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  • 2022.10.14 Friday
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social studies 遺跡(岩宿遺跡・大森貝塚・三内丸山遺跡・登呂遺跡・吉野ヶ里遺跡)


古い時代の遺物(土器・石器など)や遺構(住居跡など)が発見された土地のことを遺跡といいます。

この稿では、旧石器時代(先土器時代)、縄文時代弥生時代の遺跡をとりあげます。


社会科でよく出題される遺跡は次のものです。

東北地方

三内丸山(さんないまるやま)遺跡(青森県・青森市)
大湯(おおゆ)環状列石(秋田県・鹿角市)

関東地方

岩宿(いわじゅく)遺跡(群馬県・みどり市)
大森貝塚(東京都・品川区)

中部地方

尖石(とがりいし)遺跡(長野県・茅野市) 
登呂(とろ)遺跡(静岡県・静岡市)

近畿地方

唐古(からこ)遺跡(奈良県・田原本町)
纒向(まきむく)遺跡(奈良県・桜井市)

九州地方

板付(いたづけ)遺跡(福岡県・福岡市)
吉野ヶ里(よしのがり)遺跡(佐賀県・神埼市)
原の辻(はるのつじ)遺跡(長崎県・壱岐市)

遺跡
















遺跡を時代順に並べると次のようになります。

旧石器時代(先土器時代)の遺跡…数十万年前〜1万年前

岩宿(いわじゅく)遺跡(群馬県・みどり市)


縄文時代の遺跡…1万年前〜紀元前4世紀

三内丸山(さんないまるやま)遺跡(青森県・青森市)
大湯(おおゆ)環状列石(秋田県・鹿角市)
大森貝塚(東京都・品川区)
尖石(とがりいし)遺跡(長野県・茅野市) 


弥生時代の遺跡…紀元前4世紀〜紀元3世紀

登呂(とろ)遺跡(静岡県・静岡市)
唐古(からこ)遺跡(奈良県・田原本町)
纒向(まきむく)遺跡(奈良県・桜井市)
板付(いたづけ)遺跡(福岡県・福岡市)
吉野ヶ里(よしのがり)遺跡(佐賀県・神埼市)
原の辻(はるのつじ)遺跡(長崎県・壱岐市)


おもな遺跡について、さらに細かく見ていきましょう。

旧石器時代(先土器時代)の遺跡…数十万年前〜1万年前
大陸と地続きで、旧石器(=打製石器)を用いていた時代です。

岩宿(いわじゅく)遺跡(群馬県・みどり市)
1946年、地元の青年相沢忠洋(あいざわただひろ)によって発見されました。
相沢忠洋は関東ローム層から打製石器を発掘し、日本にも旧石器時代があったことが初めて明らかにされました。
2001年には約17,000年前の石器約500点が発掘されました。


縄文時代の遺跡…1万年前〜紀元前4世紀
人々は台地にむらをつくり、竪穴式住居に住み、狩りや漁で生活をしていた時代です。

三内丸山(さんないまるやま)遺跡(青森県・青森市)
今から約5,500年前〜4,000年前(縄文前期〜中期)の、日本最大級の縄文集落跡。
1992年からの発掘調査で、竪穴住居跡、墓、掘立柱建物跡、貯蔵穴、道路跡などが見つかりました。
多数の縄文土器、石器、土偶、装身具、木器、骨角器も発掘され、クリが栽培されていたこともわかりました。
また、翡翠(ひすい)・黒曜石などが出土したことから、遠方の集落と交易があったと推定されています。

大湯(おおゆ)環状列石(秋田県・鹿角市)
縄文時代後期の遺跡。中心に2つの環状列石(ストーンサークル)があり、そのまわりを多くの貯蔵穴や柱穴が囲んでいます。

大森貝塚(東京都・品川区)
縄文後期から晩期にかけての遺跡です。
1877年、アメリカの動物学者E・S・モース博士が汽車の窓から貝がらの堆積を発見し、わが国で初めて発掘調査をおこないました。
日本の考古学の出発点となった発掘でした。
貝がら、土器、土偶、石斧、石鏃、人骨、鹿やクジラの骨などが出土しています。

尖石(とがりいし)遺跡(長野県・茅野市) 
八ヶ岳西山麓にある、縄文時代中期の代表的な集落遺跡です。1940年からの発掘で、竪穴住居、石鏃(せきぞく)、石斧(せきふ)、土偶などが出土しています。


弥生時代の遺跡…紀元前4世紀〜紀元3世紀
稲作が始まり、金属器が使用され始めた時代です。人々は水田の近くにむらをつくり、竪穴式住居に住み、高床倉庫に稲穂を貯蔵しました。

登呂(とろ)遺跡(静岡県・静岡市)
1943年に発見された、弥生時代後期(2〜3世紀)の遺跡です。
12軒の住居、2棟の高床倉庫、板で区画された水田、木器・石器・土器などが発掘されました。
弥生時代のむらがそのまま残った貴重な遺跡です。

唐古(からこ)遺跡(奈良県・田原本町)
弥生時代の集落遺跡で、唐古池の底から発掘された竪穴と鍬(くわ)・杵(きね)などの木器から、弥生時代の稲作の詳しい様子が判明しました。

纒向(まきむく)遺跡(奈良県・桜井市)
弥生時代末期の大規模集落遺跡です。邪馬台国が近畿にあったという説の有力な根拠とされています。箸墓(はしはか)古墳は卑弥呼の墓だという学説も主張されています。

板付(いたづけ)遺跡(福岡県・福岡市)
縄文時代晩期から弥生時代後期にかけての遺跡です。佐賀県の菜畑(なばたけ)遺跡とならぶ日本最古の水稲耕作跡であり、福岡県の江辻(えつじ)遺跡に次いで古い環濠(かんごう:周囲に堀をめぐらせた)集落です。

吉野ヶ里(よしのがり)遺跡(佐賀県・神埼市)
日本最大の広さをもつ、弥生前期〜後期にかけての環濠集落の遺跡です。
内濠や城柵(土塁)、楼観(物見櫓)などから、弥生時代の「くに」の中心的な集落のようすがわかってきました。
有柄銅剣やガラス製管玉なども発掘されています。

原の辻(はるのつじ)遺跡(長崎県・壱岐市)
長崎県の壱岐島にある弥生時代の遺跡です。日本最古の船着き場の跡や中国の貨幣、日本で唯一発見された人面石などが発掘されました。『魏志』倭人伝に記された「一支国(いきこく)」の王都だといわれています。



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math 平面と垂直な辺


どんなときに、平面と直線は垂直だといえるのでしょうか?

平面と垂直











平面と垂直の2左の図のように、一つの方向から見たら平面Pと直線Lが垂直であるように見えたとしても、別の方向から見たら垂直ではないとき、「平面と直線は垂直である」とは言えません。

そこで、数学では、『平面Pと直線Lとの交点をOとするとき、点Oを通る平面上の2本の直線m、nとLが垂直であれば、平面Pと直線Lは垂直である』とします。
平面と垂直の3
左の図で、直線L⊥直線m、直線L⊥直線mのとき、直線L⊥平面Pなのです。

これは、空間図形ではとても重要な定理です。

やさしい問題では「直線L⊥直線m、直線L⊥直線mのとき、直線L⊥平面P」 をことさら意識しないで問題を解いても大丈夫ですが、レベルの高い問題だと、知識として知っておかないと解けないことがあります。


例題:図の直方体ABCD-EFGHについて、面ABCDと垂直な辺をすべていえ。
直方体
(解答)
長方形の辺だからAB⊥BF、BC⊥BF
だから、面ABCD⊥BF。

同様に考えて、面ABCDと垂直な辺はCG、DH、AE。

答えは、辺BF、辺CG、辺DH、辺AEです。


ところで、この例題は小学校でも出てくる簡単な問題なのですが、「面ABCDと垂直であるのは辺AB、BC、CD、DAである」とまちがえる人がよくいます。

もう一度、図で面ABCDと垂直になっている辺を見てください。
テーブル
これって、何かの形に似ていませんか?

私には、テーブルに見えます。

だから、面に垂直な辺をなかなか見つけられない人には、「テーブルが、面に垂直な辺なんだよ」、「面をテーブルとしたとき、テーブルの脚にあたる辺が、面に垂直な辺なんだ」と、見つけ方を指示しています。


(補足)

重要事項の1

空間の2直線の位置関係は、「平行」・「交わる」・「ねじれの位置」の3つです。
そして、「平行」と「交わる」のとき、2本の直線は同一平面上にあります。
ねじれの位置」は、2つの直線が同一平面上にないとき、です。

「垂直」は、「交わる」の一種であり、特に直角に交わるときを「垂直」といいます。


重要事項の2

「交わる」かどうか、「垂直」であるかどうかは、図で実際に交わっているかどうかだけで判断してはいけません。

平面と垂直の補足
左の図で、辺BEと面P、辺CFと平面Pは、見た目では交わっていませんが、数学では「垂直」です。

つまり、「交わる」、「垂直」のうちには、延長すると「交わる」もの、延長すると「垂直」に交わるものもふくみます。

問題を解くときによく見落とすので、注意が必要です。







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math 斜線部分の面積の求め方


この稿を読むときの注意点:
算数・数学の勉強をするときは、『悩んで悩んで悩みぬかないと力はつきません』。

すぐに答えを見ないで、問題の部分で画面のスクロールを止めて、自分でどう解くかを考えたあと、
ページをアップして解き方を見るようにしてください。


面積の問題でよく出題されるのが斜線部分の面積を求める問題です。

基本例題:斜線部の面積を求めなさい。
斜線部の面積基本例題
斜線部の面積の求め方には2通りの方法があります。
(1)分解して別々に求めてたす
(2)全体から白い部分をひく
最初に問題の図をしっかりながめて、どちらの方法で解くかを決断します。


(解き方)

(1)分解して別々に求めてたす
基本例題の2
左の図のAの部分の面積は、4×6÷2=12
Bの部分の面積は3×10÷2=15
だから斜線部の面積は12+15=27





(2)全体から白い部分をひく
基本例題の3
全体の面積は6×10=60
左の図のAの部分の面積は、6×6÷2=18
Bの部分の面積は3×10÷2=15
だから、斜線部の面積は全体から白い部分をひいて、60-(18+15)=27



「たす」の代表的な問題:斜線部の面積を求めなさい。
たす問題









(解き方)
たす問題の2Aの部分の面積は2×5÷2=5
Bの部分の面積は4×6÷2=12

斜線部分の面積は5+12=17








「ひく」の代表的な問題(1):
半円Bは、半円Aを点Cを中心に60°矢印の方向に回転したものです。斜線部の面積を求めなさい。
ひく問題











(解き方)
全体を求めて、白い部分を求めて、全体から白い部分をひくことにします。

ところで、この問題には半円(と中心角60°のおうぎ形)が出てきますが、の仲間が出てきたときに大事なことは、あわててすぐに計算をしないことです。

全体は次の2つの部分、半円とおうぎ形からできています。
ひく問題の2









白い部分は次の半円です。
ひく問題の3






半円+おうぎ形−半円
を求めたらよいことになりますが、
半円+おうぎ形−半円=おうぎ形
つまり、この問題の斜線部分の面積は、半径20cmで中心角60°のおうぎ形の面積と等しいことがわかります。

よって、20×20×3.14×(60/360)=628/3です。


「ひく」の代表的な問題(2):図は、辺の長さが3cm、4cm、5cmの直角三角形を、点Aを中心に60°回転したものです。斜線部の面積を求めなさい。
ひく問題3












(解き方)
やはり、全体を求めて、白い部分を求めて、全体から白い部分をひく問題です。
さらに、の仲間のおうぎ形が出てきますので、あわててすぐに計算をしないで、じっくりと検討します。

全体は次の2つの図形からできています。

ひく問題3の2三角形と、半径5cmのおうぎ形です。











ひく白い部分は次の2つの図形です。
ひく問題3の3
三角形と、半径4cmのおうぎ形です。








ということは、同じ三角形をひくことで三角形はなくなってしまうので、結局、斜線部の面積は、半径5cmで中心角が60°のおうぎ形から、半径4cmで中心角が60°のおうぎ形をひいたら求められることがわかります。

よって、斜線部の面積は、
5×5×3.14×(60/360)-4×4×3.14×(60/360)
=(25-16)×3.14×(1/6)
=9×3.14×(1/6)
=4.71

円やおうぎ形の問題では、すぐに計算をしてはいけません。
この問題もそうですが、きちんと式を書いて、分配法則などを活用して、できるだけ計算式を簡単にしてから解くくせをつけておきましょう。




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Japanese 故事成語(4) 推敲(すいこう)


推敲(すいこう)の意味


文章を書くとき、あるいは書いた後、さらに良い表現にならないか、あれこれ考えて文を練り直すこと。


故事成語のもとになった出来事・出典

中国で漢詩が全盛を迎えたのは唐(618年〜690年、705年〜907年)の時代です。詩人では、杜甫(とほ)、李白(りはく)、白居易(はくきょい)などが有名です。

唐の詩人の逸話をまとめた書物が、宋(960年〜1279年)の時代に出版された『唐詩紀事(とうしきじ)』です。
故事成語「推敲」のもとになった話は、その『唐詩紀事』にのっています。

少しむずかしい文章なので、漢文の前に、だいたいの意味を書いておきます。


「賈島(かとう)という若い詩人が、科挙(役人になるための試験)を受験するために都の長安にやってきます。当時の乗り物であるロバに乗って、詩を口ずさんでいて『僧は推(お)す月下(げっか)の門』という詩句が頭にうかんできました。」

島赴挙至京、騎驢賦詩、得僧推月下門之句。
島(賈島)、挙(科挙)に赴きて京(けい:都の長安)に至り、驢(ろ=ロバ)に騎(の)りて詩を賦し、『僧は推(お)す月下の門』の句を得たり。



「賈島は、『門を推(お)す』の句をやめて、『門を敲(たた)く』のほうがよいのではないか、「敲(たた)く」に変えようかと思いました。ロバに乗ったまま、手で門をおしたりたたいたりの動作をしながら考えましたが、どちらがよいかなかなか決まりません。」

欲改推作敲。引手作推敲之勢、未決。
推(すい)を改めて、敲(こう)と作(な)さんと欲(ほっ)す。手を引きて推敲(すいこう)の勢いを作(な)すも、未(いま)だ決せず。



「どちらの文句がよいかを考えることに夢中になっていたので、気がつかないで都の長官である韓愈(かんゆ)の行列にロバに乗ったまま突っ込んでしまいました(身分の差がうるさい当時、偉い人の行列のじゃまをすることは大変な罪でした)。(護衛の役人に捕らえられた賈島は)あわてて無礼なおこないをした理由を詳しく説明しました。」

不覚衝大尹韓愈。乃具言。
覚えず大尹(だいいん)韓愈(かんゆ)に衝(あた)る。乃(すなわ)ち具(つぶ)さに言う。



「当時の有名な詩人でもあった韓愈は、賈島の話を聞いて、罪をとがめないで、『推(お)すより、敲(たた)くのほうが、月明かりの下で門をたたく音が感じられて余情があってよいのではないか』と助言しました。そして、並んで進みながら、漢詩についてあれこれ楽しく話し合いました。」

愈曰、敲字佳矣。遂並轡論詩。
愈(ゆ)曰(いわく)く、敲の字佳(よ)し、と。遂(つい)に轡(くつわ)を並べて詩を論ず。



上記の故事から、一度書こうとした文章を、「こう書き換えたほうがよいのではないか、いや、こっちの表現のほうがいいかもしれない」とあれこれ練り直すことを『推敲』というようになったのです。


「推敲」を使う例

・読書作文コンクールに応募する前に、何度も推敲を重ねた。

・書いたあと、何度も推敲しないと良い文章にはならないよ。


似た語との区別

校正(こうせい)

校正とは、手書きの原稿と、印刷用に活字に組んだ原稿とをくらべ合わせて、文字の誤りなどを正すことを言います。

誤字や誤植を見つけることなどが目的で、原文の語句自体の変更をするわけではありません。
そこが、どの語句がよいか、あれこれ文章を練り直す「推敲」と違います。

なお、「校正」は漢字の書き取りの問題でよく出題されます。


文章の見直し

「自分の書いた文章をよく見直しなさい」と言われるときの「見直し」には、「推敲(さらによい表現ができないか文を練り直すこと)」も「校正(誤字や脱字がないかを調べること)」も、さらには内容自体の妥当性の再考慮(文章全体の内容が果たして適切かどうかを再検討すること)もふくみます。


添削(てんさく)

他人が、人の書いた文章に手を加えて直すことです。
自分の書いた文章を直すときには「添削」の語は使いません。



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lounge これは凄い、フリーソフト Everything


時折、internet上にフリーソフトの紹介記事が出ます。
「お、これは良さそう。」と思ってダウンロードして、本当に役にたった例はまず皆無です。

ところが昨日、『これは入れとけってフリーソフト』なる記事に遭遇。
ソフトの紹介だけでなく、解説が親切なのでついつい読んでしまいました。

そこに出ていたのが、
Everything PC内を一瞬検索 (解説文)シンプルかつ高速なファイル検索ソフト。」
です。


私の仕事用のパソコンのマイドキュメントには10年以上にわたって蓄積したありとあらゆるファイルが収まっています。
ですから、必要なファイルを探し出すのも大変です。

ウインドウズ付属のファイル検索画面を開いて探すのですが、まずまともに見つけられたためしがありません。

グーグル・デスクトップがファイル検索に便利だと仄聞して、ダウンロードして試してみたのですが、まったく役に立ちませんでした。

今回もまた「あかんやろ」と疑いながら、期待せずにダウンロードしてみました(詐欺に会う人は何度も騙されます)。


これは凄い!

Everythingのインストールが完了すると、メイン画面が開きます。

これ以上ないくらいにシンプルな画面です。
上部に検索窓が1つと、その下にファイル・ビューの画面のみ。
それだけです。

何日か前、教材として作った年表のファイルを探し出すのに長時間苦労したことを思い出して、検索窓に『年表』と入れてエンター・キーを押してみました。

瞬時に(本当に一瞬です)年表のファイルだけがファイル・ビューに現われました。

「おお!」です。

今まで、行方不明のファイルを探すのに費やしていた時間はなんだったんでしょう。

さらに、ファイル名にマウスポインターをあててopenをクリックすると、探していたファイルそのものを即時に開くことができました。

目的のファイルまで、本当に「一瞬」で到着できるのです。


例えば、何年か前のチラシの原稿を見る必要が生じたとします。
私のマイドキュメントには何年分もの募集チラシの原稿が保存されています。
今までだと、「マイドキュメント」→「塾の業務」→「募集関係」→「チラシ」→「2010年チラシ」→「1月作成分」→「1月31日折込分」→「チラシの表(おもて)」と、これだけの経路を経てやっとお目当ての原稿にたどり着いていました。
どのディレクトリのどのフォルダーに入れたかを覚えているという幸運に恵まれていた場合でさえ、これだけの行程を経ていたのです。

Everythingだと、検索窓に「チラシ」と打ち込むとワンクリックでずらっと全チラシが出てきます。

私の場合、チラシの原稿の名前の先頭に「2010年」などと配布年を入れていたので、チラシが年次毎にずらっと並んでくれています。
(年次をファイル名に入れていなくても、ファイル・ビューに、ファイルの種類のアイコン・ファイルのサイズ・作成年月日の順に並んでいるので、見つけたいファイルを瞬時に見つけることができます)。

今までの苦労はなんだったんだろうかと、ため息さえ出てきました。

このソフトがあれば、もはやフォルダーすら(マイドキュメントさえも)不要です。


幸せのあまりうろたえる

すぐに同じ部屋にいたS氏やT氏やU氏に教えました。

私の声は興奮のあまりうわずっていました。

すぐにダウンロードしたU氏も、ためして「うお!」

すごい勢いでデスクトップにショートカットキーを作っていました(私もそうしました)。


Everything』、これは革命的に「いい」ソフトです。

皆様に、声を大にしておすすめしたいです。


GDP世界2位奪還の武器に

私たちは、おそらく一生のうちで1ヶ月分くらいは、貴重な時間を、パソコン内のどこにファイルをしまったかを探すのに使っているのではないでしょうか。

Everythingをパソコンに入れることで無駄な時間を節約することができれば、わが国のGDPの1%くらいは上昇するかもしれません。

もう一度中国を抜き返すのも夢ではないかも(中国の人にはこのソフトのことは内緒にしておきましょう)。



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English 高校入試 重要動詞 keep


重要動詞の(3)は、keepです。

1、おもな意味・もとの意味を1つ確実に覚えておいて、それから類推する

多くの意味がある単語は、まず、その単語のもともとの意味(=辞書で最初にのっている訳)を1つ、確実に覚えておき、それから推測して文中での意味を判断します。

keepのもとの意味は『(ある状態を)保つ』・『(ある状態を)維持する』です。

2、よく出てくる表現に気づいたら、1つずつ訳語を増やしていく

3、重要な連語をしっかりと暗記する

英単語は、それだけを単独で覚えるのではなくて、一つのまとまりとしての語句を、まとまりのままで覚えておくと、忘れないし、誤った使い方をしなくてすみます。


keep(原形keep-過去形kept-過去分詞kept、現在分詞keeping)


中学生だったらこれくらい知っていたら充分と思われる範囲で、英語で最も訳語が多い単語の一つであるkeepの、おもな訳とよく出る英文、連語をまとめました。


基本の意味・・・(ある状態を)保つ、(ある状態を)維持する


1、(ある状態に)保つ・〜しておく
Keep your room clean.(部屋をきれいにしておきなさい。)

2、持ち続ける
He always keeps his pen in his pocket.(彼はいつもポケットにペンを入れて持っている。)

3、取っておく
Please keep this seat for me.(この席を取っておいてください。)

4、(日記などを)継続する
I keep a diary.(私は日記を書き続けます。)

5、し続ける
She kept crying for hours.(彼女は何時間も泣き続けた。)


本来の「保つ」・「維持する」と訳し方が違うkeep

6、(約束などを)守る
I'll keep a promise.(私は約束を守るつもりだ。)

7、(ある場所を)守る
He kept the goal.(彼はゴールを守った。)→goal keeper(ゴール・キーパー)

8、(店を)経営する・(家事を)切り盛りする
She keeps a shop.(彼女は店を経営する。)→shop keeper(店主)
house keeper(家政婦さん)

9、(動物を)飼う
It is difficult to keep wild birds.(野鳥を飼うのはむずかしい。)


keepをふくむおもな連語

keep A from B(AがBしないようにする)
The snow kept us from starting.(雪で出発できなかった。)

keep on 〜ing(〜し続ける)
I kept on singing all night.(私は一晩中歌い続けた。)

keep out(立ち入り禁止(掲示))





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math 中学受験の難問 数列


中学受験の問題のうち、難問をとりあげます。

今回は数列の問題です。

例題:次のように、ある規則にしたがって左から順に数字が並んでいます。
第1段目 5,13,21,29,37,45,53,61,69,…
第2段目 5,6,8,11,15,20,26,33,41,…
第3段目 10,11,12,28,29,30,46,47,48,…
(1)第1段目の1番目から10番目までの数をたすといくらになりますか。
(2)第2段目の35番目の数はいくらですか。
(3)300は第3段目の何番目の数ですか。


(近畿大学附属中学校21年後期入試問題)

(解き方)
第1段目 5,13,21,29,37,45,53,61,69,…
(1)第1段目の1番目から10番目までの数をたすといくらになりますか。



代表的な数列と、その解き方を知っておこう。

等差数列で何番目かの数を求めるとき

5,13,21,29,37,…の数列は、8ずつ増えています。このような数列を、差が8で等しいので、等差数列といいます。

最初の数で、bずつ増える等差数列では、n番目の数は
a+b×(n-1)
の式で求められます。

例えば、5,13,21,29,37,…の数列の100番目の数は何かというと、
5+8×(100-1)となります。

そうなる理由ですが、植木算の一種と考えたらわかります。

8ずつ増えていますが、増える個数は、2番目の数で1回、3番目の数で2回、4番目の数で3回と、常に1少ない個数です。

最初が5で、n番目だとそれより1だけ少ない(n-1)だけ8ずつ増えるので、5,13,21,29,37,…の数列だと、n番目の数は5+8×(n-1)です。

等差数列では、最初の数で、bずつ増えるとき、n番目の数は
a+b×(n-1)
です。


等差数列で、数列の和を求めるとき

例えば5,13,21,29,37,45,53,61,69,77の和を求めるとき、最もやさしい方法は、同じ数列とは逆に並べたものを、もとの数列にたす方法です。

5,13,21,29,37,45,53,61,69,77の下に、逆の順にした
77,69,61,53,45,37,29,21,13,5を書きます。
上と下の、(5+77),(13+69),…の和はすべて82です。

和が82の組が10組あるので、82×10、
これは同じものの和を2倍したものだから、実際の5,13,21,29,37,45,53,61,69,77の和はその半分です。

つまり、82×10÷2=410だということになります。

まとめると、最初がabずつ増える数列の、n番目の数までのは(
a,a+b,a+b×2,…,a+b×(n-1)の和は)、
最初の数のaに最後の数のa+b×(n-1)をたしたものであるa+a+b×(n-1)n倍2でわると求めることができるということです。

だから、5,13,21,29,37,45,53,61,69,77の10個の数列の和は、
(5+7710÷2=410です。


次の問題です。

第2段目 5,6,8,11,15,20,26,33,41,…
(2)第2段目の35番目の数はいくらですか。


代表的な数列と、その解き方を知っておこう。

決まった数ずつ増える数列で何番目かの数を求めるとき

5,6,8,11,15,20,26,33,41,…の数列は、
5,5+1,6+2,8+3,…というふうに、前の項より1,2,3,4,…と増えている数列です。

この数列では、5,6,8,11,15,20,26,33,41,…を、
5,5+1,5+1+2,5+1+2+3,5+1+2+3+4,…と書き直します。

そうすると、n番目の数は、最初の数の5に、1+2+3+…+(n-1)を加えた数だということになります。

最初がaで、前の項より1,2,3,4,…と増えていく数列のn番目は、
a+1+2+3+…+(n-1)だということです。

だから、5,6,8,11,15,20,26,33,41,…の数列の35番目の数は、
5+(1+2+3+…+34)=
5+(1+34)×34÷2=
5+595=
600

答えは600です。


最後の問題は、数列を、規則性の考え方も使って解く問題です。

第3段目 10,11,12,28,29,30,46,47,48,…
(3)300は第3段目の何番目の数ですか。


第3段目の数列は、(10,11,12),(28,29,30),(46,47,48),…と、3個の数ごとの組になっています。

各組の最初である、10,28,46…は、10から始まって、18ずつ増える数列です。

300が何番目の組にあたるかを見つけるために、(300-10)÷18を計算します。
290÷18=16あまり2

最初の10から始まって、18を16回たした組ですから、17番目の組であることがわかります。

また、各組は、(10,11,12),(28,29,30),(46,47,48),…というふうに、(n,n+1,n+2)となっています。
290÷18=16あまり2で、あまりが2なので、17番目の組の3番目の数が300です。

3個ずつ、16組あったあとの3番目の数なので、300は、3×16+3=51番目の数だということになります。


知っておいたほうがよい、その他の数列

(1)1,4,9,16,25,36,49…

1×1,2×2,3×3,4×4,5×5,6×6,7×7,…と、同じ数をかけた数の列です(同じ数をかけることを2乗といいます)。

知っていないと、案外よく出題されます。


(2)1,3,9,27,81,…

前の数に決まった数をかける数列(例にあげたものは3をかけています)です。

小学生範囲ではあまり出題されません。


(3)1,1,2,3,5,8,13,21,…

1+1=2,1+2=3,2+3=5,3+5=8,5+8=13,8+13=21,…と、直前にある2つの数の和が並んだ数列です。

フィボナッチ数列とよばれる有名な数列です。



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Japanese 国語の読解問題を解く技術(3) 問いの文の読み取り方


『国語の読解問題を解くために必要な技術(1)』と、『国語の読解問題を解く技術(2)』の続きです。


この稿では、問いの文の読み取り方について述べます。


国語の読解問題を解くときの大前提


1、国語の正解は厳密に1つだけである。

2、国語の唯一の正解とは、問題作成者が本文を解釈して、問題作成者が正解だと決めた解答のことである。

3、国語の問題の作成者は、(1)本文と、(2)問題文の中に、よく読めば必ず正解にたどりつける根拠となる言葉を入れておかないといけない。それを「探し出す」ことが「国語の読解問題を解く」という行為のすべてである。


国語の読解問題を解くときの順序

国語の読解問題を解く人の手順は次のようになります。

(1)本文を読んで、本文の内容を100%受容する。

(2)本文の内容を無条件に受け入れたあと、問いの文を読む。

(3)問いにふくまれている言葉を手がかりに、問いの答えにあたる言葉や文を本文中から探し出す。

(4)問いが要求する条件に合致するように答えを書く。

この稿で取り上げるのは、(3)「問いにふくまれている言葉を手がかりに、問いの答えにあたる言葉や文を本文中から探し出す」、(4)「問いが要求する条件に合致するように答えを書く」、です。


例題:次の文章を読んで、あとの問いに答えなさい。


「自分はほんとうはなにものなのか?」「自分はほんとうはなにをしたいのか?」

ちょっと申し上げにくいのですが、このような問いを軽々にロにする人間が人格的に成長する可能性はあまり高くありません。少し考えてみればわかります。

「自分探しの旅」にでかける若者たちはどこへ行くでしょう? ニューヨーク、ロサンゼルスへ。あるいはパリへ、ミラノへ。あるいはバリ島やカルカッタへ。あるいはバグダツドやダルレスサラームへ。どこだっていいんです。自分のことを知っている人間がいないところなら、どこだって。自分のことを知らない人間に囲まれて、言語も宗教も生活習慣も違うところに行って暮らせば、自分がほんとうはなにものであるかわかる。たぶん、そんなふうに考えている。

でも、(1)これはずいぶん奇妙な発想法ですね。

もし、自分がなにものであるかほんとうに知リたいと思ったら、自分のことをよく知っている人たち(例えば両親とか)にロング・インタビューしてみる方がずっと有用な情報が手に入るんじゃないでしょうか? 外国の、まったく文化的バックグラウンドの違うところで、言葉もうまく通じない相手とコミュニケーションして、その結果自分がなにものであるかがよくわかるということを僕は信じません。

ですから、この「自分探しの旅」のほんとうの目的は「出会う」ことにはなく、むしろ私についてのこれまでの(2)外部評価をリセットすることにあるのではないかと思います。

 二十年も生きてくれば、どんな人でもそれなりの経験の蓄積があリ、その能力や見識について、ある程度の評価は定まってきます。この「自分探し」の方たちは、その評価に不満がある。たぶん、そうだと思います。家庭内や学校や勤め先で、その人自身の言動の積み重ねの結果与えられた「あなたはこういう人ですね」という外部評価に納得がゆかない。自分はもっと高い評価が与えられてしかるべきである。もっと敬意を示されてよいはずだし、もっと愛されてよいはずだし、もっと多くの権力や威信や財貨を享受してよいはずだ。おそらく、そう思う人たちが「自分探しの旅」に出てしまうのです。

「自分探し」というのは、自己評価と外部評価のあいだにのりこえがたい「ずれ」がある人に固有の出来事だと言うことができます。

 自己評価の方が外部評価よりも高い。人間はだいたいそうですから、そのこと自体は別に問題とするには当たりません。その場合に、自分でも納得のゆくくらいの敬意や威信を獲得するように外部評価の好転に努める、というのがふつうの人間的成長の行程であるわけです。でも、中には外部評価を全否定するという暴挙に出る人もいます。「世間のやつらはオレのことをぜんぜんわかっちゃいない」だから、「世間のやつら」が一人もいないところに行って、外部評価をいったんリセットしようというわけです。通俗的な意味で理解されている「自分探しの旅」というのは、どうもそういうもののようです。でも、(3)これはあまりうまくゆきそうもありません

 それは自分の自分に対する評価の方が、他者が自分に下す評価よりも真実である、という前提に根拠がないからです。自分のことは自分がいちばんよく知っているというのは残念ながらほんとうではありません。

(4)「ほんとうの私」というものがもしあるとすれば、それは、共同的な作業を通じて、私が「余人を以て代え難い(よじんをもってかえがたい)」機能を果たしたあとになって、事後的にまわりの人たちから追認されて、はじめてかたちをとるものです。私の唯一無二性は、私が「オレは誰がなんと言おうとユニークな人間だ」
と宣言することによってではなく、「あなたの役割は誰によっても代替できない」と他の人たちが証言してくれたことではじめて確かなものになる。

ですから、「自分探し」という行為がほんとうにありうるとしたら、それは「私自身を含むネットワークはどのような構造をもち、その中で私はどのような機能を担っているのか?」という問いのかたちをとるはずです。

内田樹「下流志向 学ばない子どもたち 働かない若者たち」より


(1)傍線(1)「これ」が指している一文を文章中から抜き出し、初めと終わりの五字を書きなさい。

(2)傍線(2)「外部評価をリセットする」ことを、別の表現で何と述べていますか。次の文の(   )に当てはまる言葉を、文章中から三字で抜き出しなさい。

外部評価を(   )する。

(3)傍線(3)「これはあまりうまくゆきそうもありません」とありますが、それはなぜですか。三十五字以内で書きなさい。

(4)傍線(4)「ほんとうの私」について、筆者の考えに合うものを次から一つ選び、記号で答えなさい。
ア 「私はユニークな人間だ」と宣言することによって確立する。
イ 他の人が、私の働きを認めることによって確かなものになる。
ウ 私を知らない人とコミュニケーションをとることで見つかる。
エ まわりの人が「ほんとうの私」を知っていることは少ない。

(5)この文章で筆者が主張しようとしていることとして正しいものを次から一つ選び、記号で答えなさい。
ア 「自分はほんとうはなにものなのか?」という問いを発して、「自分探しの旅」に出ることは、人間の成長にとって重要なことだ。
イ 「自分探し」とは、本来、言葉も文化もまったく異なる所へ旅をして、その結果自分がなにものであるかわかるということだ。
ウ 十分な外部評価を与えられていたとしても、二十年も生きてくれば「自分探しの旅」に出たくなるのが人間というものだ。
エ 「自分探し」があるとしたら、それは、自分を含むネットワークの構造とそこでの自分の働きを問うものであるはずだ。


(問いの文の読み取り方と解答)

国語の問いの文は、必ず2つの部分からできています。

(1)本文中から答えにあたる部分を探すときの手がかり・ヒントを述べた部分

(2)答えの書き方を指示した部分

よく、「問題をよく読め」と言われますが、「よく読め」の内容は以上2つのことに尽きます。


では、解いていきましょう。

(1)傍線(1)「これ」が指している一文を文章中から抜き出し、初めと終わりの五字を書きなさい。

「これ」が指している一文」が、「本文中から答えにあたる部分を探すときの手がかり・ヒント」にあたります。

まず、指示語の「これ」が指す内容を探すように指示しています。
指示語の指すものですから、通常は指示語の直前にあります(探したらよい場所まで示唆していることになります)。
さらに、答えにあたるものは「一文」です。これもヒントになります。

では、本文の該当部分を見てみましょう。

「自分探し の旅」にでかける若者たちはどこへ行くでしょう? ニューヨーク、ロサンゼルスへ。あるいはパリへ、ミラノへ。あるいはバリ島やカルカッタへ。あるいはバグダツドやダルレスサラームへ。どこだっていいんで す。自分のことを知っている人間がいないところなら、どこだって。自分のことを知らない人間に囲まれて、言語も宗教も生活習慣も違うところに行って暮らせば、自分がほんとうはなにものであるかわかる。たぶん、そんなふうに考えている。

でも、(1)これはずいぶん奇妙な発想法ですね。


さらに本文に、ヒントが明記してあります。
「これ」=「ずいぶん奇妙な発想法」です。

そうすると、答えにあたる部分は、直前の「自分のことを知らない人間に囲まれて、言語も宗教も生活習慣も違うところに行って暮らせば、自分がほんとうはなにものであるかわかる。」だとわかります。

あとは、問いのもう1つの部分、「答えの書き方を指示した部分」に従って、「一文」を(文の冒頭から最後の句点(。)までを)、「抜き出し」て(本文をそのままで)、「初めと終わりの五字」を答えとして書けばよいわけです。

正解は、初めの五字が「自分のこと」、終わりの五字が「かわかる。」です。

問いで特に注記していないときは、句読点も必ず1字として数えます。


(2)傍線(2)「外部評価をリセットする」ことを、別の表現で何と述べていますか。次の文の(   )に当てはまる言葉を、文章中から三字で抜き出しなさい。

外部評価を(   )する。


外部評価をリセットする」ことを、「別の表現で」述べている部分を「三字」で「抜き出し」なさいという部分がヒントです。

本文の傍線(2)よりうしろをざっと眺めていって、「外部評価をリセットする」という概念を言い換えている場所を探します。

そうすると、4つ後の段落に、
でも、中には外部評価を全否定するという暴挙に出る人もいます。」とあるのを見つけることができます。

答えは、
外部評価を(全否定)する。です。


(3)傍線(3)「これはあまりうまくゆきそうもありません」とありますが、それはなぜですか。三十五字以内で書きなさい。

なぜが、最大の手がかりです。
理由を述べている部分を探せばよいのです。

傍線(3)の前後を眺めると、すぐうしろに、「
それは自分の自分に対する評価の方が、他者が自分に下す評価よりも真実である、という前提に根拠がないから」と述べている文が見つかります。これが答えです。

あとは、「
三十五字以内」という条件に合致するように解答を構成したらよいのです。

それは自分の自分に対する評価の方が、他者が自分に下す評価よりも真実である、という前提に根拠がないから」をざっと数えると50字です。
指示語や、くどい言葉は国語の解答には不要ですから、それを削ると「
自分に対する評価の方が他者が下す評価よりも真実であるという前提に根拠がないから。」となって四十字、意味は変えないままに「自分の評価の方が他者の評価よりも真実であるという前提に根拠がないから。」としたら三十五字。
私なら、これを答えとして書きます。


(4)傍線(4)「ほんとうの私」について、筆者の考えに合うものを次から一つ選び、記号で答えなさい。
ア 「私はユニークな人間だ」と宣言することによって確立する。
イ 他の人が、私の働きを認めることによって確かなものになる。
ウ 私を知らない人とコミュニケーションをとることで見つかる。
エ まわりの人が「ほんとうの私」を知っていることは少ない。


ほんとうの私」について、「筆者の考えに合うもの」を、(本文を読んでみての漠然とした印象ではなくて)本文中からもう一度探します。
そうすると、傍線(4)のあとに、「
事後的にまわりの人たちから追認されて、はじめてかたちをとる」、「他の人たちが証言してくれたことではじめて確かなものになる」とあります。

だから、正解はイです。


(5)この文章で筆者が主張しようとしていることとして正しいものを次から一つ選び、記号で答えなさい。
ア 「自分はほんとうはなにものなのか?」という問いを発して、「自分探しの旅」に出ることは、人間の成長にとって重要なことだ。
イ 「自分探し」とは、本来、言葉も文化もまったく異なる所へ旅をして、その結果自分がなにものであるかわかるということだ。
ウ 十分な外部評価を与えられていたとしても、二十年も生きてくれば「自分探しの旅」に出たくなるのが人間というものだ。
エ 「自分探し」があるとしたら、それは、自分を含むネットワークの構造とそこでの自分の働きを問うものであるはずだ。


筆者が主張しようとしていることは、筆者が結論として述べている部分です。

本文の最後、「
「自分探し」という行為がほんとうにありうるとしたら、それは「私自身を含むネットワークはどのような構造をもち、その中で私はどのような機能を担っているのか?」という問いのかたちをとる」と、同じ意味のことが書いてある、
エ 「自分探し」があるとしたら、それは、自分を含むネットワークの構造とそこでの自分の働きを問うものであるはずだ。
が正解です。


このように、
国語の問いの文は、必ず2つの部分
(1)本文中から答えにあたる部分を探すとき手がかりヒントを述べた部分
(2)答えの書き方指示した部分

からできています。

問いの文にある「ヒント」を手がかりに本文から答えになる部分を探し、そして、問いの指示に忠実に答えを書けば、必ず正解にたどりつくことができるのが国語です。



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math 立体に内接する球


高校入試で、数学のおもしろさを体現する良問なのでよく出題される問題群があります。
この稿で取り上げるのは、「立体に内接する球」の問題です。

空間図形の問題は難しい問題が多いのですが、難しいからこそ数学のおもしろさを味わうことができます。


例題1:図のように、底面の半径が6cm、母線の長さが10cmの円錐に1球Oが内接している。球Oの半径を求めよ。


(考え方と解き方)
立体図形の問題はむずかしい。
問題は、平面の紙にかかれています。立体を平面にかくこと自体に無理がありますから、どうしてもむずかしくなります。

そこで、コツは、空間図形の問題を平面図形の問題にしてしまうことです。
問題を解くとき、必要な平面をかきだし、平面で考えるようにするのです。
1の2球の問題の場合、どこの平面を見つけたらよいかというと、決め手は接点です。
立体に、球がどこで接しているかを見つけ、その接点をふくむ平面を使って問題を解くのがコツです。

この問題は球の半径を求める問題ですから、とりだした平面に、さらに半径をかき込みます。

半径をかき込むときは、接線の定理『接線は接点を通る半径と垂直である』が活用できるようにかき込みます。
1の3
球が円錐に接している点をH、I、Jとします。

直角三角形ABHで、三平方の定理よりAH=8cm。

∠AHB=∠AJO=90°、∠BAH=∠OAJより、△ABH∽△AOJ
よって、BH:OJ=AB:AO
6:x=10:8-x
10x=6(8-x)
10x=48-6x
16x=48
x=3cm

球の半径は3cmです。


例題2:図のように、底面の半径が6cm、高さが8cmの円柱の内部2に、半径が等しい球A、Bが入っている。球Aと球Bはたがいに接し、球Aは円柱の下の面と側面に、球Bは円柱の上の面と側面に接している。このとき、2つの球の半径を求めよ。
 

(解き方)
例題1で述べたように、接点を見つけ、その接点をふくむ平面を取り出して、その平面で考えます。



2の2次に、球の半径を求める問題なので、平面の図に半径をかき込みます。

やはり、半径と接線が垂直になるように半径をかき込みます。







半径をかき込んだほうがよい場所に半径をかき込むと、次の図のようになります。
2の3
この段階ではまだ解けません。

この図を見て、さらに、どうやって解こうかと考えます。
そのとき頭にうかべたらよいのは、「図形の問題は相似か三平方で解くしかない」、です。





そうすると、例えば、次の図のような、三角形PABを見つけられたらなんとかな2の4るのではないかとわかってきます。

直角三角形△PABを見つけることができたら、三平方の定理を使うことができます。

2の5




















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math 三角形に内接する円


高校入試で、数学のおもしろさを体現する良問なのでよく出題される問題群があります。
この稿で取り上げるのは、「三角形に内接する円」の問題です。

三平方の定理の重要事項がいくつも出てくる特に重要な問題です。


例題:図の△ABCと内接円Oについて、次の問いに答えよ。
1(1)頂点Aから辺BCに垂線AHをひく。AHの長さを求めよ。
(2)△ABCの面積を求めよ。
(3)円Oの半径を求めよ。
(4)円Oと辺BCとの接点をIとする。BIの長さを求めよ。
(5)直線AOと辺BCとの交点をJとする。IJの長さを求めよ。






(考え方と解き方)
(1)頂点Aから辺BCに垂線AHをひく。AHの長さを求めよ。
(1)
三平方の定理を使う問題の中では最も重要なものの一つです。
解き方を熟知していないといけません。

AHを求める問題ですが、AHをxとおいてしまうと遠回りになります。
BHをx、CHを14-xとすることを知っておくべきです。

△ABHと△AHCのそれぞれで三平方の定理をもちい、AHを2通りの式で表わして、それを等式にして方程式を解きます。


まず、△ABHで三平方の定理より、
(1)2







次に△AHCで三平方の定理より、
(1)3










AHの2乗を2通りの式で表わせたので、等式にして方程式を解きます。
(1)4





BHの長さが5cmとわかったので、△ABHで、もう一度三平方の定理をもちいて、AB=13cm、AH=5cmより、AH=12cmです。


(2)△ABCの面積を求めよ。
(1)で、△ABCの高さAHを求めることができたので簡単です。
14×12×1/2=84平方cmです。


(3)円Oの半径を求めよ。
まず、図に半径をかき込みます。
半径のかき込みかたがポイントです。
重要定理『接線は接点を通る半径と垂直である』が使えるようにかき込まないといけません。
(2)
次に、△ABCの面積を2通りの式で表わすことができることに気づいてください。

1つ目は、(2)で求めた、14×12÷2=84です。

2つ目は、△ABC=△ABO+△OBC+△AOCと考えて、式をつくります。
13×r×1/2+14×r×1/2+15×r×1/2です。

この2つの式は、同じ△ABCの面積を表わす式ですから等式・方程式にして、
13×r×1/2+14×r×1/2+15×r×1/2=84
両辺に2をかけて、13r+14r+15r=168
42r=168
r=4cmです。

面積を2通りの式で表わして方程式をつくる」、これも重要です。


(4)円Oと辺BCとの接点をIとする。BIの長さを求めよ。
(4)
接線についての定理『接線の長さは等しい』を使って解きます。

求めるBI=xとすると、左の図のように表わすことができます。

辺ACの部分を方程式にして、13-x+14-x=15
-2x=-12
x=6cmです。




(5)直線AOと辺BCとの交点をJとする。IJの長さを求めよ。
5
角の二等分線についての定理を利用します。
AB:AC=BJ:JCより、
BJ:JC=13:15

よって、BJ=14×13/28=6.5cm

(4)より、BI=6cmだったから、IJ=6.5-6=0.5cmです。






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