを引く力はいくらですか。ただし、輪軸の重さは考えないものとします。
滑車の問題と同じで、上へ引く力と下に引く力がつりあえばよいと考えます。

この問題では、輪軸全体を下に引く力は18gと29gです。
輪軸全体を上に引く力は10gでした。

10+□=18+29より、輪軸を支えている支柱がてんじょうを引く力は37gです。



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math 高校入試の難問 三平方の定理 30°60°90°→1:2:√3と1:2:√3→30°60°90°


角度が30°60°90°の直角三角形の辺の比は1:2:√3になります。
そのことを利用する問題は、高校入試で最も取り上げられるものの一つです。

逆に、辺の1:2:√3であれば、その三角形は角度が30°60°90°直角三角形です。
こちらを利用する問題は、難問であることが多い。


角度がわかっているときに1:2:√3を利用する問題

例題1:1辺が6cmの立方体ABCD-EFGHがある。辺六角形AD,AE,EF,FG,CG,CDの中点を点P,Q,R,S,T,Uとするとき、六角形PQRSTUの面積を求めよ。










(解き方と正解)
六角形PQRSTUのそれぞれの辺は、立方体の面である正方形の中点を結んだ線分だから、すべて同じ長さとなります。
1辺
つまり、六角形PQRSTUは正六角形です。

また、正六角形PQRSTUの各辺の長さは、2辺の長さが3cmの直角二等辺三角形の斜辺だから、1:1:√2の比が成り立ち、3√2cmです。




ここまでの考察で、この問題は、1辺が3√2cmの正六角形PQRSTUの面積を求めたらよいことがわかります。
正六角形の2
さらに、正六角形は、1つの内角が120°であり、3本の対角線で6つの合同な正三角形に分けられます。

正三角形ところが、正三角形の1つの角は60°であり、頂角の二等分線を引くことで2つの直角三角形に分けることができ、1:2:√3の比を使うことができます。

6個で正六角形をつくっている正三角形の底辺の長さは3√2cm、高さは3√2÷2×√3=3√6/2だから、正三角形の面積は3√2×(3√6/2)×(1/2)=9×2√3/4=9√3/2です。

以上より、正六角形PQRSTUの面積は、正三角形6個分であり、9√3/2×6=27√3です。

このように、正三角形(そして正三角形に分けることができる正六角形)の問題は、1つの角が60°であることに着目して1:2:√3を利用して解くことができます。


この問題は、角度が60°であることに着目して辺の比1:2:√3を利用する問題であり、入試問題としてはそう難しいものではありません。

ところが、次のような問題だと難問になってしまいます。


1:2:√3を見つけて角度に気づく問題

例題2:図で、点Dは△ABCの辺BC上の点で、∠ADC=90°である。点例題2E、Fはそれぞれ線分ADを直径とする円と、辺AB、ACとの交点である。AB=5cm、BC=8cm、AC=7cmのとき、次の問いに答えよ。
(1)線分ADを直径とする円の面積を求めよ。
(2)線分EFの長さを求めよ。



(解き方と正解)
(1)線分ADを直径とする円の面積を求めよ。
直径ADの長さを求め、半径を求めて、それから面積を求めようと方針を立てます。

この問題の場合、ADを直接求めようとすると遠回りになります。
例題2の2BD=x、DC=8-xとして、直角三角形の△ABDと△ADCで、三平方の定理を使ってADの2乗を2通りの式で表して等式(方程式)をつくります。
例題2の3









この方程式を解きます。
例題2の4










BD=5/2とわかったので、直角三角形△ABDで再び三平方の定理をもちいてADの長さを求めることができます。
しかし、ここでAB:BD=5:5/2=2:1であることに気づくと、BD:AB:AD=1:2:√3が使えることがわかり、ずっと楽になります。

BD=5/2だからAD=5√3/2。
直径ADが5√3/2だから、半径は半分の5√3/4です。

以上より、ADを直径とする円の面積は、
(5√3/4)×(5√3/4)×π=75π/16平方cmです。


(2)線分EFの長さを求めよ。
どうやったらEFの長さを求めることができるか、なかなか気づきにくい問題です。
例題2の4の2こういうときは、最後の手段、「習っていないことは出題されない」から解き方をしぼっていきます。

中学生が図形の問題を解くときに使えるもので習っているのは、「相似」か「三平方の定理」だけです。

ところが、求めるEFをふくむ三角形は△AEFですが、直角三角形ではないので(△ABCの3辺、5,7,8では直角三角形にはなりません(三平方の定理の逆))、三平方の定理ではなく相似で解けないか、と考えます。

例題2の5また、△ABDの3辺の長さに1:2:√3の関係が成り立っているから、∠ABD=60°であることを使えないかも頭に入れておきます。

△AEFと相似な三角形を見つけたいのですが、このままではまだ手がかりがありません。

ADが直径であること、∠AFEが弧AEの円周角であることから、線分EDを引いてみます(この決断を、一番思いつきにくいかもしれません)。

そうすると、ADが直径だから∠AED=90°であること、∠BAD=30°だから∠ADE=60°であることもわかります。

それがわかると、∠ABC=∠AFE=60°、∠BAC=∠FAEだから(2組の角がそれぞれ等しいから)、△ABC∽△AFEであることがわかります。

あとは、△AFEのAEかAFかどちらかの長さがわかれば、相似を利用してEFの長さを求められます。

例題2の5ここで、また、∠ADE=60°が生きてきます。

△AEDが∠ADE=60°の直角三角形だから、ED:AD:AE=1:2:√3。

ゆえに、AE:AD
=AE:5√3/2
=√3:2

AE:5√3/2=√3:2
AE×2=5√3/2×√3
AE×2=15/2
AE=15/4

△ABC∽△AFEより、AE:AC=EF:CB
15/4:7=EF:8
7×EF=15/4×8
7×EF=30
EF=30/7

やっと求めることができました。


この稿のポイント

30°60°90°の直角三角形の辺の比は1:2:√3だが、逆に辺の1:2:√3であればその三角形は角度が30°60°90°直角三角形である。

わかった角度を書き込まないと解けない問題がある。



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