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  • 2022.10.14 Friday
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English これで満点 高校入試 英作文(5) 自動詞・他動詞+第5文型の英文


英文の骨格は主語動詞であり、そして、動詞文型(文の構造)が決まるという立場から英作文問題を考えるシリーズです。

この稿では、
高校入試英作文(1)(英文は主語+動詞、第3文型の英文)
高校入試英作文(2)(英文の語順、第1文型の英文)
高校入試英作文(3)(補語、第2文型の英文)
高校入試英作文(4)(目的語、第4文型の英文)に続き、
第5文型主語+動詞+目的語+補語)の英文を書く練習をします。

英文の構造は動詞で決まりますが、第5文型主語+動詞+目的語+補語)の英文をつくる動詞は最も数が少なく、簡単に覚えられます。


第5文型の英文を作る動詞

第5文型をつくる動詞は3種類に分かれます。

1、「…を〜にする」タイプ
make(…を〜にする),keep(…を〜にしておく),leave(…を〜したままにする)

(例文)
Her words made me happy.(彼女の言葉は私を幸せにした。)
I always keep my room clean.(私はいつも部屋をきれいにしている。)

2、「…を〜と呼ぶ」タイプ
call(…を〜と呼ぶ),name(…を〜と名づける),elect(…を〜に選ぶ)

(例文)
We call the boy Ken.(私たちはその少年をケンと呼ぶ。)
I named the cat Tama.(私はその猫をタマと名づけた。)

3、「…を〜と思う」タイプ
think(…を〜と思う),find(…を〜とわかる),believe(…を〜と信じる)

(例文)
I think myself cool.(私は自分がかっこいいと思う。)
He found the book interesting.(彼はその本がおもしろいとわかった。)


第5文型は主語+動詞+目的語=補語

第5文型の英文では、主語+動詞+目的語補語の関係が成り立っています。
We call the boy Ken.の文では、the boy(その少年)=Ken(ケン)であり、Her words made me happy.の文では、me(私)=happy(幸せな)です。

そして、補語になるのは、Kenのような名詞とhappyのような形容詞です。


問題5(1) その知らせは私を幸せにした。

第5文型の英文で、最も重要なものです。

主語は「その知らせは」で、そのあとが「私」「幸せ」「する」ですから、動詞を「…を」「〜に」『する』のmakeに決めます。


正解
The news made me happy.



注意:news(発音はニュー)には、(新聞・ラジオなどの)「ニュース」という意味以外に、「知らせ」、「消息」、「便り」などの意味があります。


問題4(2) この花を日本語で「さくら」といいます。

問題文には主語がありませんが、英文には原則として主語が必要なので、主語を何にするかを自分で決めないといけません。

問題文に主語がないとき、普通は、代名詞のI,we,you,theyやpeople(人々は)などを主語とします。

この問題の場合、外国人に日本のことを紹介する文ですから、「私たち日本人は」という意味でweが適当でしょう。

次に、動詞は、「この花」「さくら」だから、「いう」をcall(呼ぶ)にします。

修飾部分の「日本語で」はin Japaneseです。


正解
We call this flower 'sakura' in Japanese.



問題5(3) いつも部屋をきれいにしておかないといけません。

この問題文も主語がありませんが、話し相手に言っている言葉だと推測できるので主語はyouです。

動詞の部分は、「しておかないといけません」とあるので、助動詞のmust+動詞とします。
動詞は「部屋を」「きれいに」「する」だから、「する」は「部屋を」「きれいに」「保つ」と考えてkeepにします。


正解
You must always keep your room clean.



注意:always(いつも)は頻度を表す副詞(他にsometimes(時々),often(よく),usually(たいてい)など)で、一般動詞の前、助動詞・be動詞の後に置きます。


5文型と他動詞・自動詞

これまでに学んだ5文型は次のような文の構造をしていました。

第1文型・・・主語+動詞
第2文型・・・主語+動詞+補語
第3文型・・・主語+動詞+目的語
第4文型・・・主語+動詞+目的語目的語
第5文型・・・主語+動詞+目的語+補語

第3文型、第4文型、第5文型で使われる動詞が、動詞のあとに目的語を必要とする動詞で他動詞といわれます。
第1文型、第2文型で使われる動詞が、目的語を必要としない自動詞です。

英作文をするとき、使いたい動詞が、目的語をともなわないといけない他動詞なのか、目的語が不要な自動詞なのかをいつも意識しておくことが必要です。


注意:多くの英語の動詞には、他動詞としての用法と、自動詞としての用法の、両方の用法があります。
(例)study
I study English.(私は英語を学ぶ。)…主語+動詞+目的語・・・他動詞
I study at university.(私は大学で学ぶ。)…主語+動詞(+修飾部分)・・・自動詞


また、いろいろな文型をつくる動詞もあります。
(例)make
He made for home. (彼は家に向かった。)・・・第1文型(自動詞)
He will make a doctor. (彼は医者になるだろう。)・・・第2文型(自動詞)
She made sandwiches.(彼女はサンドイッチを作った。)・・・第3文型(他動詞)
She made me sandwiches.(彼女は私にサンドイッチを作ってくれた。)・・・第4文型(他動詞)
He makes me happy.(彼は私を幸せにする。)・・・第5文型(他動詞)


まとめ

1、第5文型主語動詞目的語補語の英文をつくる動詞を覚えておかないといけない。

「…を〜にする」タイプ
make(…を〜にする),keep(…を〜にしておく),leave(…を〜したままにする)

「…を〜と呼ぶ」タイプ
call(…を〜と呼ぶ),name(…を〜と名づける),elect(…を〜に選ぶ)

3、「…を〜と思う」タイプ
think(…を〜と思う),find(…を〜とわかる),believe(…を〜と信じる)

2、英作文をするとき、使いたい動詞が目的語を必要とする他動詞か、目的語をとらない自動詞かを意識しておかないといけない。




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English これで満点 高校入試 英作文(4) 目的語+第4文型の英文


英文の骨格は主語動詞であり、そして、動詞文型(文の構造)が決まります。

この稿では、
高校入試英作文(1)(英文は主語+動詞、第3文型の英文)
高校入試英作文(2)(英文の語順、第1文型の英文)
高校入試英作文(3)(補語、第2文型の英文)に続き、
第4文型主語+動詞+間接目的語(〜に)+直接目的語(〜を))の英文を書く練習をします。


目的語、直接目的語、間接目的語

「誰かに」「何かを」「〜する」という文で、「〜」「〜」にあたる語を、動詞「〜する」の目的語といいます。

そして、「〜」は間接目的語、「〜」は直接目的語といわれることがあります。

主語動詞+〜の構造をした英文が第4文型の英文です。

第4文型の英文をつくる動詞は限られています。


第4文型の英文を作る動詞

第4文型をつくる動詞は2種類に分かれます。

1、give(与える)のように、行為の相手が必要な動詞

give(与える),show(見せる),tell(話す),teach(教える),send(送る),lend(貸す),pass(手渡す),ask(尋ねる)など。

(例文)
I gave her a doll.(私は彼女に人形をあげた。)
He showed me the picture.(彼は私に写真を見せた。)
She told me an interesting story.(彼女は私に面白い話をした。)
She teaches us English.(彼女は私たちに英語を教える。)
I asked him a question.(私は彼に質問をした。)

2、buy(買ってあげる・買う)のように、相手が必ずしも必要でない動詞

buy(買ってあげる),make(作ってあげる),cook(料理を作る),choose(選んであげる),find(見つけてあげる),leave(残す)など。

(例文)
I bought her some books.(私は彼女に何冊かの本を買った。)
She made me a cake.(彼女は私にケーキを作ってくれた。)


問題4(1) 先生は私たちにおもしろい話をします。

主語は「先生は」で、「私たち」「話」「(話を)する」から、第4文型の英文をつくる動詞のtellを使うことにします。

注意:目的語の語順は、必ず「〜」「〜」の順になります。


正解
Our teacher tells us interesting stories.



注意:「〜を」を強調して、「〜を」「〜に」の語順にしたいときは、「〜を」と「〜に」の間に、
行為の相手が必要なgiveの仲間の動詞は、前置詞toを入れて(askだけはof)、
行為の相手がなくても使えるbuyの仲間の動詞は、前置詞forを入れて、
第3文型の英文をつくることができます。

Our teacher tells us interesting stories.
Our teacher tells interesting stories to us.

(「〜」+前置詞to(of),for+「〜」の文は、前置詞+「〜に」の部分が修飾部分となり、第3文型の英文です。)


問題4(2) 私に駅に行く道を教えてくださいませんか。

よく使われるので絶対に覚えておかないといけない英文の一つです。

この場合の動詞「教える」は、teachではなくて、tell(口で教える)かshow(示して教える)が一般ですが、いずれにしても第4文型の英文となります。

相手に丁寧に頼む英文なので、書き出しはCould you,Would youなどをもちいます。


正解
Could you (Would you) tell me the way to the station?



問題4(3) 兄が私にコンピューターの使い方を教えてくれました。

兄が、「私に」「使い方を」「教えた」という文ですから、teach(過去形はtaught)を使って、第4文型の英文で書きます。

「コンピューターの使い方」は、「コンピューターを使う方法」「コンピューターを使うしかた」と考えて、
how to use the computerとします。


正解
My brother taught me how to use the computer.


注意:
家族を表すfather,mother,brother,sisterなどは、前に所有格(この問題だとmy)がつきます。



まとめ

1、第4文型主語動詞+〜+〜の英文をつくる動詞を覚えておかないといけない。

(相手が必要な動詞)give(与える),show(見せる),tell(話す),teach(教える),send(送る),lend(貸す),pass(手渡す),ask(尋ねる)など。

(相手がなくても使える動詞)buy(買ってあげる),make(作ってあげる),cook(料理を作る),choose(選んであげる),find(見つけてあげる),leave(残す)など。

2、第4文型(〜+〜)の英文は第3文型の英文(〜+〜)に書き換えることができる。そのとき、

give(与える),show(見せる),tell(話す),teach(教える)などは、「〜」+to+「〜」の語順

buy(買ってあげる),make(作ってあげる)などは、「〜」+for+「〜」の語順





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English これで満点 高校入試 英作文(3) 補語+第2文型の英文


高校入試英作文(1)(英文は主語+動詞、第3文型の英文)
高校入試英作文(2)(英文の語順、第1文型の英文)の続きです。

この稿では、第2文型主語+動詞+補語)の英文を書く練習をします。


補語と、第2文型

I am a student.(私は生徒です。)、He looks young.(彼は若く見えます。)のように、I(私)=a student(生徒)、He(彼)=young(若い)の構造の英文で、A=BのうしろのBにある語のことを補語といいます。
補語になるのは、a studentのような名詞や、youngのような形容詞です。

そして、A=Bの構造をした英文が第2文型の英文です。

A=Bの英文で、うしろのB補語という。

A=Bの構造をした英文を第2文型という。


動詞で文型(英文の構造)が決まる

英文で最も重要な要素は動詞です。

どの動詞を選択するかによって、文型(英文の構造)が決まります。
第2文型も同様で、ある動詞を選ぶと第2文型の英文だと確定します。


第2文型の英文を作る動詞

A=Bの、=のところにある動詞が第2文型をつくる動詞で、その種類は限られており、3つのグループに分類できます。

(1)「AはBである」のタイプ
be動詞(〜である),look(みえる),keep(ままに保つ)

(2)「AがBになる」のタイプ
be動詞(〜になる),become(〜になる),come(〜になる),get(〜になる),make(〜になる),turn(〜になる)

(3)「AがBと感じられる」のタイプ
feel(感じられる),smell(においがする),sound(聞こえる),taste(味がする)

上記3種類の、補語が必要な自動詞不完全自動詞といいます。

例文:
(1)
He looks tired. 彼は疲れているようにみえる。
(2)
She became a teacher. 彼女は先生になった。
My dream will come true. 私の夢は実現するだろう。
(3)
The story sounds strange. その話は奇妙に聞こえる。
It tastes good. それはいい味だ。


問題3(1) 彼女は親切にみえます。

英語の骨格である主語と動詞を決めます。
She(彼女は)が主語、looks(みえます)が動詞です。

動詞がlook(みえる)だから、She(A)looks(=)kind(B)の第2文型の英文になります。

注意:lookは、look atで「〜を見る」、look likeで「〜のようにみえる」の意味になります。


正解
She looks kind.



問題3(2) 富士山は日本で一番美しい山の一つです。

主語はMt. Fuji(富士山は)、動詞はis(です)の、第2文型の英文になります。
「富士山=日本で一番美しい山の一つ」だから、one of the most beautiful mountains in Japan(日本で一番美しい山の一つ)が補語です。

注意:よく出題される表現の「もっとも〜の一つ」は、「one of the 最上級 + 複数形」だと覚えておかないといけません。

注意:be動詞は、「いる・ある」の意味のときは第1文型、「〜である」と「〜になる」の意味のときは第2文型の英文になります。


正解
Mt. Fuji is one of the most beautiful mountains in Japan.



問題3(3) 英語を学ぶ最もよい方法は英語が話されている国へ行くことです。

主語はthe best way(最もよい方法は)、動詞はis(です)であり、補語がto go(行くことだ)と決めます。

(英語を学ぶ)最もよい方法は〜です行くこと(英語が話されている国へ)の構造になります。

The best way to learn English+…不定詞でway(方法)を修飾
is
to go to the countries where it is spoken…前置詞to(〜へ)を使った場所を表す副詞句to the countriesでto go(行くこと)を修飾

注意:the countries where it is spokenは、関係副詞whereが導く節where it is spokenが名詞のthe countriesを修飾しています。


正解
The best way to learn English is to go to the countries where it is spoken.



まとめ
1、不完全自動詞補語をとる動詞で、〜だ〜になるの意味のbe動詞をふくむ)のときは、第2文型主語動詞補語)の英文になる。

2、第2文型の英文はA=Bの構造をしており、=の部分にあたる動詞が不完全自動詞で、Bの部分にある名詞形容詞補語である。




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English これで満点 高校入試 英作文(2) 英文の語順+第1文型の英文


英文は主語動詞であることと、第3文型主語動詞目的語)の英文についてまとめた高校入試英作文(1)の続きです。

この稿では、第1文型主語+動詞)の英文を書く練習をします。


動詞で英文の構造(文型)が決まる

英文で最も重要な要素は動詞です。

どの動詞を選択するかによって、文型(英文の構造)が決まってしまいます。

第1文型の英文をつくる動詞は限られています。
言い換えると、ある種類の動詞によって、英文が第1文型に決まってしまうのです。


第1文型の英文を作る動詞

英語の動詞は、他動詞(必ず動詞の後に目的語が必要な動詞)と自動詞(後に目的語が不要な動詞)に分かれます。

自動詞の中でも、目的語を必要としないだけでなく補語も必要としない動詞を完全自動詞といいます。

1、動作
を表す動詞
例:walk(歩く),run(走る),swim(泳ぐ),go(行く),come(来る),stand(立つ),sit(すわる),sleep(眠る),talk(話す),cry(泣く),work(働く),live(住む),begin(始まる),cook(料理する),

2、「いるある」と訳すときのbe動詞

が、おもな完全自動詞であり、
第1文型
の英文(主語動詞、または主語動詞+単なる修飾語句
を作る動詞です。


問題2(1) 私は今朝バス停まで走りました。

英文の基本構造は、主語+動詞+〜です。

この問題では、主語は「私は」、動詞は「走りました」です。
英文は、I ran〜で始まります。

動詞が完全自動詞のrun(過去形がran)なので、第1文型の英文になります。

第1文型の英文は、主語動詞のあとには、副詞・副詞句前置詞で始まる修飾語句しかくることはありません。

前置詞で始まる修飾語句の「バス停まで」=to the bus stopと、時を表す副詞句の「今朝」=this morningとが、主語+動詞のうしろに並びます。

I ran to the bus stop this morning.

注意:語順は、主語動詞場所を表す副詞句+を表す副詞句の順になるのが原則です。


正解
I ran to the bus stop this morning.


問題2(2) 私たちの学校には音楽室が2教室あります。

「〜がいる」「〜がある」を表すthere is 〜, there are 〜の文は、第1文型の英文です(「音楽室がそこにある」=A music room is there.が倒置によってThere is a music room.になったものがThere is 〜の文の起源だから)。

正解
There are two music rooms in our school.

注意:同じ意味の英文を第3文型でも書くことができます。
Our school has two music rooms.


問題2(3) 外国に住むとき、私はあなたに覚えておいてほしいことが一つあります。

問題文が「あります」なので、書き出しはthere is〜になります。

「ある」ものは「一つのこと」で、その「一つのこと」を修飾する「私は(が)あなたに覚えてほしい」を「一つのこと」のうしろに置くと考えます。

そして、時を表す修飾節として「外国に住むとき」を、文の前かうしろに置こうと決めます。

文の骨格…There is one thing
one thingをうしろから修飾する節…I want you to remember
時を表す修飾節…when you live in the foreign country

There is one thingと、you live in the foreign countryは第1文型ですが、I want you to rememberは、「want+人+to〜=…に〜してほしい」という構文で、第1文型ではありません。

注意:問題文の「外国に住む」には主語が明示してありませんが、英語の文には主語動詞が必要なので、意味から考えて自分で主語のyouを補う必要があります。


正解
There is one thing I want you to remember when you live in the foreign country.


まとめ
1、完全自動詞(動作を表す動詞+いるあるの意味のbe動詞)のときは、第1文型主語動詞副詞・副詞句前置詞で始まる副詞句)の英文になる。

2、語順は、主語動詞場所を表す副詞句+を表す副詞句になる。

3、英文には原則として主語動詞が必須だから、問題文に主語が明示していないときは自分で主語を補う必要がある。




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English これで満点 高校入試 英作文(1) 主語と動詞を決める+第3文型の英文


原則として、英文に絶対必要なものは主語動詞です。
満点の英作文を書くには、主語と動詞を決めて、主語と動詞を正確に書くことが出発点となります。


問題1(1) マイクは毎週その自動車を洗います。

英文の基本構造は、主語+動詞+〜です。

この問題では、主語は「マイクは」、動詞は「洗います」です。
Mike washes 〜で、英文を書こうと決めます。

注意:問題文が「洗います」だから、現在形で、三人称単数s,esが必要です。

英文で一番多いのは、主語+動詞+目的語(〜を・〜に)の構造をした英文です(第3文型といいます)。

この問題では「その自動車を」とあるので、
Mike washes the car 〜となります。

注意:「その自動車」の「その」を見落とさないこと。
英語では、名詞は可算名詞が多く、原則として、名詞の前にaか、theか、名詞のうしろに複数形のs,esが必要です。

最後に、英文では、時を表す修飾語句は最後に置くのが普通です。
「毎週」を文末に置いて、
Mike washes the car every week.
で、完成です。

まとめ
1、英文の構造は、主語+動詞+〜である。
2、多くの英文は、主語+動詞+目的語(〜を・〜に)である。
3、現在形の英文では、動詞三人称単数e,esがつくことに注意。
4、名詞は、前にa,the、うしろに複数形のs,esがつくことが多い。

正解
Mike washes the car every week.



問題1(2) 彼は美しい写真を撮るために、オーストラリアを訪れました。

第3文型の英文は、主語+動詞+目的語が文の骨格で、それに修飾部分が付属します。
英文の語順は、問題文の日本語の語順とは異なることがあります。

この問題では、「彼は」が主語であり、「訪れました」が動詞の部分であることを最初に押さえておかないといけません。
そうすると、「オーストラリアを」が目的語であり、「美しい写真を撮るために」が修飾部分であると確定できます。

まず、文の前半は、主語+動詞+目的語の語順です。

He visited Australia 〜

注意:問題文の「訪れました」の「」に注目です。
日本語の「」は過去形、英文が過去形であればその訳は「」と、徹底しないといけません(実際の入試で非常に多いのが、動詞の時制の誤りです)。
この問題では、動詞は過去形のvisitedです。

文の前半の主語+動詞+目的語が確定できたので、そのあとに修飾部分の「美しい写真を撮るために」をくっつけます。

この問題では、「〜するために」だから、不定詞to+動詞の原形)を使います。

この場合も、動詞+目的語(〜を)の語順は不変ですから、「美しい写真を撮るために」は、
to take beautiful pictures
となります。

注意:名詞の「写真」ですが、可算名詞なので、前にa,theか、うしろに複数形のsが必要です。
オーストラリアにたった1枚の写真を撮りにいくことはないでしょうから、複数形のsをつけます。

He visited Australia to take beautiful pictures.


まとめ
1、英文の骨格である主語+動詞+〜のあとに、修飾部分をつけ加える。
2、日本語の「」は英文では過去形に、過去形の英文は訳すときは「」に。

正解

He visited Australia to take beautiful pictures.



問題1(3) 私たちの先生が、あのお寺は1000年以上の古さだと話したのを、私は覚えています。

複雑な問題だと、英文全体の主語+動詞と、その英文に組み込まれた文(といいます)の主語+動詞とを最初に見分けます。

この問題の、英文全体の主語+動詞は、「私は」+「覚えています」です。だから、
I remember 〜
で書き出します。

そのあとに、文全体の目的語として「『私たちの先生が』+『話した』」と、さらに、「話した」の目的語として「『あのお寺は』+『〜だ』」の、2つの主語動詞が加わります。

our teacher said
+that temple was

最後に、「1000年以上の古さだ」が、be動詞のあとに続きます。
that temple was more than 1000 years old

以上をまとめて、
I remember our teacher said that temple was more than 1000 years old.

注意:「先生が話した」のは過去のことなので、その目的語の「あのお寺は1000年以上の古さだ」の文中のbe動詞も、過去形のwasになります(時制の一致)。


まとめ
1、問題文中に、主語+動詞が複数含まれた複雑な文では、文全体主語+動詞と、(文の一部で、主語+動詞を含んだもの)を構成する主語+動詞を正確に見分ける。
2、を含む英文では、時制過去形にそろえないといけない英文がある(時制の一致)。

正解

I remember our teacher said that temple was more than 1000 years old.



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essay 「勝つことよりも大切なことがある」 今日、出会った言葉から


新潮45平成24年1月号・「ビートたけしの達人対談」に、ラグビーの松尾雄治さんが登場しています。

松尾雄治さん:昭和29年生まれ。目黒高校・明治大学出身。明治大学で日本選手権準優勝、新日鉄釜石で日本選手権7連覇を含む8度の優勝を達成。日本ラグビー史上最大のスターであった。

私が感動したのは、松尾さんの言葉ではなくて、松尾さんが語った松尾さんの恩師、明治大学ラグビー部元監督の北島忠治さんの言葉です。

北島忠治さん:1996年に95歳で亡くなるまでの67年間、明治大学ラグビー部を指導した伝説的な名監督。人格の陶冶を掲げた愛情のこもった指導で1300人の卒業生を育てた。


松尾雄治さんが語る北島監督の言葉


北島先生の本の最後に、こう書いてある。「本当の勝者とは、四年間一試合も試合に出られずとも、四年間一日も練習を休まず、卒業したものである」と。

北島先生
(の教え)は、もう正々堂々、ずるいことはするなという教えです。


だから「早稲田に勝て」とか、「慶応に勝て」とかそういうことを一度も言われたことはないです。「普段通りに今までやってきたことを思いっ切り、全力で無我夢中で頑張れ」と、それだけでしたね。

北島先生は「試合に勝つことよりも大切なことがある」と言われていたので、「それって何だろう」と、(私、松尾は)ずーっと考えていた。


「試合に勝つことよりも大切なことがある」「それって何だろう」

一時(格差社会が言われ始めた小泉内閣の頃)、「勝ち組、負け組」なる言葉が流行ったことがあります。
私は当時、下品な言葉だなという感想を持ちましたが、では人生で「勝つ」こと以上に何が大事な価値かと問われれば、答えに窮して口ごもってしまいます。

松尾雄治氏は、北島監督の言葉をずうっと考えていて、「それはやっぱり『自分に勝つ』ということなんですよ」との結論に達したそうです。


「正々堂々、ずるいことはするな」

松尾さんはわかってらっしゃるのでしょうが、「自分に勝つ」だけでは、我ら凡人にはわかりにくい。

「勝つより大切なもの」について、もう少し考えてみましょう。

北島監督は、相手の選手が反則で退場したとき、「学生たちに正々堂々と戦わせてやりたい。同じポジションの選手をこちらも退場させて十四対十四でやらせてくれ」と審判に頼んだことがあるそうです。
「相手が一人足りないと、勝っても一生涯『あのとき十四対十五で勝った』ことになるのが不憫でならない」と。

十四対十五の勝利では、「得をした」という卑しい私心が、心のシミ、汚れとなって残るのです。
つまり、ズルをしたり、卑怯な手を使って勝つのがよくないことはもちろんのこと、あとに一点でも心の曇りがあったら、そんな勝利には何の値打ちもないということです。

だから、本当の勝利は、私心なく「全力で無我夢中で頑張」ったあとの達成感の中にしかない、「全力をふりしぼって最善を尽くす」ことだけが人にできる最上のことであるというのが、北島先生の教えの真髄であり、松尾さんの言う「自分に勝つ」とは以上の意味であろうと、私は理解しました。




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homeroom 数学の入試問題を解くとき大切なこと 正しい入り口から入らないと問題は解けない(年号の計算)


入試問題を解くとき、その問題を解くための入り口は決まっており、正しい入り口から入らないと問題は解けません。

この稿では、よく出題される、年号を使った計算問題を取り上げます。


計算問題を楽に解くための入り口・・・数字を文字に置き換える

例題1:次の計算をせよ。
203×2014-201×2012-199×2008+197×2006


(正しい入り口から入る)
その年の年号を使った計算問題が出題されることがあります。
もちろん、一つ一つを筆算する問題ではありません。

この問題だと、各項の数字のうち、前にある数字の203,201,199,197が200をはさんだ数字であり、後ろにある数字の2014,2012,2008,2006が2010をはさんだ数字であることを利用します。

数字を文字に置き換え、200=x、2010=yにして、式を書き直してみます。

203×2014-201×2012-199×2008+197×2006
=(200+3)×(2010+4)-(200+1)×(2010+2)-(200-1)×(2010-2)+(200-3)×(2000-4)

200=x、2010=yに置き換えて、

=(x+3)(y+4)-(x+1)(y+2)-(x-1)(y-2)+(x-3)(y-4)

=xy+4x+3y+12-(xy+2x+y+2)-(xy-2x-y+2)+xy-4x-3y+12
=xy+4x+3y+12-xy-2x-y-2-xy+2x+y-2+xy-4x-3y+12
=xy-xy-xy+xy+4x-2x+2x-4x+3y-y+y-3y+12-2-2+12

=20

数字文字置き換えて、文字式として計算すれば、簡単な問題に変わります。


例題2:次の計算をせよ。
計算1




(正しい入り口から入る)
何度も表れる数字の2013を、文字x置き換えます。

計算2




分子も分母も因数分解できることに気づけば簡単に解くことができます。

計算3



















この稿のまとめ

1、年号の数字を使った計算問題では、数字文字置き換えると簡単に解けることが多い

2、年号を文字に置き換える場合や、きりのよい数字を文字に置き換える場合がある



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homeroom 数学の入試問題を解くとき大切なこと 正しい入り口から入らないと問題は解けない(合同の証明)


入試問題を解くとき、その問題を解くための入り口は決まっており、正しい入り口から入らないと問題は解けません。

この稿では合同の証明問題について考察します。


合同を証明する問題の入り口・・・辺=辺、角=角を証明するときは、三角形の合同を利用する

例題1:△ABCの外側に、それぞれAB、ACを1辺とする正三角形合同ABD、正三角形ACEをつくる。DとC、BとEを結ぶ。このとき、DC=BEであることを証明せよ。









(正しい入り口から入る)
辺と辺、角と角が等しいことを証明するときは、「合同な図形の対応する)は等しい」ことから、まず、先に2つの三角形が合同であることをいいます。

その前に、証明の問題では、問題文中の仮定を図に書き込み、問題文中の合同の2結論を図でなぞっておくと、それだけでだいぶ簡単になることも知っておきましょう。

この問題だと、結論のDC=BEの、辺DC、辺BEをなぞっておくと、DCを含む△ADCとBEを含む△ABEの合同をいえばよいことが一目でわかります。

(証明)
△ADCと△ABEにおいて、
仮定より、正三角形ADBの辺だから、AD=AB・・・(1)
同様に、正三角形ACEの辺だから、AC=AE・・・(2)
∠DAC=∠DAB+∠BAC=60°+∠BAC
∠BAE=∠EAC+∠BAC=60°+∠BAC
ともに、60°+∠BACだから、∠DAC=∠BAE・・・(3)

(1)(2)(3)より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
△ADC≡△ABE
合同な図形の対応する辺は等しいから、
DE=BC


やや難しい証明問題の入り口・・・A=C、B=CだからA=Bと論証する

上の(証明)のうちで太字で示した部分
∠DAC=∠DAB+∠BAC=60°+∠BAC
∠BAE=∠EAC+∠BAC=60°+∠BAC
ともに、60°+∠BACだから、∠DAC=∠BAE・・・(3)

が、書き方を覚えておくべき大事な場所です。

A=CB=CだからA=Bという記述の仕方をよく使います。

さらに、
正三角形の問題の入り口・・・すべての角が60°であることを使う
も重要です。


よく似た問題で練習してみましょう。

例題2:△ABCの辺AB、辺BCをそれぞれ1辺とする正方形ADEBと正方合同の4形BFGCを△ABCの外側に作る。このとき、AF=ECであることを証明せよ。





















(正しい入り口から入る)
合同を証明する問題の入り口・・・辺=辺、角=角を証明するときは、三角形の合同を利用する
合同の3
1、仮定(AB=EB、BF=BC)を図に記入し、結論(AF=EC)をなぞっておく。

2、
辺と辺、角と角が等しいことを証明するときは、「合同な図形の対応する)は等しい」ことから、まず、先に2つの三角形が合同であることをいう。

(証明)△ABFと△EBCにおいて、
仮定より、正方形ADEBの辺だから、AB=EB・・・(1)
同様に、正方形BFGCの辺だから、BF=BC・・・(2)
∠ABF=∠CBF+∠ABC=90°+∠ABC
∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°+∠ABC
ともに、90°+∠ABCだから、∠ABF=∠EBC・・・(3)

(1)(2)(3)より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
△ABF≡△EBC
合同な図形の対応する辺は等しいから、
AF=EC


やや難しい証明問題の入り口・・・A=C、B=CだからA=Bと論証する

上の(証明)のうちで太字で示した部分
∠ABF=∠CBF+∠ABC=90°+∠ABC
∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°+∠ABC
ともに、90°+∠ABCだから、∠ABF=∠EBC・・・(3)

が、書き方を覚えておくべき大事な場所です。

さらに、
正方形の問題の入り口・・・すべての角が90°であることを使う
も重要です。




この稿のまとめ

1、合同を証明する問題の入り口・・・==を証明するときは、三角形の合同を利用する

2、やや難しい証明問題の入り口・・・A=C、B=CだからA=Bと論証する

3、正三角形の問題の入り口・・・すべての角が60°であることを使う
正方形の問題の入り口・・・すべての角が90°であることを使う





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homeroom 数学の入試問題を解くとき大切なこと 正しい入り口から入らないと問題は解けない(場合の数・確率)


入試問題を解くとき、その問題を解くための入り口は決まっており、正しい入り口から入らないと問題は解けません。

並び方(順列)の問題は、わくを書いて解きます。


並び方(順列)の問題の入り口・・・わくを書いて場合の数を書き込み、計算で求める

例題:A,B,C,D,Eの5人を長いすに横一列に座らせます。次の問いに答えよ。
(1)5人の並び方は全部で何通りあるか。
(2)B,Cの2人がとなり合わせになる並び方は何通りあるか。
(3)A,Bが長いすの両端に座る確率を求めよ。
(4)B,Cの2人がとなり合わせにならない確率を求めよ。


(正しい入り口から入る)
(1)5人の並び方は全部で何通りあるか。
樹形図左端をAと決めると、左から2番目にはB,C,D,Eの4通りが座る可能性があります。
2番目がBと決まると左から3番目に座る可能性があるのはC,D,Eの3通り、
A,B,Cと座ると4番目はD,Eの2通り、
最後にA,B,C,Dが座ると右端はEだけの1つです。

そして、左端に座る可能性があるのはAと、B,C,D,Eの5通りです。

左端が5通り、その1つについて左から2番目が4通りずつ、3番目が3通りずつ、4番目が2通りずつ、右端が1通りです。
これを式に書くと、
5×4×3×2×1となります。

以上の理屈を理解した上で、問題を解くときは、5人の座るいすをそれぞれ1つのわくと考え、わくの中にすわる可能性のある人数を書き込んでいきます。

順列5人の並び方は、5×4×3×2×1=120通りです。




(2)B,Cの2人がとなり合わせになる並び方は何通りあるか。
B,Cの2人がとなり合わせなので、B,Cをくっついた1つの組、(BC)と考えて、A,(BC),D,Eの4つの並び方を考えます。
順列の2
並び方は4×3×2×1=24通りです。

ところが、「B,Cの2人がとなり合わせ」というとき、B,Cの順に並んでいるとは限りません。
C,Bの並び方もあります。
上で求めた24通りはB,Cと並んだときなので、同じ個数だけあるはずのC,Bと並んだときも考慮しないといけません。

以上より、B,Cの2人がとなり合わせになる並び方は、
24×2=48通りです。


(3)A,Bが長いすの両端に座る確率を求めよ。
Aを左端、Bを右端と決めてわくを書いてみます。
順列の3Aが左端、Bが右端と決めたので、残ったのはC,D,Eの3人です。
だから、座り方は3×2×1=6通り。

ところが、Bが左端でAが右端の場合も同じ個数だけあるから、「A,Bが長いすの両端に座る」並び方は、6×2=12通りだということになります。

最後に、(1)で求めた5人の並び方の120通り、A,Bが両端に座る12通りを、確率の式「ある場合の数/すべての場合の数」にあてはめて、
12/120=1/10

答えは1/10です。


場合の数・確率の問題の入り口・・・「ならない」場合の数は、全体や1から「なる」場合をひく

(4)B,Cの2人がとなり合わせにならない確率を求めよ。
正直に「となり合わせにならない」場合を数えるのは大変です。

場合の数や確率の問題では、「ない」=「全体-なる場合」、「ない確率」=「1-なる確率」で求めればよいという法則があります。

(解き方1)
5人の並び方は120通り、2人が「となり合う」並び方は48通りでした。
だから、「となり合わせにならない」並び方は、120-48=72通りです。

確率の式「ある場合の数/すべての場合の数」にあてはめて、72/120=3/5、「B,Cの2人がとなり合わせにならない確率」は3/5です。

(解き方2)
5人の並び方は120通り、2人が「となり合う」並び方は48通りでした。
だから、B,Cの2人が「となり合う」確率は48/120=2/5です。

「となり合う」確率が2/5だから、「となり合わせにならない」確率は、1-2/5=3/5です。



この稿のまとめ

1、並び方順列)の問題の入り口・・・わくを書いて場合の数を書き込み、計算で求める

2、ならない」場合の数・確率の問題の入り口・・・「ならない」場合の数は、全体1から「なる」場合をひく



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homeroom 数学の入試問題を解くとき大切なこと 正しい入り口から入らないと問題は解けない(空間図形・三平方の定理)


入試問題を解くとき、その問題を解くための入り口は決まっており、正しい入り口から入らないと問題は解けません。

空間図形の応用問題は、三平方の定理相似をもちいて解きます。


空間図形(三平方の定理)の問題の入り口・・・平面を見つけて、平面を書き出し、平面を使って解く

例題:1辺の長さが8cmの正四面体O-ABCがあり、BCの中点をM、OD=DMとなるOA上の点をD、MからOAにひいた垂線とOAとの交点をNとする。このとき、次の問いに答えよ。
三平方(1)MNの長さを求めよ。
(2)点DからAMにひいた垂線とAMとの交点をHとするとき、DHの長さを求めよ。












(正しい入り口から入る)
求めたい線分がふくまれている平面を見つけてその平面を書き出し、書き出した平面の図を使って解きます。

(1)MNの長さを求めよ。
三平方の2MNをふくんでいる平面は△OAMです。
平面である△OAMで考えますが、辺OM、辺AMの長さを先に求めておかないといけません。

そこで、まず、辺の長さがわかっている正三角形△OBCか△ABCを使って、OMかAMの長さを先に求めます。

どちらでもよいのですが、△OBCを使ってOMの長さを求めましょう。

このとき、さっと平面OBCを書き出して解くほうが正確に解けます。
三平方の3
△OBCは1辺が8cmの正三角形です。
1つの角が60°だから、BM:OB:OMは1:2:√3です。
BM=4だから、OM=4√3。

OMもAMも長さは4√3です。

OM、AMの長さがわかったので、次に△OAMを書き出して、その平面を使ってMNの長さを求めます。



三平方の4AN=4、AM=4√3、∠ANM=90°より、直角三角形AMNで三平方の定理をもちいて式を立てます。
三平方の5












(2)点DからAMにひいた垂線とAMとの交点をHとするとき、DHの長さを求めよ。
三平方の2難しい問題になるほど、平面で解かないと解きにくくなります。

DHが含まれる平面も△OAMですから、これまでにわかった長さを記入し、もう一度△OAMを書き出して考えていきます。







三平方の6DHの長さを求める前に、ADやODの長さがわかっていないので、まずそちらを先に求めないといけません。

問題文中のOD=DMがヒントになります。
OD=DM=xとすると、
直角三角形NDMで、DM=x、DN=x-4、MN=4√2。
三平方の定理をもちいて式を作ります。
三平方の7










わかった、DM=6cm、DN=2cmをさらに書き込んで、やっとDHの長さを求めることができます。
三平方の8
DA=2、DM=6、AM=4√3と、3辺の長さがわかっているので、AHを先に求めないと解くのに時間がかかります。

AH=yとすると、HM=4√3-y。
直角三角形DAHと直角三角形DHMで三平方の定理を使ってDHの2乗を2通りの方法で表わせることを使って方程式を立てます。
三平方の9












最後に直角三角形DAHでもう一度三平方の定理を使います。
三平方の10






















三平方の定理も相似も、習うときはまず平面図形の問題として学習します。また、試験の答案用紙も平面です。
私たちの目と頭は、ものごとを考えるとき、平面で考える癖があるのです。

だから、空間図形の問題も平面の問題として考えるほうがずっと解きやすいし、間違いも少なくなります。



この稿のまとめ

空間図形(三平方の定理)の問題の入り口・・・平面を見つけて、平面を書き出し、平面を使って解く




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