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  • 2022.10.14 Friday
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math 相似の難問を『てこの原理』を使って簡単に解く


アルキメデスが発見したとされる、『てこの原理』といわれるものがあります。
てこの原理左図のように、支点からの距離がaのところに重さAのおもり、支点からの距離がbのところに重さBのおもりをさげたとき、つねにA×a=B×b・・・(1)
の式が成り立ちます。
これがてこの原理です。

てこの原理と反比例左の図でxの値を求めたいとき、
2×10=x×20
の式を立てて、
x=1kgを求めてもよいし、

積が等しいということは反比例ですから、支点からの距離が10:20=1:2だから、おもりの重さは逆の比の2:1となり、x=1kgと求めることもできます(こちらのやり方のほうが簡単なときが多い)。


また、てこを支えている点P(支点)には、おもり2つ分、A+Bの重さがかかっていると考えることができます(てこを支えている糸はA+Bの力でひっぱられています)。・・・(2)
支点にかかる力











上記の(1)と(2)をもちいて、2種類の相似の難問を簡単に解くことができます。


例題1:図の△ABCで、点Q,Rはそれぞれ辺CA,AB上にあり、例題1AR:RB=1:3CQ:QA=1:2である。線分BQと線分CRの交点をOとし、線分AOの延長と辺BCの交点をPとする。このとき、次の線分の比を求めよ。
(1)BP:PC
(2)AO:OP







(てこの原理を利用して解く方法)

まず、ABを1つのてこと考えます。
AR:RB=1:3だから、逆の比で、点Aに3のおもり、点Bに1のおもりがぶらさがっていて、てこABの支点Rには3+1=4の重さが加わっていると考え、図にかきこみます。
例題1の2










同様に、ACも1つのてこと考え、CQ:QA=1:2より、逆の比で、おもりの例題1の3比はA:B=1:2です。ところが、点Aの重さは3とかきこまれているので、点Cの重さは6ということになります。
また、てこACの支点Qにかかっている重さは3+6=9です。
さらに、点Cの重さが6なので、てこBCの支点Pにかかっている重さは、点Bの重さ1に点Cの重さ6を加えた7ということになります。
これらをすべて図にかきこみます。

これで、準備完了です。

かきこんだ図をながめるだけで、それぞれの問題を簡単に解くことができます。

(1)BP:PC

点Bの重さが1で、点Cの重さが6だから、BP:PCは逆の比の6:1です。

(2)AO:OP


点Aの重さが3、点Pの重さが7とかきこまれているので、AO:OPは逆の比の7:3です。



例題2:図の△ABCで、点Q,Rは、辺BCの延長線上にある点Pからひいた直例題2線と辺AC、辺ABとの交点である。AR:RB=2:3BC:CP=5:2のとき、次の線分の比を求めよ。
(1)CQ:QA
(2)RQ:QP







(てこの原理を利用して解く方法)

例題1と同じように、てこの原理を利用して、点A,B,Pに重さを、支点C,Q,Rに重さの合計をかきこみます。
例題2の2












あとは、図のかきこみを見て解くだけです。

(1)CQ:QA

点Cの重さが7で、点Aの重さが3だから、CQ:QAは、逆の比の3:7です。

(2)RQ:QP

点Rの重さが5、点Pの重さが5なので、逆の比も5:5=1:1が答えです。



例題1、例題2は、相似を使っても解けますし、高校で習うチェバの定理、メネラウスの定理を使っても解けますが、2つの定理を知らなくても、てこの原理を利用することで簡単に解くことができます。
相似とてこの原理












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science 中学理科とJ(ジュール)…電力量・熱量・仕事・位置エネルギー


平成24年度以降、中学理科の教科書では、電力量熱量仕事エネルギーの単位として、J(ジュール)が使われます。

中学2年では、電流の単元で、電力量熱量の単位としてJジュール)をもちいます。

中学3年では、運動とエネルギーの単元で、仕事エネルギーの単位としてJジュール)をもちいます。


電力量

電気器具の能力を表わす量が電力であるといわれますが、電気器具が1秒間消費する電気の量電力だという定義のほうがわかりやすい。

電力直列つなぎの乾電池を思いうかべてください。乾電池電力2が多いほど、電圧は大きく、流れる電流も大きいので、豆電球は明るく光ります。
私たちは、「電気の量」を「豆電球の明るさ」で意識します。
この「電気の量」が電力ですから、電力は電圧と電流で表わされます。
つまり、電力(W)=電圧(V)×電流(A)です。



そして、消費された電力総量電力量であり、電力量を表わす単位がJジュール)です。

1秒間という瞬間の電気の量が電力であり、電気をある時間使ったときに消費された電気の総量が電力量です。
電力量
電力量2










だから、電力は、(電圧×電流)×秒、つまり、電力×秒で表わされます。
電力量(J)=電力(W)×(s)


また、Jジュール)は、エネルギーの量を示す単位であり、電力量は、消費された電力の総量を表わすと同時に、消費された電力によって発生した電気エネルギーの量も表わしています。


熱量

電流の持つエネルギーは、他のエネルギーに変わることがあります。
電気エネルギーから他のエネルギーに変わるものとして、熱、光、音、運動などのエネルギーをあげることができます。

そのうちの熱エネルギーの量を、熱量といいます。
熱量の単位も、エネルギーなのでJジュール)です。

エネルギー保存の法則(あるエネルギーが別のエネルギーに変わってもエネルギーの総量は変化しないという物理学の法則)により、電気エネルギーが熱エネルギーに変わってもエネルギーの量は同じです。

だから、電気エネルギーがすべて熱エネルギーにかわったとすると、
熱エネルギー熱量
=電気エネルギー
=電力量
=電力×秒
となります。

つまり、電流によって発生する熱エネルギーの量、つまり熱量も、
熱量=電力量=電力×秒の式で求めることができます。

熱量J=電力(W)×(s)


また、実験で、質量1gの温度を1度上昇させるのに必要な熱エネルギーの量、熱量は、4.2Jであることがわかっています。

このことから、
熱量(J)=4.2×水の質量(g)×上昇温度(°C)
の式が成り立ちます。


仕事

物体に力を加えて、加えた力の向きに物体を動かしたとき、理科では、力は物体に仕事をしたといいます。

仕事の量もエネルギーの量で表わします。

仕事J)=の大きさ(N)×力の向きに動いた距離(m)

物を、ある高さまで持ち上げるときには、物体にはたらく重力と同じ大きさの力で持ち上げないといけないので、
仕事J)=重力の大きさ(N)×持ち上げた高さ(m)
となります。

物体を横にひっぱって動かすときは、物体にはたらいている摩擦力と同じ大きさの力でひっぱらないといけないので、
仕事J)=摩擦力の大きさ(N)×力の向きに動いた距離(m)
となります。

電力量(J)と熱量(J)と仕事(J)とは、エネルギーを表わす量としては同じ量ですから、1Jの電力量は1Jの仕事をするということになります。


仕事率

1秒間にする仕事の大きさが仕事率です。

仕事率W)=仕事J)÷s


ところで、電力量(J)=電力(W)×秒(s)でした。
この式を変形して、電力(W)=電力量(J)÷秒(s)

このことから、電力と仕事率とは同じ、つまり、電力は電気による仕事率を表わしていたということがわかります。


位置エネルギー

基準面からある高さにある物体が持っている、仕事をできる能力が位置エネルギーです。

位置エネルギーの大きさも、エネルギーなのでJ(ジュール)で表わします。
位置エネルギーある質量を持ち、ある高さにある物体は、同じ質量を持つ物体を同じ高さにまで持ち上げることができる、つまり、仕事をすることができるはずです。

位置エネルギーの大きさは、するとしたらできるであろう仕事の量と等しくなります。




だから、
位置エネルギーJ)=その物体にはたらく重力N)×基準面からの高さm
となります。


まとめ

J(ジュール)は、中学理科では4つのものを表わします。

電力量(J)=電力(W)×(s)

熱量J=電力(W)×(s)

仕事J)=の大きさ(N)×力の向きに動いた距離(m)

位置エネルギーJ)=その物体にはたらく重力N)×基準面からの高さm

電力量は電気のエネルギー量、熱量は熱のエネルギー量、仕事は仕事のエネルギー量、位置エネルギーは高い位置にある物体が持つエネルギー量を表わしています。



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essay 菅原道真と菅直人


次の社会科の記事は、菅原道真(すがわらのみちざね)を書く予定です。

塾講師は、学校の教師以上に、政治的には絶対に中立であることが求められます。

だから、まちがっても以下に書くことは記事本文には書けません(また、わが塾のお客様は、この行以下の文章を決してお読みにならないようにお願いします)。


菅原道真さんですが、没後、まあ、祟りに祟りました(と、当時の人々は信じました)。
弱った朝廷は、道真さんに位を追贈するは、神様に祀りあげるは、怒れる魂を散々慰撫したものの、相当てこずりました。


で、その菅原道真さんの子孫の一系統が備前の国で繁栄し、その子孫の一系統の末が菅直人さんなんだそうです。


道真さん、そこまで祟るか・・・。


essay 歴史記述に関する覚書


(この記事は大人向けに書いています。子どもさんの勉強にはなんの役にもたちません。)

最近、社会科の記事は歴史中心にまとめています。

その際、考えていることは3つです。


1、その時代を代表する人物の目でその時代を眺めて歴史を理解する

歴史のあらゆる教科書、参考書は、いわば、神の目から見た歴史というか、いろいろな事柄が網羅的に記述されています。
例えば、奈良時代の歴史というとき、手もとの参考書だと平城京遷都から始まって、和同開珎、遣唐使、農民の生活、三世一身法、墾田永年私財法、天平文化と並んでいます。

それはそれでよいし、教科書、参考書であればそれで当たり前ですが、そのことが子どもたちの歴史理解を妨げることもあるのではないかと思うことがあります。

奈良時代を代表する人として聖武天皇に焦点をあてる、聖武天皇が生きた時代として奈良時代を眺める、聖武天皇の目で奈良時代を眺めて奈良時代の社会がどんな社会であったのかを理解する、そういう観点で歴史を見直すと、今までとはちょっと違った歴史理解が成り立つのではなかろうかと考えました。


2、日本の歴史は『官僚』の歴史であったことを頭の隅で意識する

社会科で取り上げられる事柄の多くは、実は官僚のやったことを記述したものです。

もう一度奈良時代を例にとると、遷都を提言し実行したのも官僚、貨幣鋳造を試みたのも官僚、遣唐使を計画し唐に渡ったのも官僚、三世一身法や墾田永年私財法を制定したのも官僚、聖武天皇の御物を管理して正倉院に納めたのも官僚・・・。

さらに歴史を記録したのも、古事記、日本書紀を書いた官僚です。

なんてことはない、日本の「歴史」は官僚がやったことを官僚が記録したものに過ぎないと言っても大きな間違いではありません。

子どもたち相手に、授業中、「結局、日本の歴史は官僚の歴史だ」とか、それに類する「政治的」な発言をしたこと、することは、決してありませんが、頭の片隅で意識しておかないと正しく歴史を認識できないのではないかと思っています。


3、この国が外国のものは目をつぶって良しとしてきたことを自覚する

2の、官僚の歴史がこの国の歴史の大半であるということにも関連するのですが、その官僚が何をおもな仕事の一つにしてきたかというと、外国の優れた制度(と官僚が考えるもの)や、優れた文化(と官僚が考えるもの)をわが国に移入することでした。

最初の官僚が文字や計算を独占していた渡来人とその子孫であったことが、官僚の習性として、自分たちの権威のよりどころとして常に外国を持ち出す遺伝子を我らの体内に埋め込んだのだと思われます。

国家的な危機になるほど、この遺伝子は威力を発揮します。

例えば、福島原発の汚染水浄化施設、「官僚」がなんの躊躇もなく何十億、何百億を払って盲目的にとびついたのは、アメリカ製の、フランス製の、水漏れや弁のつけ違いなどで1時間もすれば停止、停止を繰り返す代物でした。

ため息が出てきますが、私たちがそういう国民であることを意識しておくことが歴史を理解する際の有力な道具の一つであることは確かです。


math 円すいの側面積が1秒で求められる公式(小学生)


(この記事は小学生対象です。中学生の方は『円錐の側面積が1秒で求められる公式(中学生)』をご覧ください。)



円すいの側面積を、1秒もかけずに求められる公式があります。
それは・・・、
LRπ側面積=母線×半径×3.14

母線をL、底面の半径をRとすると、
側面積=L×R×3.14







例題:底面の半径が1cm、母線の長さが4cmの円すいの表面積を求めなさい。
4×1×π
(解答)
表面積=底面積+側面積です。

底面積は円だから半径×半径×3.14より、
底面積=1×1×3.14=3.14

側面積は母線×半径×3.14で求められるから、
側面積=4×1×3.14=12.56

よって、表面積は
3.14+12.56=15.7

どうですか?
公式を知っていたら、とても楽に求められます。


公式、側面積=母線×半径×3.14が成り立つ理由

公式を確実に自分の知識にするために、『なぜ、そうなるのか?』をきちんと理解しておきましょう。

円周7表面積の問題なので、展開図をかいて考えます。

側面(おうぎ形)は、半径がL(母線)の円の一部です。・・・(1)

円全体のどれだけにあたるかを考えます。
側面を含む円全体に対する、側面(おうぎ形)割合は、側面を含む円の円周に対する、おうぎ形(側面)のの長さの割合と一致します。・・・(2)

また、側面(おうぎ形)のの長さは、底面である円の円周と一致します。・・・(3)

円周全体=L×2×3.14
おうぎ形の弧の長さ=底面の円周=R×2×3.14

側面(おうぎ形)は半径L(母線)の円(L×L×3.14)の一部であり、円全体に対する割合がL×2×3.14分のR×2×3.14、R×2×3.14/L×2×3.14だから・・・

側面の面積は、
L×L×3.14×(R×2×3.14/L×2×3.14)=L×L×3.14×(R×2×3.14/L×2×3.14)=L×R×3.14
約分2




つまり、側面積=母線×半径×3.14です。




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math 円錐の側面積が1秒で求められる公式(中学生)


(この記事は中学生対象です。小学生の方は『円すいの側面積が1秒で求められる公式(小学生)』をご覧ください。)



円錐の側面積を、1秒もかけずに求められる公式があります。
それは・・・、
LRπ側面積=母線×半径×π

母線をL、底面の半径をRとすると、
側面積=LRπ







例題:底面の半径が1cm、母線の長さが4cmの円錐の表面積を求めよ。
4×1×π
(解答)
表面積=底面積+側面積です。

底面積は円だから半径×半径×πより、
底面積=1×1×π=π

側面積は母線×半径×πで求められるから、
側面積=4×1×π=4π

よって、表面積は
π+4π=5π

どうですか?
公式を知っていたら、とても楽に求められます。


公式、側面積=母線×半径×πが成り立つ理由

公式を確実に自分の知識にするために、『なぜ、そうなるのか?』をきちんと理解しておきましょう。

円周7表面積の問題なので、展開図をかいて考えます。

側面(おうぎ形)は、半径がL(母線)の円の一部です。・・・(1)

円全体のどれだけにあたるかを考えます。
側面を含む円全体に対する、側面(おうぎ形)割合は、側面を含む円の円周に対する、おうぎ形(側面)のの長さの割合と一致します。・・・(2)

また、側面(おうぎ形)のの長さは、底面である円の円周と一致します。・・・(3)

円周全体=L×2×π
おうぎ形の弧の長さ=底面の円周=R×2×π

側面(おうぎ形)は半径L(母線)の円(L×L×π)の一部であり、円全体に対する割合がL×2×π分のR×2×π、R×2×π/L×2×πだから・・・

側面の面積は、
L×L×π×(R×2×π/L×2×π)=L×L×π×(R×2×π/L×2×π)=L×R×π
約分




つまり、側面積=母線×半径×πです。




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lounge それはないんじゃないの?東京書籍さん・・・


教科書は、東京書籍のものが好きです。
「定番」という感じがします。

ところで、このブログは、リンクフリーです。
たいしたことが書いてあるわけでもなし、自由に使っていただいたらいい。

何か所か、塾や個人のブログにリンクを貼っていただいているのを知っていますが、こんな拙いブログなのに、本当にありがたいことです。

しかぁし!
1社だけ、納得できないお方というか、奴というか、会社というか、場所がある!

それはぁ、東京書籍、おまえだあ!!


東京書籍の「隠し部屋」

東京書籍のリンクから、たまにこのブログを閲覧に来る人がいます。

ところが、東書のサイトのどこに、どんなふうに、わがブログへのリンクが貼ってあるのか、私は、知りたくてもわかりません。

なぜか?

それは、リンクが貼ってある場所が東書Eネットだからです。

私が東書Eネットに入ろうとすると、このログイン画面が出てきます。

「いいじゃないか、何を怒っているんだ?」と思っているあなた!
もう一度、ログイン画面の右上をよく見てください。

こんな不遜な言葉が書かれているんですよ!

東書Eネットは,教職員,またはそれに準ずる学校教育に直接に携わっている人々のための無料の会員制ネットです。(企業や塾関連,保護者はご遠慮ください


上等じゃねえか!

東書Eネットには、学生でも入会できます(ここにそう書いてある)。

ところが、『塾関連はお断り』ときた(それに、なんだい?この「塾関連」って腹の立つ造語は)。

上等じゃねえか。
誰が入るか。

東京書籍の塾教材販売子会社、あすとろ出版が今度うちの塾にきたら、『東京書籍関連はご遠慮ください』って啖呵を切ってやらあ。

しかし、しかしだ・・・。


フェアじゃないんじゃない?

『塾関連はお断り』だと威張るんなら、「塾関連」のブログへのリンクなんか貼るなよ。

それも、どんなふうに引用されているのか、「塾関連」が調べるすべもない場所に「塾関連」のリンクを貼るなんて、きたない真似はするなあ!


以上、塾関連の、塾関連による、塾関連のための、イヌの遠吠えでした。



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homeroom 『解説』や『囲み記事』はハーゲンダッツの蓋についたアイス


授業中の会話から。

「問題のあとに、おまけで故事成語をまとめたページがあるやろ?あれも、じっくり読んだらためになるから、読んどいたほうがいいよ。」

しばらくして・・・

「あれ?もう、次の問題を解いてる。おまけのページちゃんと読んだんか?」

A君いや・・・。めんどくさいから。

B君はやく次の問題をやりたいし・・・。

「おいしいアイスクリームあるよなあ。あれ、なんやったっけ?」

ハーゲンダッツ



Cさんハーゲンダッツ!

「おう、それそれ!ハーゲンダッツもらって(高いから買われへんしなあ)、ふたをとっと食べるとき、もちろん中身もおいしいけど、ふたにくっついたアイス、ついつい食べてしまうやろ?スプーンで削って食べへんか?」

D君おれ、舐めてまうわ。

「ふたについたアイスのほうが本体よりおいしいような気がするよね。」

全員そうそう!あれ、なんでやろ。

「問題集なんかの解説や囲み記事は、ふたにくっついたアイスとおんなじやねん。かえって問題本体よりも後まで頭に残って、役に立つことが多い。おろそかにせんほうがええで。賢い子は、そういうのんまで、よく読んでるよ。」

E君うまいこと言うなあ。




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math 円すいの展開図の中心角と母線・半径(小学生)


(この記事は小学生対象です。中学生の方は『円すいの展開図の中心角と母線・半径(中学生)』をご覧ください。)



円すいの母線の長さと底面の半径の長さと、円すいの展開図の側面の中心角との間に成り立つ関係について、知っていると問題がめちゃくちゃ楽に解けてしまう公式を覚えてください。

その公式とは、
360°:中心角=母線:半径
です。


例題:図は、底面の半径が1cm、側面の母線の長さが3cmである円すいの円錐1見取り図と展開図です。展開図の、側面の中心角は何度ですか。

公式、360°:中心角=母線:半径知っていたら、
母線:半径が3:1だから、つまり、半径が母線の3分の1だから、中心角も360°の3分の1、
よって360×1/3=120°と、瞬時に答えが出てきます。


円錐5左の図の場合であれば、母線:半径=4:1だから、中心角は360°の4分の1、つまり90°です。








逆に、中心角がわかっているとき、半径や母線の長さを求める問題も瞬時に解くことができます。
円錐6例えば、左の図で底面の半径を求めたいとき、中心角が120°で360°の3分の1だから、底面の半径も母線の3分の1になり1cmだと、すぐに求められます。








公式、360°:中心角=母線:半径が成り立つ理由

公式を確実に自分の知識にするために、『なぜ、そうなるのか?』をきちんと理解しておきましょう。

円錐3展開図の側面はおうぎ形です。
このおうぎ形が含まれる円全体を考えるのがポイントです。

左の図を見たらわかるように、360°に対する中心角の割合と、円周全体に対するおうぎ形の弧の長さの割合は同じです。

まず、
360°:中心角=円周の長さ:弧の長さ…(1)
の関係が成り立っています。

次に、
円錐4円周を求める式は、直径×3.14の式より、
3×2×3.14

弧の長さは、底面の円の円周と一致するから、1×2×3.14

2×3.14の部分は共通なので、
3×2×3.14:1×2×3.14=3:1

このように、
円周の長さ:弧の長さ=母線:半径…(2)
の式が成り立ちます。





(1)と(2)より、
360°:中心角=円周の長さ:弧の長さ=母線:半径
つまり、
360°:中心角=母線:半径
です。

まとめます。
円周7円すいの母線の長さをL、底面の半径をRとするとき、

360°:中心角=L:R

また、

中心角=360°×R/L

知っていると超お得な公式です。



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math 円錐の展開図の中心角と母線・半径(中学生)

(この記事は中学生対象です。小学生の方は『円すいの展開図の中心角と母線・半径(小学生)』をご覧ください。)


円錐の母線の長さと底面の半径の長さと、円錐の展開図の側面の中心角との間に成り立つ関係について、知っていると問題がめちゃくちゃ楽に解けてしまう公式を覚えてください。

その公式とは、
360°:中心角=母線:半径
です。


例題:図は、底面の半径が1cm、側面の母線の長さが3cmである円錐の円錐1見取り図と展開図である。展開図の、側面の中心角は何度か。

公式、360°:中心角=母線:半径知っていたら、
母線:半径が3:1だから、つまり、半径が母線の3分の1だから、中心角も360°の3分の1、
よって360×1/3=120°と、瞬時に答えが出てきます。


円錐5左の図の場合であれば、母線:半径=4:1だから、中心角は360°の4分の1、つまり90°です。








逆に、中心角がわかっているとき、半径や母線の長さを求める問題も瞬時に解くことができます。
円錐6例えば、左の図で底面の半径を求めたいとき、中心角が120°で360°の3分の1だから、底面の半径も母線の3分の1になり1cmだと、すぐに求められます。








公式、360°:中心角=母線:半径が成り立つ理由

公式を確実に自分の知識にするために、『なぜ、そうなるのか?』をきちんと理解しておきましょう。

円錐3展開図の側面はおうぎ形です。
このおうぎ形が含まれる円全体を考えるのがポイントです。

左の図を見たらわかるように、360°に対する中心角の割合と、円周全体に対するおうぎ形の弧の長さの割合は同じです。

まず、
360°:中心角=円周の長さ:弧の長さ…(1)
の関係が成り立っています。

次に、
円錐4円周を求める式は、直径×πの式より、
3×2×π

弧の長さは、底面の円の円周と一致するから、1×2×π

2×πの部分は共通なので、
3×2×π:1×2×π=3:1

このように、
円周の長さ:弧の長さ=母線:半径…(2)
の式が成り立ちます。





(1)と(2)より、
360°:中心角=円周の長さ:弧の長さ=母線:半径
つまり、
360°:中心角=母線:半径
です。

まとめます。
円周7円錐の母線の長さをL、底面の半径をRとするとき、

360°:中心角=L:R

また、

中心角=360°×R/L

知っていると超お得な公式です。




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