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  • 2022.10.14 Friday
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math 大阪府23年後期B 大問2 空間図形


平成23年度、大阪府公立高校入試後期Bの問題は、いつもの年より難しかった印象があります。
得点も低く、上位校の受験生でも、80点満点中40点を超えれば上出来だったようです。

その中でも特に解きにくかったのが大問の二、空間図形の問題でした。
この問題を見て、うんざりした受験生も多かったのではないでしょうか。


大問2:図1〜図3の立体は、点Pを中心とする半径3cmの円Pと点Qを中心とする半径3cmの円Qを底面とし、高さが9cmの円柱である。直線PQは底面に垂直である。
円周率をπとして、次の問いに答えなさい。答えが根号をふくむかたちになる場合は、その形のままでよい。

図1(1)図1、図2において、Rは線分PQ上にあって、P,Qと異なる点である。点Rを中心とする円Rは半径が3cmであり、円Rをふくむ平面は円柱の底面と平行である。四角形ABCDは、AB=DC=8cm、BC=AD=4cmの長方形である。B,Cは、円Pの周上にあって、A,Dは円Rの周上にある。Sは、長方形ABCDの対称の中心であり、線分PQ上にある。Eは、Dを通り直線PQに平行な直線と円Pとの交点である。BとEとを結ぶ。このとき、直線DEは円Pをふくむ平面と垂直であり、線分BEは円Pの直径である。

[1]図1において、

(ア)円Pと円Qを底面とする円柱の表面積を求めなさい。

(イ)線分DEの長さを求めなさい。求め方をも書くこと。必要に応じて解答欄の図を用いてもよい。





[2]図2において、Fは、辺BCの中点である。SとFとを結ぶ。Gは、Pから線分SFにひいた垂線と線分図2SFとの交点である。線分PGの長さを求めなさい。



















(2)図3において、Tは線分PQ上にあって、P,Qと異なる点である。点Tを中心とする円Tは半径が
図33cmであり、円Tをふくむ平面は円柱の底面と平行である。立体HIJ-KLMは三角柱である。△HIJは、∠JHI=90°、HJ=HI=2cmの直角二等辺形である。△HIJ≡△KLMである。四角形HKLI,JMLI,JMKHはすべて長方形であって、長方形HKLI≡四角形JMKHである。HK=8cmである。K,Mは円Pの直径上にあって、KP=MPである。H,Jは、円Tの周上にある。このとき、平面HKLIは円柱の底面に垂直である。Nは、円Tをふくむ平面と辺ILとの交点である。NとH、NとJとをそれぞれ結ぶ。このとき、△JHNは、∠JHN=90°の直角三角形である。三角すいI-JHNの体積を求めなさい。













(解き方と解答)
[1]図1において、

(ア)円Pと円Qを底面とする円柱の表面積を求めなさい。

図1の2
基本的な問題なので、きちんと正解して点をとっておかないといけません。

表面積=底面積+側面積と考えて、一つずつ落ち着いて解いていきます。

まず、底面積から求めます。
半径3cmの円が上と下に2つあるので、
(3×3×π)×2=18π
です。

次に側面積を求めます。
展開図をかいたとき、縦が9cm、横が底面の円周と等しい3×2×π=6πの長方形となりますから、
9×6π=54π
です。

よって、18π+54π=72π平方cmとなります。


(1)図1、図2において、・・・四角形ABCDは、AB=DC=8cm、BC=AD=4cmの長方形である。・・・Sは、長方形ABCDの対称の中心であり、・・・。
[1]図1において、
(イ)線分DEの長さを求めなさい。求め方をも書くこと。必要に応じて解答欄の図を用いてもよい。

図1の3

図がわかりにくいので、早合点しないで、きちんと根拠を考えながら解いていく必要があります。

まず、△DBCは∠DCB=90°の直角三角形だから、三平方の定理よりDB^2=4^2+8^2
DB^2=16+64
DB^2=80
DB>0より、
DB=4√5

次に、△DEBは∠DEB=90°の直角三角形だから、三平方の定理より
DE^2+6^2=(4√5)^2
DE^2+36=80
DE^2=44
DE>0より、
DE=2√11


[2]図2において、Fは、辺BCの中点である。SとFとを結ぶ。Gは、Pから線分SFにひいた垂線と線分図2の2SFとの交点である。線分PGの長さを求めなさい。

空間図形の問題を考える際のコツは、『求めないといけない辺がふくまれている平面見つけて、平面で考える』です。

この問題では、△SPFがその平面です。

まず、[1]で求めたDE=2√11と「Sは、長方形ABCDの対称の中心」より、SP=√11です。

同様に、AB=DC=8cmより、SF=4cmです。

以上より、△SPFは∠SPF=90°の直角三角形だから、三平方の定理より、
(√11)^2+PF^2=4^2
11+PF^2=16
PF^2=5
PF>0より、
PF=√5

そのあと、公立高校入試でしばしば出題される、『同じものの面積(または体積)を2通りの方法で表わして方程式をたてる』で解いていきます。

△SPFの面積を求める式を2通り考えます。

SFを底辺、PGを高さと見ると、△SPFの面積を求める式は、
4×PG×1/2

∠SPF=90°だから、PFを底辺、SPを高さと考えると、△SPFの面積を求める式は、
√5×√11×1/2

この2つの式は、ともに△SPFの面積を求める式で等しいから、
4×PG×1/2=√15×√11×1/2
4PG=√55
よって、PG=√55/4cm


最後に、さらにややこしい問題が待っています(私は次の問題を解くのに1週間かかりました)。

(2)・・・立体HIJ-KLMは三角柱である。△HIJは、∠JHI=90°、HJ=HI=2cmの直角二等辺 形であ図3の2る。・・・HK=8cm である。・・・KP=MPである。・・・△JHNは、∠JHN=90°の直角三角形である。三角すいI-JHNの 体積を求めなさい。

まず、△HPKは∠HKP=90°の直角三角形だから、三平方の定理より、
HP^2=1^2+8^2
HP^2=1+64
HP^2=65
HP>0より、
HP=√65

次に、点Hから底面の円Pに垂線をひき、円Pの円周との交点を点Oとします。

△HOPが∠HOPの直角三角形で、OP=3cm(半径)だから、
HO^2+3^2=(√65)2
HO^2+9=65
HO^2=56
HO>0より、
HO=2√14

次に、△HOKが、∠HOK=90°の直角三角形だから、
OK^2+(2√14)^=8^2
OK^2+56=64
OK^2=8
OK>0より、
OK=2√2

最後に、∠IHN=∠OHK=90°-∠NHK、∠HIN=HOK=90°より△HIN∽△HOKだから、
2√14:2=2√2:IN
この式を解いて、IN=2√7/7

以上より、三角すいI-JHNの体積は、
底面積×高さ×1/3
=2×2×1/2×2√7/7×1/3
=4√7/21


こんなに手間がかかるはずはないので、もっとずっと簡単な解き方があるか、私の解き方のどこかが間違っているかのどちらかだと思うのですが、どなたか教えていただければありがたいです。


10時間後の追記:自分の書いたものを見て、思いつきました。

まず、△MKPは∠MKP=90°の直角三角形だから、三平方の定理より
図の3の3MK^2+1^2=3^2
MK^2+1=9
Mk^2=8
MK>0より、
MK=2√2

次に、∠HOK=90°の直角三角形HOKで、三平方の定理より、
HO^2+(2√2)^2=8^2
HO^2+8=64
HO^2=56
HO>0より、
HO=2√14

次に、∠IHN=∠OHK=90°-∠NHK、∠HIN=HOK=90°より△HIN∽△HOKだから、
2√14:2=2√2:IN
この式を解いて、IN=2√7/7

以上より、三角すいI-JHNの体積は、
底面積×高さ×1/3
=2×2×1/2×2√7/7×1/3
=4√7/21

だいぶ「まし」になりましたが、もっといい解き方がありそうな気もします。



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social studies 藤原不比等(ふじわらのふひと)と大宝律令・和同開珎・奈良遷都・日本書紀


飛鳥時代末期から奈良時代初期にかけて活躍した政治家が藤原不比等(ふじわらのふひと)です。

天武天皇(在位:673〜686)、持統天皇(在位:686〜697、天武天皇の后)の治世の後、文武(もんむ)天皇(在位:697〜707、天武天皇の孫)、元明(げんめい)天皇(在位:707〜715、文武天皇の母)、元正(げんしょう)天皇(在位:715〜724、文武天皇の姉)の時代に活躍しました。

藤原不比等は大化の改新に功績のあった中臣鎌足(藤原鎌足)の次男です。

また、不比等の子、武智麻呂(むちまろ)・房前(ふささき)・宇合(うまかい)・麻呂(まろ)が、藤原四家の南家・北家・式家・京家となり、不比等の子孫が後の摂関政治をにないます。

さらに、不比等の娘宮子は文武天皇の后となって聖武天皇を産み、不比等と県犬養三千代(あがたのいぬかいのみちよ)との娘光明子は聖武天皇に嫁いで光明皇后となります。

直接明示する歴史資料はほとんどありませんが、701年の大宝律令の制定、710年の平城京遷都や、古事記日本書紀の編纂などを実質的に推進したのは藤原不比等だとされています。


藤原不比等の生涯(年表)

659年 中臣鎌足の第二子として誕生

669年 中臣鎌足、天智天皇より藤原の姓を賜る

672年 (壬申の乱)

673年 (天武天皇即位)

686年 (持統天皇称制)

689年 不比等31歳のとき、従五位下の判事となる(不比等の名が史書に表れた最初)

697年 文武天皇即位

701年 大宝律令

707年 元明天皇即位

708年 和同開珎(わどうかいちん)

710年 平城京遷都

712年 古事記(太安万侶)

715年 元正天皇即位

720年 日本書紀(舎人親王)、藤原不比等死去

724年 聖武天皇即位


大宝律令
近江令(天智天皇)、飛鳥浄御原令(天武天皇)についで、701年に制定された、律を備えた最初の本格的な律令(法律)です。

藤原不比等刑部親王(おさかべのみこ:忍壁皇子とも表記)が責任者になって編纂したとされています。
中国(特に)の法制である律令を模範として、わが国に導入しました。

刑法にあたるは、ほぼ唐の律をそのまま踏襲しました。

行政法にあたるは、わが国の実情に合わせたものになっています。
中央に役所として二官(太政官・神祇官)と八省(中務省・式部省・治部省・民部省・大蔵省・刑部省・宮内省・兵部省)を置くこと、公文書には元号を用いること、地方の単位である国・郡・里に国司・郡司を任命することなどを定めました。

大宝律令は逸失して原文は不明ですが、757年に制定された養老律令などによって大宝律令の内容を推定することができるのだそうです。


平城京(へいじょうきょう・へいぜいきょう)
わが国最初の本格的な都は、持統天皇の時代に、現在の奈良県橿原市に造営された藤原京です。

藤原京が手狭になったので、710年元明天皇のとき、の都長安(ちょうあん:現在の西安(しーあん))にならって大規模な都を現在の奈良市に建設したのが平城京です。
784年に長岡京(現在の京都府向日市・長岡京市など)に移るまで、奈良がわが国の首都でした。

大規模な首都を建設することで、内外に天皇と朝廷の権威を示すことを目的としました。

平城京は、当時、ほぼ10万人の人が住んでいました。
東西南北に道路が桝目(ますめ)状に整備された条坊制が特徴です。
平城京跡からは、字を書きとめた木の札である木簡(もっかん)が多数発見され、当時の様子を知る手がかりとなっています。

平城京への遷都の理由として、旧豪族の勢力が残る飛鳥に近い藤原京から離れた地に遷都することで律令政治の徹底を図ろうとした藤原不比等の意志があったといわれています。


和同開珎(わどうかいちん・わどうかいほう)
日本で最古の貨幣は、683年頃につくられた富本銭(ふほんせん)です。
実際に流通したのか、まじない用に使われただけなのか、わかっていません。

708年、武蔵国秩父(現在の埼玉県秩父市)から銅が献上されたのを機に、元号を和銅と改め、唐の貨幣を模範として作られた最初の流通貨幣が和同開珎です。

和同開珎以降、958年まで政府が発行した貨幣をまとめて皇朝12銭といいます。

奈良時代はまだ物々交換や米などを貨幣代わりに利用する経済だったので、貨幣は都近くの畿内以外にはほとんど流通しませんでした。


日本書紀
720年舎人親王(とねりしんのう)らが編纂し、元正天皇のときに成立した、わが国で最初の正史(国家によって編纂された歴史書)です。
神代より持統天皇の治世までのわが国の歴史が、漢文、編年体で記述されています。

中国の歴史書を模範に、天皇と大和朝廷の権威を高めることを目的に編纂されました。
日本書紀の天武天皇10年(681年)の条に、「天武天皇が歴史書の編纂を命じた」という趣旨の記述があることから、天武天皇の時代に作成が始まり、元正天皇のとき、720年に完成したことが明らかです。

天皇家以外の豪族の家記や、官庁の記録、個人の日記、寺院の縁起類、中国の史書や朝鮮の資料など多くの資料を引用した内容となっています。

編纂を命じた天武天皇や、当時の実力者である藤原不比等の意向をくんで、天武天皇、藤原氏に有利な記述に偏っているという学説も有力です。

同時代、日本書紀よりやや早く成立した歴史書としては、天武天皇が命じた稗田阿礼(ひえだのあれ)の口述を、元明天皇の命により太安万侶(おおのやすまろ)が書き取ったとされる古事記があります。



藤原不比等の像
藤原不比等










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science 双眼実体顕微鏡(特徴・各部の名称・使い方)


光学顕微鏡には、接眼レンズが1個で片目で観察する顕微鏡(ステージ上下式鏡筒上下式の2種類、この稿では双眼実体顕微鏡ではないほうの顕微鏡を「ふつうの顕微鏡」と表記することにします)と、接眼レンズが2個あって両目で観察する双眼実体顕微鏡とがあります。
この稿では、双眼実体顕微鏡を取り上げます。
双眼実体顕微鏡






双眼実体顕微鏡の特徴・利点
双眼実体顕微鏡には次のような特徴があります。

(1)20〜40倍の倍率で観察するのに適しています(ふつうの顕微鏡は40〜600倍程度)。

(2)ルーペと同様に、観察物にあたって反射した光をレンズで拡大して観察しているので、ものを立体のままで観察できます(ふつうの顕微鏡は、透過する光で観察物を見るので、光が通りぬける薄さのプレパラートに加工しないと観察できません)。

(3)両眼で観察するので、観察物を厚みのあるまま立体的に見ることができます。

(4)本体内のプリズムで正立の像(上下左右がそのまま)になるので、観察物を上下左右そのままで観察できます(ふつうの顕微鏡は対物レンズで上下左右が逆になった倒立の像を見るので、上下左右が反対に見えています)。

(5)自然光が弱い場所でも光をあてて見ることができます。


双眼実体顕微鏡の各部の名称
各部の名称接眼レンズ
視度調節リング
接眼鏡筒
粗動ねじ
微動ねじ(「調節ねじ」と表記する本もある)
対物レンズ
クリップ
ステージ


双眼実体顕微鏡の使い方
次のような順序で操作します(本によって、少しちがいがあります)。

1、ステージの白と黒の面のうち、観察物を観察しやすい面を選択します。

2、視野が明るくなるようにを採りいれます。自然光で不十分なときは照明装置を使い、ステージの中央が明るくなるようにします。

3、観察物をステージにのせます。

4、接眼レンズから少し眼を離して両眼で覗き、接眼鏡筒を動かして、左右の接眼レンズ目の幅に調節して、視野が1つに重なるようにします。

5、粗動ねじをゆるめて、両眼でおよそのピントを合わせます。

6、右眼で覗きながら、微動ねじピントを合わせます。

7、左眼で覗きながら、視度調節リングをまわしてピントを合わせます。

※「接眼レンズを目の幅に調節して、視野が1つに重なるようにする」操作については、「ピントを合わせる前にする」と書かれた本と「ピントを合わせた後にする」と書かれた本とがあります。




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English 高校入試 重要前置詞 with


前置詞の理解で英語力は大きくアップ、英文と一緒に覚えればさらに強力な「学力」になります。
今日取り上げる前置詞は、withです。


もともとの意味を知る

それぞれの前置詞が本来持っている意味・語感を知っておくと、たくさんの意味を丸暗記しなくても英文の意味がわかるようになります。


withの本来の意味・語感

withの本来の意味は『〜を伴って』『〜と一緒に』です。
おもなAに、Bが伴っているとき、A with Bの形で使います。


withを使う重要表現・例文(1)…「〜と一緒に」「〜と一緒の」

1、〜と一緒に・・・(と)一緒
He is living with his parents.(彼は両親と一緒に住んでいる。)
He has no friends to play with.(彼には一緒に遊ぶ友だちがいない。)
I want to have a talk with you about it.(私はそのことであなたと話したい。)

2、〜を持った・・・(と)一緒
I saw a girl with long hair.(私は長い髪の少女と出会った。)
Take an umbrella with you.(傘を持っていきなさい。)
He had no money with him. (彼には金の持ち合わせがなかった。)
I always have a camera with me.(私はいつもカメラを持っている。)

3、〜で・・・(と)一緒、
The top of the mountain was covered with snow.(その山の頂上は雪でおおわれていた。)
I'd like a salad with French dressing.(フレンチドレッシングをかけたサラダが欲しい。)
I filled a glass with water.(私はコップを水で満たした。)

4、〜にとって、〜して・・・(状況が)一緒
What is the matter with you.(どうしたんですか。)
Something is wrong with this computer.(このコンピュータはどこかおかしい。)
Don't speak with your mouth full.(口にたべものをほおばったまましゃべるな。)

5、〜をもって(with+名詞=副詞と言い換えられる場合)
He did it with ease.(彼はそれを楽々とやった。)
=He did it easily.
He did it with care.(彼はそれを注意してやった。)
=He did it carefully.

6、〜があれば、〜があるのに
I would be able to move the stone with a lever.(てこがあればその石を動かせるのに。)
With all his wealth he is not happy.(お金がありながら、彼は幸せではない。)
With all her faults, I still love her.(欠点はあるが、私は彼女が好きだ。)


withを使う重要表現・例文(2)・・・「〜と一緒」の意味がやや薄いwith

1、〜で・・・(道具)をもちいて
She cut a cake with a knife.(彼女はナイフでケーキを切った。)
He wrote a letter with a pen.(彼はペンで手紙を書いた。)

2、〜に
I agree with you.(あなたの意見に賛成です。)
He is angry with you.(彼は君に怒っている。)
He is in love with her.(彼は彼女に恋している。)

3、〜が原因で
She was pleased with the gift.(彼女は贈り物をもらって喜んだ。)
He is in bed with a cold.(彼は風邪で寝ている。)




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math 大阪府23年後期B 大問1(6)関数


平成23年度後期B問題の大問1、最後の問題は、例年通り、関数の問題でした。
そして、いつもと同じ解法で解ける問題でした。


1(6):図において、mは関数y=1/2x^2のグラフを表わす。A,B,Cはm上の点である。Aのx座標は負で1(6)あり、Bのx座標は正であり、Cのx座標は、Bのx座標より大きい。Bのy座標は、Aのy座標と等しい。Dはy軸上の点であって、Dのy座標はCのy座標と等しい。Eはy軸上の点であって、Eのy座標はAのy座標と等しい。4点A,B,C,Dを結んでできる四角形ABCDは平行四辺形である。AB=DEであるときのBのx座標を求めなさい。求め方も書くこと。ただし、x軸の1目もりの長さとy軸の1目もりの長さとは等しいものとする。




(解き方と解答)
1、まず、解く前の準備として、問いの文から読み取れる『座標』と『』をグラフにかき込みます。

この問いの場合、最初にかき込めるのはmの式だけです。

2、次に、問いで「Bのx座標を求めなさい」とあることから、点Bの座標をかき込みます。(ア)求めるx座標tとする、(イ)点Bを通っているを見つけて、代入して、点Bのy座標tの式で表わす、の2つのことができれば、必ず解けます。
関数重要1(6)の2点Bの座標は、左の図のように(t、1/2t^2)となります。

このとき、放物線の性質である「y軸に関して左右対称である」を利用して、点Aの座標もかき込んでおきます(こうした、自分自身に対する心配りが後で自分を助けてくれます)。



3、最後に、問いの文章から読み取れることを使って、残りの点の座標をかき込み、それぞれの座標の関係から方程式をたてると、関数の問題は絶対に解けます。

まだ座標を記入していないのは、点Cと点Dです。


まず、点Cから座標を記入していきましょう。

四角形ABCDは平行四辺形なので、AB=DCです。
ABの長さを見つければ、点Cの座標を記入できます。

EBの長さはtです。

注意すべきはAEの長さです。
例えば、点Aの座標が(-2,0)であれば、AEの長さは2です。座標が−のとき、長さは+になります。
つまり、座標マイナスのとき、長さを求めるときは符号を逆にしないといけません。
点Aのx座標は-tでした。だから、符号を逆にして、AEの長さはtです。

以上より、ABの長さは、AB=AE+EBより、t+t=2tです。

y軸上の点Dのx座標は0であり、DC=2tですから、点Cのx座標は2tだということになります。

点Cのx座標がわかったので、関数重要左のやり方で、点Cのy座標をtを使って表わします。

1(6)の3




1(6)の4

これで、点Cの座標が記入できました。


次に記入する座標は、点Dの座標です。

今度は「AB=DEである」を使います。
点Eのy座標は点A、点Bのy座標と同じであり、AB=2tですから、点Dのy座標は
1(6)の5




これで、すべての座標を記入できました。
1(6)の6
あとは、等しいものを見つけて方程式をたてるだけです。

Dのy座標はCのy座標と等しい」ことから、
1(6)の7

















関数の応用問題を解くときの鉄則

1、解く前の準備として、『座標』と『』をかき込む。
2、(ア)求めるx座標tとする、
(イ)を見つけて、代入して、y座標tの式で表わす。
3、座標の関係から方程式をたてる
(4、座標マイナスのとき、長さ符号を逆にする。)


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Japanese 国語文法の活用表と語幹・活用語尾


動詞・形容詞・形容動詞などの活用のある語で、活用させても変化しない部分を「語幹」、活用させたときに変化する部分を「活用語尾」といいます。

例えば、動詞「書く」の場合、「書か(ない)」「書き(ます)」「書く」「書く(とき)」「書け(ば)」「書け」「書こ(う)」「書い(た)」と活用します。
変化しない「書()」が語幹です。

変化する」「」「」「」「」「」「」「」が活用語尾です。

「ない」「う」や、「ます」「た」は、付属するおもな助動詞、「とき」は付属する名詞、「ので」や「ば」は付属する助詞であって、語幹や活用語尾を見つける手がかりにはなりますが、動詞本体ではないので、語幹にも活用語尾にも含まれません。

おもな動詞、形容詞、形容動詞の活用は、次の表のようになります。

国語活用表1
























語幹・活用語尾で注意すること

語幹と活用語尾を考えるとき、注意しないといけないポイントが2つあります。

1、ひらがな3文字以上の上一段活用の動詞「起きる」は、「起き(ない)」「起き(ます)」「起きる」「起きる(とき)」「起きれ(ば)」「起きろ」と活用します。

語幹は「変化しない部分」、活用語尾は「変化する部分」のはずです。
ところが、「起きる」では、「起()」が語幹で、「」「」「きる」「きる」「きれ」「きろ」が活用語尾です。

」の部分は変化しないのに、「」は語幹ではなくて活用語尾に含まれます。

つまり、イ段以下が、活用語尾です。

ひらがな3文字以上の下一段活用の動詞でも同じことが言えます。
答える」で、「答(こた)」の部分が語幹で、「」「」「える」「える」「えれ」「えろ」が、「」は変化していないのに「え」を含めて活用語尾です。
つまり、エ段以下が、活用語尾です。


2、ひらがな2字の上一段活用の「見る」、ひらがな2字の下一段活用の「出る」、カ行変格活用の「来る」、サ行変格活用の「する」などは、「語幹がない」とか、「語幹と活用語尾との区別ができない」と説明されます。

上一段活用の「見る」だと、語幹がなくて、「(ない)」「(ます)」「見る」「見る(とき)」「見れ(ば)」「見ろ」が活用語尾です。

下一段活用の「出る」だと、語幹がなくて、「(ない)」「(ます)」「出る」「出る(とき)」「出れ(ば)」「出ろ」が活用語尾です。

カ行変格活用の「来る」は、「」「」「くる」「くる」「くれ」「こい」は活用語尾で、語幹はありません。

サ行変格活用の「する」は、「し・せ・さ」「」「する」「する」「すれ」「しろ」は活用語尾で、語幹はありません。



疑問1:なぜ、上一段活用・下一段活用では変化していない部分も活用語尾なのか?

上一段活用の動詞「起きる」では、語幹は「変化しない部分」、活用語尾は「変化する部分」のはずなのに、「起()」が語幹で、「」「」「き」「きる」「きれ」「きろ」が活用語尾です。

」の部分は変化しないのに、「き」は語幹ではなくて活用語尾です。

下一段活用の動詞「答える」では、「答(こた)」の部分が語幹で、「」「」「える」「える」「えれ」「えろ」が、「」は変化していないのに「え」を含めて活用語尾です。

なぜでしょうか?

一つの説得力ある論は次のようなものです。

現代語の「起きる」は上一段活用ですが、古文では「起きる」ではなくて「起く」でした。
「起く」は、「起き(ず)」「起き(たり)」「起く」「起くる(とき)」「起くれ(ば)」「起き(よ)」と活用しました(「き」と「く」の二段に活用するので、古典の文法では「上二段活用」といいます)。


古典文法では、「起く」の語幹は「起(お)」で、「き」以下の「き」「き」「く」「くる」「くれ」「き」が、変化するので活用語尾です。

古文にあった、上一段活用、上二段活用の2種類の動詞が、現代国語では混ざって上一段活用になりました。
そのなごりから、「起(お)」が語幹であり、「き」以下が活用語尾である、という説明です。

また、利点として、古典文法と現代語文法との整合性を保つことができることをあげられます。


同様の理由から、下一段活用の「答える」も、「「答(こた)」の部分が語幹で、「え」「え」「える」「える」「えれ」「えろ」が、変化していない「え」を含めて活用語尾です。


疑問2:語幹のない語があってもよいのか?

上一段活用の「見る」、下一段活用の「出る」、カ行変格活用の「来る」、サ行変格活用の「する」などは、「語幹がない」とか、「語幹と活用語尾との区別ができない」と説明されます。

これも不思議です。

このことを説明する理論は次のようなものです。

私たちが学校で習う国語文法は、「学校文法」と呼ばれる特殊な「文法」なのだそうです。
国語学者の橋本進吉氏の著作を基礎に、戦後、中学校の教科書が作られ、今の教科書も橋本氏の説をほぼそのまま踏襲しています。

学校文法では、語幹と活用語尾を「ひらがな単位」で考えます。
だから、例えば、「見る」の場合、ひらがな単位だと、「み−ない」「み−ます」「みる」「みる−とき」「みれ−ば」「み−ろ」となるので、「見(み)」を語幹とすると、活用語尾がなくなってしまいます。それはおかしいので、「み」「み」「みる」「みる」「みれ」「みろ」が活用語尾だということになります。

ところが、「学校文法」は、他国の言語も視野に入れた言語学の立場からは説得力のない特殊な「文法」であって、「理屈にあっていない」のだそうです。

語幹と活用語尾を考えるときは、「学校文法」のように「ひらがな」単位で考えるのではなくて、「音」、つまり母音や子音を単位にして考えないといけません。

言語学の立場からは、五段活用の動詞や、カ行変格活用「来る」、サ行変格活用の「する」の語幹は子音で終わります。

例えば、「書く=kaku」だと、語幹が「kak」で、「u」が活用語尾です。
この立場だと、「来る」は「k+uru」、「する」は「s+uru」となって、すべての動詞に語幹と活用語尾があることになります。




どうやら、国語文法上の、語幹と活用語尾に関する、理屈に合わないようにみえるいくつかの事柄は、(1)古典文法と現代語文法との連続性や整合性、(2)「学校文法」という一種独特な文法の特殊性の、2点から説明がつくようです。


最後に、形容詞と形容動詞の語幹と活用語尾については、上述のような混乱はありません。

すべての形容詞で、「かろ」「かっ」「く」「い」「い」「けれ」が活用語尾であり、その上の部分が語幹です。
形容動詞だと、「だろ」「だっ」「で」「に」「だ」「な」「なら」が活用語尾で、その上が語幹です。




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math 大阪府23年後期B 大問4 平面図形


平成23年度後期B問題・平面図形の問題は、暗記カードをモデルにした問題でした(例年と同様、暗記カードであることは問題を解くのに関係ありません単語帳)。



大問4図1において、四角形ABCDはAB=6cm、AD=11cmの長方形である。Iは、辺ABの中点である。Pは、長方形ABCDの内部の点であっ図1て、Iを通り辺ABに垂直な直線上にあり、PI=2cmである。このとき、AD//IPである。線分PJと四角形EFGHとは、それぞれ線分PIと長方形ABCDとを点Pを中心として同じ向きに同じ角度だけ回転させたものである。このとき、PI=PJ、長方形ABCD≡長方形EFGHである。Gは、直線EHについてAと反対側ににあって、直線ADについてCと反対側にある。K,L,M,Nは、それぞれ辺ABと辺EF、辺ABと辺EF、辺BCと辺EF、辺ADと辺FGとの交点である。このとき、Pは直線LN上にある。
次の問いに答えなさい。答えが根号をふくむ形になる場合は、その形のままでよい。


(1)PとCとを結んでできる線分PCの長さを求めなさい。


(解き方と解答)
まず、問題を読んで必要なことを図にかき込んでおきます。
図1の2
かき込んだ図をながめて、どうやって解くかの方針を立てます。

図形の問題ですから、解くのに使う道具は『相似』か『三平方の定理』です。

図をながめると、Pから辺BCに垂線をひくことで、三平方の定理が使えることに気づきます。





三平方の定理より、PC^2=3^2+9^2
図1の3PC^2=9+81
PC^2=90
PC>0より、
PC=√90
PC=3√10


PC











(2)次の「証明」は、まず、△PIL≡△PJLであることを証明してから、IL=JLであることを示し、その後、IL=JLであることを用いて△KEL≡△MBLであることを証明したものである。次の「証明」における( )から適しているものを一つ選び、記号を書きなさい。また、「証明」における(b)の部分に△KEL≡△MBLであることの証明を書き加え、「証明」を完成させなさい。

「証明」
△PILと△PJLにおいて
PL=PL(共通)・・・(あ)
PI=PJ(仮定)・・・(い)
∠PIL=∠PJL=90°(仮定)・・・(う)
(あ)(い)(う)より、( ア 直角三角形の斜辺と他の1辺  イ 直角三角形の斜辺と一つの鋭角  ウ 2辺とその間の角 )
がそれぞれ等しいから △PIL≡△PJL
よって IL=JL
(     b     )



(解答)
図1の4
「証明」
△PILと△PJLにおいて
PL=PL(共通)・・・(あ)
PI=PJ(仮定)・・・(い)
∠PIL=∠PJL=90°(仮定)・・・(う)
(あ)(い)(う)より、( ア 直角三角形の斜辺と他の1辺  イ 直角三角形の斜辺と一つの鋭角  ウ 2辺とその間の角 )(正解はア)
がそれぞれ等しいから △PIL≡△PJL
よって IL=JL
( b △KELと△MBLにおいて、
対頂角は等しいから、∠KLE=∠MLB・・・(1)
長方形の角だから、∠KEL=∠MBL・・・(2)
また、BI=3cm、EJ=3cm
IL=JLだから、
EL=EJ-JL、BL=BI-ILより、EL=BL・・・(3)
(1)(2)(3)より、1辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
△KEL≡△MBL


(3)EL=2cmであるときの線分ANの長さを求めなさい。求め方も書くこと。

(解き方と解答)
また、図に必要な数値をかき込みます。
図1の5
特に、求めるANにxとかき込むのが大事です。
xをかき込むことで、△LPI∽△LNAを利用できることがわかります。

(求め方)
El=2cmであり、△KEL≡△MBLだから、BL=2cm
よって、IL=1cm
IP//ANだから、IP:AN=LI:LA
2:x=1:1+3
2:x=1:4
x=8cm




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math 正三角形・正六角形と面積(同じ形に分けて考える問題)


正三角形や正六角形には知っておかないといけない性質がいくつかあって、いろいろおもしろい問題が出題されますが、その一つに、同じ形の図形に分割して解く問題があります。


例題1:周の長さが等しい正三角形と正六角形の面積の比を求めなさい。

正三角形と正六角形







考え方・解き方
このような問題を解くとき、小学生にとって最もわかりやすい解き方は、図形を分割して、同じもの何個でそれぞれの図形ができているかを見つける方法です。

まず、「周の長さが等しい」ことから、正六角形の1辺の長さを1とすると、正三角形の1辺の長さが2になることに気づいてください。
正六角形の周の長さは1×6=6、正三角形の周の長さは2×3=6となって、周が等しくなります。

正三角形と正六角形の2次に、正六角形が正三角形の集まりであることに着目します。

正三角形の一つの角は60度です。
正六角形の一つの角は120度であり、左の図のように分割すると一つの角が60度の正三角形6個に分割できます。
つまり、正六角形は、正三角形が集まったものだと考えることができます。

正六角形が、1辺が1の正三角形の集まりであることがわかったので、次に1辺が2の正三角形の中にも、同じように、1辺が1の正三角形を作ってみます。

正三角形と正六角形の3左の図のように、1辺が1の正三角形が、正三角形の中には4個できることがわかります。




正三角形の中には1辺が1の正三角形が4個、正六角形の中には1辺の長さが1の正三角形が6個できました。

だから、面積の比は4:6=2:3。
答えは2:3です。


例題2:左の図の、正六角形の内部にある斜線部の面積は、正六角形の面積の何倍になりますか。


例題2









考え方・解き方
正六角形は、正三角形6個に分割できるだけでなく、次の図のように分割することもできます。
例題2の2
この分割の仕方だと、同じ形、同じ大きさの、二等辺三角形6個に分割できます。
言い換えると、1個の二等辺三角形の面積は、正六角形の1/6です。





例題2そうすると、斜線部の面積は、正六角形の右半分の1/2から、二等辺三角形1個分の1/6をひいたものですから、1/2-1/6=3/6-1/6=2/6=1/3だということになります。
答えは1/3です。







最後に、ちょっと難しい問題にチャレンジしてみましょう。

例題3:左の図の、正六角形の内部にある斜線部の面積の和は、外側の正例題3六角形の面積の何倍ですか。









考え方・解き方
この問題だと、もう一つ、『底辺が等しいとき、面積は等しい』を使います。
例題3の2左図の三角形、アとイで、底辺は等しい長さです。
また、どちらの三角形の高さも、赤線で示した部分が高さであり、共通です。
三角形の面積を求める式、「底辺×高さ÷2」のうち、底辺が等しく、高さが共通だから、結局、2つの三角形アとイの面積は等しくなります。

まず、問題の斜線部のうち、大きいほうの三角形の大きさを考えます。
例題3の3
左図の、赤線で囲んだ二等辺三角形の大きさは外側の正三角形の大きさの1/6でした。

そして、「底辺が等しいと面積も等しい」ので、赤の斜線部の面積は、その二等辺三角形の面積の1/3になります。
つまり、1/6の1/3、つまり、正六角形の1/18です。・・・(1)

次に、中にある小さい正三角形の大きさを考えます。
例題3の4
左図の赤の斜線部の面積は、青の斜線部の面積と同じです(「底辺が等しいと面積も等しい」ので)。
つまり、赤の斜線部は、外側の正六角形の1/18です。



さらに、左図でわかるように、小さい正三角形の面積は、二等辺三角形の面積の1/3例題3の5になります。

1/18の1/3だから、外側の正六角形の1/54です。・・・(2)






(1)より、例題3中の斜線部のうち、大きい正三角形1個の面積は外側の正六角形の1/18。
その正三角形が6個あるから、1/18×6=1/3・・・(3)

(2)より、中の斜線部のうち、小さい正三角形1個の面積は外側の正六角形の1/54。
その正三角形が6個あるから、1/54×6=1/9・・・(4)

(3)(4)より、1/3+1/9=3/9+1/9=4/9。

答えは、4/9です。




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social studies 中大兄皇子(天智天皇)


古墳時代の末期、592年〜710年、奈良県の飛鳥(あすか)地方(現在の明日香村)に都が置かれていた時代が飛鳥時代です。

そして、飛鳥時代中期に政治の大改革をおこなったのが、中大兄皇子(なかのおおえのおうじ:天智天皇)です。

奈良時代の歴史書『日本書紀』などによると、645年、中大兄皇子は中臣鎌足(なかとみのかまたり)らと協力して蘇我蝦夷(そがのえみし)・蘇我入鹿(そがのいるか)を倒しました(乙巳の変(いっし(おっし)のへん))。

中大兄皇子と中臣鎌足は、日本最初の年号を「大化」と決め、大化の改新の詔(みことのり)によって、豪族の持っていた土地と人民を国のものとする公地公民、地方を国と郡と里に分けて国司・郡司・里長を置く国郡里制、戸籍を作って国民に口分田を与えて耕作させる班田収受法(はんでんしゅうじゅのほう)、米と布と地方の特産物を税として納めさせる租・庸・調(そ・よう・ちょう)を始めました。

また、百済を助けるために朝鮮に出兵しますが、唐と新羅の連合軍と戦って白村江(はくすきのえ(はくそんこう))の戦いで敗北します。

天智天皇(てんじ(てんち)てんのう)となった後、最初の全国的な戸籍である庚午年籍(こうごねんじゃく)を作り、最初の律令である近江令(おうみりょう)を制定しました。


中大兄皇子(なかのおおえのおうじ:天智天皇)の生涯(年表)

618 隋を倒してが建国

626 誕生
父は舒明(じょめい)天皇、母はのちの皇極(こうぎょく)天皇(のち再び即位して斉明(さいめい)天皇)の第二皇子として生まれる。

641 舒明天皇が崩御

642 皇極天皇が即位

645 皇極天皇の眼前で中臣鎌足らと蘇我入鹿を暗殺、蘇我蝦夷自殺(乙巳の変
舒明天皇の弟である孝徳(こうとく)天皇が即位、中大兄皇子は皇太子

646 大化改新の詔(たいかのかいしんのみことのり)

652 班田収授法(はんでんしゅじゅのほう)

655 皇極天皇が斉明天皇として再び即位

661 百済を救うために朝鮮へ出兵、同行した斉明天皇が筑紫国で崩御

663 白村江の戦いで唐・新羅の連合軍に敗北

667 都を飛鳥から近江大津宮に移す

668 天智天皇として即位

669 中臣鎌足死去

670 庚午年籍をつくる

671 近江令をつくる
天智天皇崩御


天智天皇崩御の後

672 天智天皇の子の大友皇子(弘文天皇)と、天智天皇の弟とされる大海人皇子(おおあまのみこ)が皇位をめぐって戦う(壬申の乱(じんしんのらん)
勝った大海人皇子が天武天皇として即位


中臣鎌足・大化の改新・白村江の戦い・壬申の乱

中臣鎌足(614〜669年:中臣鎌子・藤原鎌足)
朝廷の祭祀(さいし)をつかさどっていた豪族の中臣氏に生まれました。
鎌足の次男が藤原氏繁栄の基礎を築いた藤原不比等、娘2人は天武天皇の夫人です。

遣隋使の一員で中国で学んだ僧旻(みん)に、若い頃、蘇我入鹿とともに易学を学びました。

家業である祭祀の職を継がずに隠棲し、当時、天皇家をしのぐ勢いがあった蘇我氏を打倒する策を練りました。
軽皇子(かるのみこ:のちの孝徳天皇)に接近後、蘇我倉山田石川麻呂を仲間に引き入れ、中大兄皇子を反蘇我氏の盟主にあおぎます。

645年、皇極天皇が臨席した三韓(百済・高句麗・新羅)の使者を迎える儀式の場で、中大兄皇子らと謀って蘇我入鹿を暗殺し、入鹿の父、蘇我蝦夷を自殺させて蘇我氏の勢力を一掃します(乙巳の変:いっしのへん)。

軽皇子が孝徳天皇となって即位し、中大兄皇子は皇太子、中臣鎌足は内臣(うちつおみ・ないしん)となって、年号『大化』を定め、公地公民の詔を出して、新しい政治をおしすすめました。

669年、死期の迫った鎌足に、天智天皇は朝廷での最高位である大織冠(だいしょくかん・だいしきかん)の位を授け、藤原の姓を与えました。


大化の改新
狭い意味では、645年に蘇我氏を滅ぼした乙巳の変から元号の大化が終わる650年までにおこなわれた改革を大化の改新といいます。
広い意味では、645年の乙巳の変に始まり、飛鳥時代の孝徳天皇、斉明天皇、天智天皇、天武天皇、持統天皇の治世におこなわれたさまざまな改革を大化の改新とよびます。

646年(大化2年)、大化の改新の詔(みことのり:天皇による宣言)によって、その後の政治の大方針が決定しました。

1、それまで豪族が私有していた土地(田荘:たどころ)と人民(部民:べのたみ)を没収して天皇の土地、人民とする。・・・(公地公民

2、都を決めて、従来の国(くに)・郡(こおり)・県(あがた、こおり)などを国と郡に整備して、政府が役人を任命する。・・・(国・郡・里制

3、戸籍と計帳を作り、天皇の土地である公地を、天皇の民である公民に貸し与えることにする。・・・(班田収授法

4、それまでの税と労役をやめて、耕地の面積によって税を納めさせる新しい税の仕組みにする。・・・(租・庸・調

改新の詔自体は方針の宣言に過ぎず、その後、飛鳥時代をとおして徐々に実行されていきました。


国・郡・里
701年の大宝律令(たいほうりつりょう)で完成した地方行政組織です。
全国を60ほどのに分けて、2〜20里で1、住民50戸で1としました。
国には中央の役人から国司(こくし)を任命し、郡では地方の豪族を郡司(ぐんじ)に採用し、里ではその地の有力者を里長(りちょう・さとおさ)としました。


班田収授法
701年の大宝律令によって実際におこなわれるようになりました。
6年ごとに戸籍を作成し、それによって班田を貸し与えました(六年一班)。
6歳以上の男子に2段(約22アール)、女子に男子の2/3の口分田を貸与し、耕作を認めました。死ぬと国に返す仕組みです。
口分田以外に、身分や職による位田、職田などがありました。


租・庸・調
唐の税制をわが国の実情に合うように修正した税の仕組みです。

耕地の面積に応じて課された税で、田一段につきを二束二把(収穫の約3%)納めました。
種もみとして百姓に貸した利子(出挙:すいこ)が地方の国・郡の財源になりました。

本来、庸とは成人男子が1年間に10日間労役を提供する義務をいいましたが、労役にかえてを2丈6尺納めました。土地にかかる税ではなくて、人にかかる税です。米や塩などで徴収されることもありました。
中央政府の費用にあてられました。
調
各地方の特産物(絹・綿・魚介類・鉄など)を納めました。男子だけが負担した、人にかかる税です。
庸と一緒に都に運ばれて、都の役人の経費にあてられました。


白村江(はくすきのえ・はくそんこう)の戦い
高句麗(こうくり)・新羅(しらぎ)・百済(くだら)の三国が鼎立していた朝鮮で、新羅と同盟を結んで朝鮮の統一に乗り出し、百済は日本に救援を求めました。
中大兄皇子は、斉明天皇とともに朝鮮への出兵を企てます。このとき、斉明天皇は筑紫の国で病死してしまいます。

660年、百済が滅ぼされた後、661年、百済を復興するために再び倭(日本)の軍隊は朝鮮に出兵しました。
663年、朝鮮の白村江(はくすきのえ・はくそんこう)で、唐・新羅の連合軍と倭・百済の連合軍が激突します。
この戦いで大敗し、倭の軍は朝鮮から撤退します。

のち、高句麗も滅亡し、朝鮮は新羅によって統一されました。

即位して天智天皇となった中大兄皇子は、唐と新羅の攻撃に備えて九州に水城(みずき)とよばれる城を築き、全国から兵を徴集して防人(さきもり)として九州を守らせました。
防衛のため、都も、近江の国の大津に移しました。


壬申の乱

天智天皇は672年に亡くなります。
天智天皇の子、大友皇子(おおとものみこ)が弘文天皇となりました。

ところが、天智天皇の弟であった大海人皇子(おおあまのみこ)が、吉野から出て美濃の国へ至り、東国の兵を集めて挙兵します。

豪族の中には、白村江の戦いの敗北や、近江への遷都、急激な改革などに対して不満を持ち、大海人皇子に味方する者も多く、戦いは大海人皇子の軍の勝利に終わります。

673年、大海人皇子は都を近江から飛鳥にもどし、飛鳥浄御原宮(あすかのきよみはらのみや)で即位して天武天皇となります。




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science アンモニアの噴水実験


アンモニアは窒素水素が結びついてできた気体です(化学式はNH3、窒素原子1個と水素原子3個でできている)。

濃いアンモニア水を加熱するか、水酸化カルシウム塩化アンモニウムを混ぜたものを加熱して、気体のアンモニアを発生させることができます。

アンモニアの性質としては、空気より軽い(空気の重さの0.6倍)、水に非常に溶けやすい(0°C、1気圧で水1cm3に1176cm3のアンモニアが溶ける)、刺激臭がある、有毒である、などがあります。

また、アンモニアが水にとけたものをアンモニア水(NH4OH)といい、アルカリ性を示します。


アンモニアの噴水実験

アンモニアの性質を確かめる興味深い実験があります。

濃いアンモニア水を加熱するか、塩化アンモニウムと水酸化カルシウムの混合物を加熱して発生させたアンモニアを、上方置換乾いた丸底フラスコに集めてゴム栓でフタをしておきます。

丸底フラスコの口を下にして、フタにしていたゴム栓をとり、水を入れたスポイトとガラス管をさしたゴム栓に交換して、スタンドに立てます。
アンモニアの噴水実験ガラス管の先は、水槽のフェノールフタレインを加えた水に入れておきます。

*乾いた丸底フラスコを使うのは、フラスコ内に水分があるとアンモニアが水に溶けてしまうからです。

*丸底フラスコの口を下に向けるのは、アンモニアは空気より軽いので口を下にしているとフラスコから外には逃げないからです。

*水にフェノールフタレインを加えておくのは、アンモニアが水に溶けてアンモニア水になったときの水溶液の性質を調べるためです(フェノールフタレイン溶液は、酸性中性のとき無色アルカリ性のとき赤色になります)。


スポイトをおしてフラスコ内にを入れます。
噴水実験の2アンモニアは非常に水に溶けやすいので、フラスコ内にあったアンモニアは、スポイトからおし出された水に溶けてしまいます(水がフラスコ内のアンモニアを吸いとってしまった状態になります)。

そうすると、それまでアンモニアで満たされていたフラスコ内は、何もなくなった状態、つまり、ほぼ真空に近い状態となります。

これは、ストローで飲み物を吸うときと同じ状態になったということです。


フラスコ内の気圧はほぼゼロで、水槽のフェノールフタレインを加えた水には気圧が加わっていますから、フェノールフタレインを加えた水は、噴水のようになって、勢いよく丸底フラスコの中に吸い込まれていきます。
噴水実験の3
ところで、気体のアンモニアは水に溶けると(アンモニア水になると)アルカリ性です。
それまで無色であったフェノールフタレイン溶液は、丸底フラスコの中で瞬時に気体のアンモニアを吸い込んでアルカリ性に変わるので、赤色の噴水になって吸い込まれていきます。

このとき、赤色に変わったフェノールフタレイン溶液が丸底フラスコ内を完全に満たすことはありません。
アンモニアを発生させて上方置換で集めたときやゴム栓を取りかえたとき、どうしても空気がフラスコ内にまぎれこんでしまいますし、水があると表面から水蒸気も発生しています。
それらがフラスコの上部に残って、噴水は止まります。


この実験で確かめられること

1、アンモニアは空気より軽い
2、アンモニアは水に非常によく溶ける
3、アンモニアは水に溶けるとアルカリ性である



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