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  • 2022.10.14 Friday
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English 英単語の語源


 英語の再勉強を始めてから半月、ときにはサボりながら継続しています(今もパソコン接続のスピーカーからは英語短文集DUOの声が響き渡っています)。

3年前に購入して何度か目を通した英単語集『VITAL4500』(文英堂)を読み直していて、以前は 読み落としていた面白い記述を見つけました。

3年前は、大学受験生に小論文を指導するのに問題文の英文をすらすら読めるようになることが 私の勉強の目的でした。
だから、語彙を増やすことが目的で、単語集の語源の欄は読み飛ばしていました。
今回は、語源にふれた欄にも目を向ける余裕があります。


keen

keen(鋭い)の語源の欄は以下のよ うになっています。

「キーン」という語感から、「鋭い」という意味が生じる。さらに精神が鋭くとぎすまされたイメージから、興味・関心などが「強い、激 しい、猛烈な」ことも意味する」

keenという英単語は擬音語の「キーン」からきているわけです。

これには驚いた。

日本語とおんなじやん、こんな幼稚な語源でいいんかいな、が第一印象。
一度語源を知ったら二度と意味を忘れることはないな、が次に思ったことです。

中学生のとき、英語の習い始めに英語の先生から「英語と日本語は違います。例えばニワトリの鳴き声、日本語ではコケコッコーですが、英語ではコッカドードルドーといいます。」と強調されたことがずっと頭に残っていました。
ところが、「キーン」で keen、「日本語とおんなじやがな、そりゃそうだ、同じ人間だもの、同じような感じ方をするわな」と、この歳になって安心したというか、ほっとしたとい うか。

気楽に勉強したらええねん、と思えてきました。


grateful

grateful(感 謝した)の語源は次のように書いてあります。

「感謝(grat→Grazie:イタリア語の「ありがとう(グラッチェ))の気持ちに満ちて(ful→full)いる様子」

これも知らんかった。イタリア語、グラッチェからgratefulなんて。


安心と絶望

keen としゃべっている欧米人の頭のどこかに「キーン」が鳴り響いていて、gratefulと言うときはイタリア語のグラッチェを潜在意識のどこかで意識しているなんて、教えてもらわないと日本人にはわかりません。

こういうのが、実は『文化』なのではあるまいか。
英単語の日本語訳はわかったって、英語文化の奥底にあるものまではなかなかたどりつけません。


2つの語源の記述から、「英語も日本語もおんなじやん」 と、「そりゃ日本人には(というか、私には)英語はわからんわ」の、まったく相反する感懐を抱きました。



JUGEMテーマ:学問・学校

math 5年生で起こる算数の一大革命


割合の単元を学習していて、例えば「60円の、120円に対する割合を求めなさい。」という問題で、安易に120÷60=2とする子が相当数います(特に『ゆとり』以後、増えました)。

「おいおい、何でも大きい方を小さい方でわると思ったら大間違いだよ。割合の問題だと、小さい方を大きい方でわることも多いから、問題をよく読んで考えなきゃ。」と、今までは何の疑問も感じないでただ子どもを責めていたのですが、今年、5年生に割合を教えていて、初めてある重大なことに気づきました。

現行の4年生の教科書だと、1年間、かけ算の計算練習をする機会がまったくありません。単元として、かけ算の項目がゼロなのです(まともにかけ算ができない中学生の増えるのも当たり前です)。

5年生になると、今度は逆に、わり算が1年間に2回も、間をおかずに出てきます。最初が小数÷整数、後の方が小数÷小数です。これも頭がごっちゃになってよくないのですが(子どもの頭にはある程度の熟成期間が必要です)それはさておき、ということは、答えが小数になるわり算が、5年生になるまでまったく出てこないということにやっと最近気づきました。

4÷5=0.8が5年生になるまで出てこないのです。

ということは、5年生のわり算は、子どもたちの頭の中では、ちょうど中学1年生が負の数を習うのと同じような、算数・数学の世界での大革命です。
中学生になると、それまでの正の数に加えて負の数を知ることによって、数の世界が一挙に2倍に広がります。
同じように、小学5年生は答えが小数になるわり算を習うことで、今まで1より大きい整数しか出てこなかったわり算の世界に答えが1より小さい小数のものも出現することになって、一挙に2倍に数の世界が広がるわけです。

そりゃあ、常に大きい数÷小さい数しかしようとしない子が出てくるはずだ。それまでの10年間、その世界しか知らない、その世界しかないと思っている子に、すぐに新しい世界に慣れろと言っても無理だ。

大いに反省しました。

今年からはやさしく、算数では答えが1より小さい小数になる世界もあるんだよ、特に割合の世界はそうなんだよ、と教えることにします。


数の世界が2倍に広がる革命は、小5の後は中1の負の数、その後は中3のルート、そして高校生になってからの複素数でしょうか。

数学の苦手な中3の子が、平方根の習い初めにつまずくのも無理もない。

革命に慣れるには、ある程度の日数が必要です。




math 割合・比べる量・もとにする量


割合の単元は、速さとならんで小学生がもっとも苦手とする分野です。
指導する私たちもいろいろ工夫をしますが、なかなかうまくいきません。

今日のこの稿は、いつもと違って「悩み」と「試行」の羅列です。
私が現状で考えている、「こうしたらいいのではないだろうか。」を書いてみたいと思います。


割合の3つの公式

算数の単元、『割合』では3つの式が出てきます。

1:割合=比べる量÷もとにする量
2:比べる量=もとにする量×割合
3:もとにする量=比べる量÷割合

割合の問題が難しい根本的な理由は、ここで出てくる3つの言葉、「割合」、「比べる量」、「もとにする量」が、子どもたちにとって外国語以上に意味不明なところにあります(教えているほうも、きちんとわかっているかどうか疑問です)。

割合の問題を上手に解くには、3つの言葉の意味を明瞭にすることしかないように思われます。


割合

まず、「割合」の言葉の意味を、「割合=比べる量÷もとにする量」を使って解くと思われている問題を例に考えてみましょう。

割合とは、『何倍か』という意味です。

「何倍か」と言えばよいのに「割合」の語をもちいるのは、普通「何倍か」というときは、2倍とか3倍とか1.5倍とか、1以上の数になることが多いのに対して、割合の場合は0.7倍とか0.3とか30%とか3割とかの、1より小さい数、全体の中の一部を表すことが多いからです。
「倍」には「大きくなる」というニュアンス、「割」には「小さくなる」というにおいが感じられます。

割合を習うまで、小学生の解くわり算は必ず「大きい数÷小さい数=1より大きい数」です。
割合の問題は逆に「小さい数÷大きい数=1より小さい数」であることがほとんどです。
そのことをはっきりと知っておかないといけませんが、それ以外では「割合」=「何倍か」と言い換えるとわかりやすくなります。

例題1:Aさんの体重が40kg、Bさんの体重が32kgであるとき、Bさんの体重のAさんの体重に対する割合はいくらですか。

「Bさんの体重のAさんの体重に対する割合はいくら」の部分を、「BさんはAさんの何倍か」と読み替えると、はるかに簡単になります。

「BさんはAさんの何倍か」ですから、B÷A、32÷40=0.8倍です。

割合=比べる量÷もとにする量の式に苦労して当てはめるよりずっと楽だと思います。


もとにする量

比べる量=もとにする量×割合のタイプの問題を、「もとにする量」の意味を探ることで考えてみましょう。

「もとにする量」は、「割合」=「何倍か」ほど単純ではありません。
「もとにする量」にはいくつかの意味があります。

もともとは、「もと」とは「基準にする量」の意味です。

例題2:お兄さんの身長はゆう子さんの身長の1.1倍です。ゆう子さんの身長が140cmのとき、お兄さんの身長は何cmですか。

「お兄さんの身長はゆう子さんの身長の1.1倍」とは、ゆう子さんの身長を『基準』にしたとき、お兄さんの身長がその1.1倍という意味です。

それさえわかれば、140cmの1.1倍だから、140×1.1=154cmとすぐわかります。
この問題のように、基準にする量がわかっているとき、かけ算で答えを求めることができます。

いまの子どもたちは、「もと」という和語より「基準」という漢語のほうが意味をとらえやすいようです。

もとにする量」の2番目の意味は、『全体』です。

例題3:小学校のしき地の面積が8000平方mであり、その0.35の割合にあたる部分が校舎の土地の面積である。校舎の土地の面積は何平方mですか。

しき地全体の面積が8000で、その0.35倍が校舎の面積なので8000×0.35=2800平方mです。
この問題のように、全体がわかっていてその一部を求めるときもかけ算になります。

この場合、小学校のしき地8000を『基準』にしたとき、その0.35倍が校舎だから8000×0.35と考えるより、全体8000のうちの0.35だから8000×0.35と考えるほうが、子どもたちの実際の頭の使い方に即しているように思われます。

もとにする量」の3番目の意味は、去年と今年のうち去年のように、時間の流れの中で『に起こった方』、『の方』の意味です。

例題4:去年のジャガイモの取れ高は90tだった。今年のジャガイモの取れ高は去年の取れ高の0.95にあたる。今年の取れ高はいくらか。

去年がわかっていて、その0.95倍だから90×0.95=85.5tです。

この問題のように、時期的な前の方、去年がわかっていて、後の方、今年を求めたいときもかけ算です。

「比べる量=もとにする量×割合」を100万遍唱えたって、上のような問題が解けるようになるとは思われません。
基準になる量がわかっているとき」、「全体の量がわかっているとき」、「順番の前の方の量がわかっているとき」、かけ算で答えを求めると考えた方がずっと実際の役にたちます。


比べる量


「もとにする量=比べる量÷割合」のカテゴリーに入る問題群を使って、「比べる量」の語の意味を最後に考えます。

先に結論を述べると、「比べる量」の意味を考えてもあまり役には立ちません。
「比べる量」とは、「もとにする量」との対比から生まれた概念であり、言い換えれば「もとにする量」と対照される後が「比べる量」であり、「もとにする量」を表だと考えると「比べる量」はその裏に過ぎないからです。
「もとにする量」でないもの、「もとにする量」の反対概念が「比べる量」です。

したがって、「基準になる量」ではなくて「比較される方の量」、「全体」ではなくて「部分」、連続した事項のうちの「前」ではなくて「」の方が「比べる量」です。

そして、「比べる量」がわかっているとき、割合でわると「もとにする量」がわかるということになります。
「もとにする量=比べる量÷割合」の式が表しているのは以上のような意味です。

妹の体重が36kgで姉の0.9にあたるときの姉の体重を求める問題(基準にあたる量を求める問題)、
貯金の0.4にあたる金額で2000円の本を買ったときにもとの貯金額全体を求める問題(全体にあたる量を求める問題)、
今年の売り上げ1210000円が去年に比べて1.1倍であるときの去年の売上高を求める問題(前後の流れのうち、前の方を求める問題)などが、
「もとにする量=比べる量÷割合」といわれる問題だということになります。


以上の記述で推測できると思いますが、私は割合の3つの式を教えたり、覚えさせたりすることには懐疑的です。
3つの式をちゃんと覚えたって何の役にも立たないのに、なぜすべての本で割合の単元の冒頭に3つの式が掲げられているのか、長年不思議に思っています。



science 地質時代と動物の進化


中学2年理科で塾では動物の単元に入りました。
子どもたちに話す雑談のネタとして嘘をついてはいけないので、地球の地質時代と動物の進化との関係を調べなおしました。

地質時代とは、地球の過去の歴史を化石生物を基準に地質学的に分類したもののことです。古い時代から順に、先カンブリア時代、古生代、中生代、新生代に分類されます。

地質時代は、大分類として『』、その中の中分類として『』、さらにその中の小分類として『』に分かれます。


先カンブリア時代・・・地球の誕生、生物の誕生

始生代原生代に分かれる

46億年前 地球誕生
40億年前 ができる
38億年前 最初の生命誕生
25億年前 最初のソウ類出現


古生代 (5億6000万年前〜)・・・両生類の時代

カンブリア紀 5.6億年前 カンブリア大爆発と呼ばれる生物の大発生、三葉虫などの無せきつい動物

オルドビス紀 5億年前 日本最古の化石である貝型虫

シルル紀 4.4億年前 紫外線を吸収するオゾン層の形成により陸上に生物進出

デボン紀 4.1億年前 魚類多様化、両生類が出現し動物が陸上に

石炭紀 3.6億年前 シダ植物の大森林、後期には虫類出現

ペルム紀 2.9億年前 は虫類が発展、裸子植物が繁茂、三葉虫フズリナなど多くの生物が絶滅


中生代(2億5000万年前〜)・・・は虫類の時代

三畳紀 2.5億年前 末期に原始ほ乳類出現

ジェラ紀 2.1億年前 アンモナイト・イチョウ・ソテツが栄え、は虫類(恐竜など)が全盛で海・陸・空に拡散、鳥類の祖シソチョウ出現

白亜紀 1.4億年前 被子植物が栄え始め、末期に大絶滅でアンモナイト恐竜が姿を消す、恐竜の末裔の鳥類が残り、ほ乳類の大規模な適応拡散を準備


新生代(6500年前〜)・・・ほ乳類の時代

第三紀 6,500万年前

暁新世 6,500万年前 ほ乳類が大型化

始新世 5,400万年前 ウマ、サル、霊長類出現

漸新世 3,700万年前 真猿類から類人猿が分化

中新世 2,400万年前 現代の生物群の発展期、草食動物が栄え肉食動物の発展を促す

鮮新世 500万年前 直立二足歩行の猿人(アウストラロピテクス)誕生、初のヒト族(北京原人ら)誕生

第四紀

更新世 170万年前 大氷河時代、初の人類、旧人ネアンデルタール人、新人クロマニョン人出現、マンモス絶滅

完新世 1万年前 


(余録)

・動物の進化を調べ始めて、専門的な説明がほとんどで、中学生や私のような素人にわかりやすい記述になかなか出会えないことがわかりました。

情報化時代というけれど、こちらの要求にすぐに応えてくれる情報は苦労しないとなかなか探せないものです。

・地質時代の時代区分ひとつとっても資料によって年代が千差万別で、どれを信じたらよいのか判断に迷いました。

新しく未知の化石が発見されたり、年代測定法が進歩するたびに年代も書き直されているようです。古いものを探る学問ほど、新しいことがどんどん発見されていく発展途上の学問なのかもしれません。

・今までずっと、魚類→両生類→は虫類の進化があり、は虫類から一部は鳥類に、一部はほ乳類になったと教えてきたのですが、両生類から一部のは虫類を経て鳥類へ、両生類から別の種類のは虫類を経てほ乳類へというのが現代の有力説のようです。

両生類→は虫類→鳥類、両生類→ほ乳類の2つの流れがあるという学説もありました。

私たちほ乳類はトカゲの子孫なのか、カエルの子孫なのか、どちらがうれしいかは微妙なところです。

・水中にしか住んでいなかった動物が陸上に上がってきたのは、陸上のほうが呼吸しやすいし運動もしやすいから、そのように適応、進化したからだと教えてきました。

オゾン層が形成されて有害な紫外線が減少したから陸上に住めるようになった、陸上に上がってきたのは海での生存競争に敗れて逃げてきた弱者たちだという説が今は有力なようです。

これも、私たちは新しい環境に上手に適応した賢い動物の子孫ではなくて、逃げまわっていた弱者の子孫かい?と思ったら、あまりうれしくありませんね。

・進化についてはまだほとんどわかっていないことのほうが多いのだなというのが、正直な感想です。

ダーウィンの適者生存説は否定され、今、ほ乳類が全盛である理由は、ただただ運がよかったから、というのが現在の有力な学説であるようです。

学問の結論が「運がよかったから」でいいのか?と突っ込みをいれたくなりました。



math 錐体の一部の体積


三角柱や四角柱、円柱など、柱体の体積を求める公式は底面積×体積、三角錐や円錐などの錐体の体積を求める公式は底面積×高さ×1/3です。

体積を求める問題は公式にそのままあてはめればよいので、そう難しい問題はありませんが、知っておかないといけない問題の一つに円錐台など、錐体を切断したあとに残った一部の体積を求める問題があります。


例題1:1辺が6cmの立方体で、点M、Nはそれぞれ辺AB、ADの中点である。こ三角錐台の立方体を4点M、F、H、Nを通る平面で切る。頂点Aを含むほうの立体の辺FM、EA、HNの延長は1点Oで交わる。頂点Aを含むほうの立体の体積を求めよ。


(解き方)
三角錐の上部を切り取って残った部分の体積を求める問題です。

中学生が求めることができるのは、柱体と錐体の体積だけであるというところから出発します。

そうすると、大きな三角錐O−EFHから上の小さな三角錐O−AMNをひけばよいということに気づくことができます。





大きい三角錐O−EFHは、底面が直角三角形EFHで、高さがOEの三角錐です。

三角錐台2底面は∠FEHの直角三角形なので、底面積はEF×EH×1/2、高さのOE=6+6=12cm。

よって、三角錐O−EFHの体積は底面積×高さ×1/3の公式より、6×6×1/2×12×1/3
=72

次に、上の小さい三角錐O−AMNの体積は、底面がAM=3cm、AN=3cmの直角三角形AMNであり、高さOA=6cmだから、公式底面積×高さ×1/3より
3×3×1/2×6×1/3
=9

以上より、求める切り取った頂点Aを含むほうの立体の体積は、72−9=63立方cm。








円錐の上部を切り取った立体(円錐台)の体積を求める問題も同じ要領で解きます。

切り取る前の大きい全体の円錐の体積から、切り取った上部の小さい円錐の体積をひけばよいのです。

さらに、この種類の問題では、中2で習う中点連結定理、中3で習う相似の考え方を使うこともあります。

中点連結定理
中点連結定理中点と中点を横に結ぶと、その線分の長さは底辺の長さの半分になるという定理です。







相似
相似形の等しい図形では、ある対応する辺の長さの比がa:bであれば他の対応する辺の比もa:bになります。








例題2:図において、四角形ABCDは、AD//BC、∠DAB=∠ABC=90度、円錐台AB=12cm、AD=3cm、BC=6cmの台形である。Eは、対角線ACと対角線BDとの交点である。色をつけた部分は、5つの線分AB、BC、CE、ED、DAによって囲まれてできる図形である。色をつけた部分を直線ABを軸として1回転させてできる立体の体積は何立方cmですか。円周率をπとして答えなさい。(大阪府公立高校入試・前期理数科18年1(3))


















まず、必要な長さをすべて書き込んでおきます。
円錐台2

三角形AEDと三角形CEBが形の同じ(相似の)三角形であり、AD:CB=3:6=1:2なので、DE:BEも1:2になります。
さらに、AF:FBも1:2となり、AB=12を1:2で分けるので、AF=4、FB=8です。
また、BE:BD=2:3なので、FEの長さは2cmです。















次に、色のついた部分を、直線ABを軸として1回転させてできる図形を考えます。
円錐台3
下の円錐台は、点Aを頂点とし半径BCの円を底面とする大きい円錐から、点Aが頂点で2cmの半径EFの円を底面とする小さい円錐を取り除いたものであることがわかります。

また、上の円錐台は、頂点がBで半径がAD=3cmの円を底面とする円錐から、点Bが頂点で半径FE=2cmの円を底面とする小さい円錐をとったものです。

よって、(6×6×π×12×1/3−2×2×π×4×1/3)+(3×3×π×12×1/3−2×2×π×8×1/3)
=(144π−16/3π)+(36π−32/3π)
=164π

164π立方cmが答えです。




English 中学英語のまとめ(3) 進行形


暗記すべき英文


(1)私が家に帰ったとき、父は音楽を聴いていました。
When I came home, my father was listening to music.

(2)あなたは今何をしていますか。私はテレビを見ています。
What are you doing now?
I am watching TV.


現在進行形・過去進行形

進行中の動作や状態を表す用法を進行形といいます。

be動詞+動詞のing形を使います。

「〜している」、「〜していた」と訳し、『い』があると進行形、進行形は『い』と訳すと徹底するとミスが減ります。


現在進行形と過去進行形

「〜している」と今進行中の動作を表す現在進行形と、「〜していた」と過去進行中であった動作を表す過去進行形とがあります。

She is playing tennis now.(彼女は今テニスをしています。)
She was playing tennis at that time.(彼女はその時テニスをしていました。)

現在進行形か過去進行形かはbe動詞で決まります。

is(am),are+〜ingと、be動詞が現在形のとき、「〜している」
was,were+〜ingと、be動詞が過去形のとき、「〜していた」

基本的な問題では、文末の副詞句で現在進行形か(文末にnow)、過去進行形か(文末にthen(その時)、at that time(その時))がわかることがあります。


否定文・疑問文

進行形も、be動詞を使った英文ですから、否定文はbe動詞+notの形になり、疑問文は文頭にbe動詞を出します。

I am reading a book.(私は本を読んでいます。)
I am not reading a book.(私は本を読んでいません。)
Are you reading a book?(あなたは本を読んでいますか。)


現在分詞

進行形をつくるbe動詞+動詞のing形の、「動詞のing形」は現在分詞といわれるものです。
「〜している」「〜していた」と訳しますが、(1)進行形にをつくるときと、(2)be動詞を伴わないで単独で「〜している+名詞」と名詞を修飾するときとがあります。

He is running in the park.(彼は公園で走っています。・・・進行形)
The boy running in the park is my friend.(公園で走っている少年は私の友達です。・・・名詞を修飾)

また、動詞の〜ing形には、「〜すること」と訳す動名詞があります。

He is running in the park.(彼は公園で走っています。・・・進行形の現在分詞)
His hobby is running in the park.(彼の趣味は公園で走ることです。・・・動名詞)

「〜している」の現在分詞か、「〜すること」の動名詞であるかは、前後から判断してどちらの意味がよいかを検討して決めるしかありません。

(『現在分詞と過去分詞を整理して理解する』参照)


動詞のing形(現在分詞)の作り方

(1)普通はingを動詞の後ろにつけます。例:play→playing
(2)動詞の語尾がeのときは、eをとってing。例:make→making
(3)動詞の語尾が短母音+子音のときは子音を重ねてing。例:swim→swimming
(4)特殊なものとして、die(死ぬ)→dying、lie(横たわる)→lying


進行形の特別用法

「行く・来る」の仲間である動詞(go,come,start,leaveなど)を使った進行形は、「今、〜している」ではなくて近い未来を表します。

She is starting this afternoon.(彼女は午後出発するだろう。)


進行形にならない動詞

状態を表す動詞、have(持っている),know(知っている)などはもともと「〜している」という意味なので進行形にはなりません(「持っているいる」となり、おかしい)。



science 顕微鏡の倍率と視野・明るさ


どんなテキストにも、「顕微鏡を高倍率にすると、見える視野は狭くなり、明るさは暗くなる」と書いてあります。

なぜでしょうか?


顕微鏡の仕組み

顕微鏡が見える仕組みから考えるとわかります。
顕微鏡が見える仕組み
われわれの眼が、顕微鏡で拡大された像を見ることができるのは、反射鏡で集められた光がプレパラートを通過し、その光が眼に届くからです。

(光が通過しないと、顕微鏡でものを見ることはできません。だから、例えば植物の茎の断面を顕微鏡で拡大して観察したいとき、茎のかたまりを顕微鏡にごろんと載せても、光を通さないので見ることはできません。光が通過するように茎の断面を薄く切ってプレパラートを作って初めて茎の断面を観察することができます。)


視野

理解しやすいように、模式図を使って考えてみましょう。

光は、光の粒子が直線状に飛んできているものだと考えられています。

今、低倍率で顕微鏡を覗いたとき、約20個の光の粒子が通過した場所を、眼が見ていると仮定します。
光






次に、もとの場合の2倍の高倍率にして見るとします。
低倍率と高倍率
もとの見えていたものより狭い場所を拡大して見ているのが「高倍率」の意味ですから、視野(見える範囲)が狭くなることはすぐに納得できます。






明るさ

次に明るさです。
低倍率と高倍率
低倍率のとき、光の粒子が20個、視野に含まれていました。この20個の光が眼に届いて見えていたことになります。

もとの2倍の高倍率にすると、面積が狭くなった分、その場所を通過している光の数も減少し、視野に含まれる光の粒子の数は約5個に減りました。

眼に届く光の数が減った分、当然、暗くなります。

これが、高倍率にすると暗くなる理由です。


倍率と視野・明るさの関係

最後に、顕微鏡の倍率とは「長さ」の拡大比のことです。
倍率が2倍というのは、長さが2倍になることを表しています。

面積はすべて長さの平方(平方=2乗)になります(だから面積の単位は平方〜なのです)。
長さが2倍だと、面積は2×2の4倍になります。

通過する光の量は、模式図からもわかるように面積に反比例します。

したがって、倍率をもとの2倍の高倍率にすると、視野は4分の1になり、明るさも4分の1になります。



homeroom 中学生になったら中学生の勉強法を


小学校のときはよくできる子だったのに、中学生になると定期テストで期待したほどの点がとれなくなる子がいます。
逆に、小学生のときは見劣りがしていたのに、中学校では高得点を維持する子も珍しくありません。

なぜだろうと?とずっと不思議に思ってきました。

最近やっとたどりついた結論が、小学校の勉強は自由演技、フリースタイルであり、中学校の勉強は規定演技だから、小学校の成績がそのまま中学生になったとき反映しないのではないか、というものです。

小学校での学習内容は、いわば身の回りで体験していることに毛が生えた程度のやさしいレベルです。
ませた子や雑学的知識のある子や生まれつき能力の高い子は、きちんとした勉強のフォームを身につけていなくても無手勝流、フリースタイルでなんとでもなります。
逆に、そういう子のほうが、正しいやり方でなくても苦労しないで正解にたどりつけたりするので、はたから見ると賢い子に見える。

それに対して、中学校の勉強レベルになると、もう身の回りの出来事から乖離していきます。今までまったく見たことも聞いたこともないことも習得していかなければならない。
そうなると、自己流、フリー演技は通用しなくなります。
最初に正しい解き方のルールを素直にのみこんで、そのルールを守って忠実に解き進められる人でないと、すぐに行きづまります。
つまり、あらかじめ決められた規定にそった演技、勉強ができる子でないと、いくら才能があっても得点には結びつきません。


昨日は新中1の授業を担当する曜日でした。

授業中、

「式を書く」、
「漢字で書く」、
「姿勢を正す」、
「大事なことはメモる」、
「イコールを揃える」、
「両手は机の上、片手でしない」、
「いちいち消さない、消してもよいのは誤答だけ」、
「図を書いてから解く」、
「マーカーを文に引いても意味がない、重要語にだけ引く」、
「絶対に答えを写さない、もう一度やりなおす」、
「思い出そうとしないと覚えられないから、前の説明をすぐ見直さないでまず考える」
・・・

と、規定演技の『規定』にあたるルールを口うるさく言い続けました(もちろん、口調はもっとずっとやさしく、ですが)。

物事は最初が肝心、悪い癖がついてからの矯正は困難であり、今、よいフォームを身につけていたら、後どれほど楽ができるかを強調しながら。



math 有効数字


2人の人に、「竹ひごで立方体の模型を作りたいから竹ひごを12本、30mmに切り取ってほしい。」と頼んだとします。

A君は1mm刻みのメモリのついた定規を使って30mmを切り取った。
有効数字1





B君は念を入れて0.01mmまで測れる定規を使って30mmを切り取ったとします。
有効数字2





どちらが信用できるかというと、それはB君です。

A君の持ってきた竹ひごは、ひょっとすると29.5mmかもしれません。B君の持ってきた竹ひごは、わるくても29.995mmです。(『近似値と誤差』参照)

このように、30mmといってもただ30mmというだけでは、どこまで信用できる数値かがわかりません。
そこで、誤差がどれくらいかが一目でわかるような記述の仕方を用いることにいました。

A君の場合だと、30mm近くだということまでは信用できるので、3.0×10と記述します。
B君の場合だと、30.00mmの近辺だとまではいえますから、3.000×10と記述します。

つまり、信用できる部分を、整数部分が1けたの形式で示すという約束事を採用したわけです。
そして、この信用できる部分のことを有効数字といいます。


有効数字の表し方を考えるとき、桁数の大きい数字のことも決めておかないといけません。

例えば、光の速さは
299792458m/秒、秒速2億9979万2458mです。

有効数字が億の位だと、3×100000000ということになります。
0がたくさん続くので煩雑です。
そこで、後ろの部分を書くときは10の累乗の形式を使って、3×10^8
光の速さ1


と書き表すことになっています。

万の位までが有効数字なら、2.9979×10^8と書きます。
光の速さ2


つまり、前の部分有効数字の範囲を表し、後ろの10の累乗の部分で実際の数値の桁数を表すという約束事が採用されているわけです。


例題1:10gの位まで測定した420gを、有効数字がわかる形で示せ。

(解き方)

10の位まで測定したと書いてあるので、10の位に線を入れます。

42/0

前の42が有効数字であり、その部分を整数部分は1桁という決まりで書かないといけないので4.2とします。

次に、4.2の4は実は420の4、100の位であり、100=10の2乗なので、後ろに10^2をつけ加えます。

4.2×10^2
有効数字3

で正解です。


例題2:18000mgを有効数字3桁の近似値で示せ。

(正解)
18000→180/00
1.80×10000
=1.80×10^4
有効数字4


(まとめ)
1、有効数字は整数部分が1桁の形式で書く
2、実際の数値を後ろの10の累乗で示す



math 近似値と誤差


下の図の矢印の長さはいくらでしょうか?
近似値





ほぼ目盛りの13あたりに先がきているので、ほとんどの人が13と答えるはずです。この13という数値のように、測定器具で読み取った量を測定値といいます。

しかし、ちょうとぴったりの13かと尋ねられたら、だいたい13、おそらく13、13に近い数としか言えません。

では、本当の長さはいくらなのでしょう?

それは、神様にしかわかりません。

人間が測定器具でわかるのは本当の値に近い値だけです。いくら目盛りを小さくしても、最後にはその目盛りに近いとしかいえないからです。

神様だけがわかる本当の量のことを真の値といいます。

それに対して、人間が測定器具で測り取った数値を近似値といいます。

上の図で、真の値が12.8ジャストだったとします。読み取った測定値は13でした。
0.2だけ、まちがっていたことになります。この0.2のことを誤差といいます。

誤差とは、真の値と近似値との間にある違い、つまり、誤差=近似値−真の値です。

真の値・・・神様だけが知っている本当の量
近似値・・・人間が測定器具で読み取った真の値に近い数値
誤差・・・近似値−真の値


例題1:ある数aを小数第1位で四捨五入したら28になった。
(1)aの値の範囲を不等号を使って表せ。
(2)誤差の絶対値は最大いくらか。


「ある数aを小数第1位で四捨五入したら28になった」とは、「真の値がaである「ある数」の測定値(近似値)が28であった」という意味です。
したがって、「aの値の範囲」とは、推測できる「真の値の範囲」のことです。

(簡単に解くコツ)

真ん中が28、左の目盛りが27、右の目盛りが29の数直線を書いて考えると簡単です。

四捨五入四捨五入して28になるのは、27と28の中間の27.5から、28と29の中間の28.5までの数です。
ちょうど27.5は四捨五入すると28になるので27.5以上と言えますが、ちょうど28.5だと四捨五入すると29になってしまうので28になるのはそれよりは小さい数、つまり28.5未満です。

図では、27.5は含まれるので黒丸、28.5は含まれないので白丸で表示します。

(1)aの値の範囲を不等号を使って表せ。

図より、27.5≦a<28.5です。

(2)誤差の絶対値は最大いくらか。

図を見たらわかるように、一番28からかけ離れているときで27.5ですから、真の値が28から一番遠い27.5だとして誤差の最大値は0.5です。


もし、この問題が例えば「四捨五入したら28.3になった」のように小数であったとしたら、真ん中が28.3、左が28.2、右が28.4の数直線を書きます。
あとのやり方はまったく同様、図を見て、範囲の28.25≦a<28.35、誤差の最大値0.05を簡単に求めることができます。

四捨五入の2







このように、誤差の問題は小学校で習った四捨五入の問題です。
小学校と違うのは、中学生は以上や以下、未満などの言葉の意味を知っているし、不等号の≦と<の違いもわかっているので、1をひく必要がないということだけです(例えば、四捨五入して80になる数の範囲を聞かれたとしたら、75から84までと答えてはいけません。75以上85未満、75≦a<85です)。

頭だけで考えないで、数直線を利用して問題を解くと、簡単だし、ミスをおかすこともありません。



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