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  • 2022.10.14 Friday
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mathematics 三平方の定理(4)(円と三平方の定理)


円の問題でも、直角三角形を見つけることで三平方の定理を使って問題を解くことができます。


弦と三平方の定理

例題:円Oに12cmの弦をひいたとき、中心Oからの距離が4cmになった。この円の半径を求めなさい。

円と弦(円の定理:弦に垂直な半径は弦を二等分する。弦の垂直二等分線は円の中心を通る。)






直角三角形を見つけて、三平方の定理を使います。

円と弦解き方











円の接線と三平方の定理

例題:半径2と半径1で、中心と中心との距離が4の2つの円O、O’がある。2つの円の共通接線がP、Qで円と接するとき、PQの長さを求めなさい。

2つの円(円の定理:接線と接点を通る半径は垂直に交わる。)







2つの円の解き方O’を通り、PQに平行な直線をひき、OPの延長との交点をRとします。
求めたいPQをxとすると、O’Rもx。

2つの円の式










三角形と内接円

重要例題1:図のように∠A=60度、∠C=90度の直角三角形ABCに内接する半径1の円Oがある。辺BC、AC、ABとの接点をそれぞれD、E、Fとするとき、次の問いに答えなさい。
内接円
(1)線分AEの長さを求めなさい。

(2)線分BFの長さを求めなさい。

(3)色をつけた部分の面積を求めなさい。





(1)
内接円(1)△AFOと△AEOにおいて
接線は接点を通る半径に垂直だから∠AFO=∠AEO=90度・・・(1)
共通にふくまれる辺だからAO=AO・・・(2)
半径の長さは等しいからOF=OE・・・(3)
(1)(2)(3)より、直角三角形で斜辺と他の1辺が等しいので
△AFO≡△AEO

したがって、∠FAO=∠EAO=30度
だから、OE:AO:AE=1:2:√3
よってAE=√3

(2)
内接円(2)△ABCで、AC:AB:BC=1:2:√3
AC=√3+1だから
AB=(√3+1)×2=2√3+2
AF=AE=√3だから
BF=AB−AF
=2√3+2−√3
=2+√3




(3)
まず、影のついた部分や斜線部の面積を求めるときは、大きな図形から不要な部分をひくのが原則です。
次に、私たちが求めることのできる面積は、三角形おうぎ形くらいしかありません。

だから、色のついた面積を求めるには、四角形AFOEから弧FEのおうぎ形をひけばよいことがわかります。
この問題では、∠AOE=60度なので、おうぎ形の中心角FOE=120度です。

内接円と面積





















重要例題2:辺の長さが3、4、5の△ABCに内接する円の半径を求めなさい。
内接円の2











解き方1:辺で等式をつくる
内接円の2(1)中心と接点D、Eを結びます。
半径のOD=OE=xとすると、DC=EC=x

AE=3−xだから、AF=3−x
BD=4−xだから、BF=4−x

辺ABで等式ができます。

4−x+3−x=5
−2x=−2
x=1

内接円のときの書き込みの仕方を知っておかないといけません。
三角形から見たら内接円ですが、円から見たら三角形の各辺は接線です。
接線の性質、「接線は接点を通る半径と垂直である」を利用するためには、上のような書き込みの仕方しかありません。


解き方2:面積で等式をつくる

三平方の定理の2(2)△ABCの面積は2通りの方法で表わすことができます。

まず、底辺4、高さ3の三角形と見ることができますから、4×3×1/2=6
△ABCの面積は6とわかりました。

次に△ABCは、△ABOと△BCOと△CAOの、3つの三角形の合計と考えることもできます。
このことを式に表わすと、
内接円の2(2)











以上から方程式をつくります。

6x=6
x=1


この解き方も、知っておかないといけません。



mathematics 三平方の定理(3)(いろいろな三角形)


1、二等辺三角形・正三角形
(+正六角形)

二等辺三角形の定理「二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する」より、三平方の定理を使うと二等辺三角形の面積を求めることができます。

例題1:AB=AC=10cm、BC=12cmの二等辺三角形の面積を求めなさい。
二等辺三角形
まず、高さを求める。
頂点Aと底辺BCの中点Mを結ぶ。AM⊥BCになる。
三角形ABMで、BM=6cm。BM:AB=6:10=3:5より、三角形ABMは辺の比が3:4:5の直角三角形である。したがって、高さAM=8cm。

よって、面積は12×8×1/2=48平方cm


例題2:一辺の長さが10cmの正三角形の面積を求めなさい。
正三角形(1)
正三角形の1つの角度が60度であることから、1:2:√3を使います。






正三角形2にあたる斜辺が10cmだから、1にあたる底辺の半分は5cm。
その5cmの√3倍が高さだから、高さは5√3。

よって、面積は10×5√3×1/2=25√3平方cm。





例題3:左の図は一辺が8cmの正六角形です。次の各問いに答えなさい。
正六角形(1)面積を求めなさい。

(2)線分AEの長さを求めなさい。








(1)正六角形の中心(対角線AD、BE、CFの交点)をOとするとき、一つの角AOFは360度÷6=60度、AO=FOなので、内部にできた6つの三角形正三角形です。言い換えると、正六角形は正三角形6つで構成されています。
1:2:√3が使えますから、AB=8cmのときBM=4cm、AM=4√3cm、したがって1つの三角形ABOの面積は8×4√3×1/2=16√3。
正三角形6個でできているので、16√3×6=96√3平方cm。

(2)正六角形(2)線分AEはFOの中点Nを通ります。1:2:√3より、AF=8cmから、FN=4cm、AN=4√3。

よってAE=8√3cm。







一般的な三角形

重要例題:

各分野の応用問題を解くとき、その問題の解き方に習熟しておかないと当該分野の応用問題を解けないと思われる、重要な例題があります。
その問題が基本にあって、それをひねったものが応用問題として出題されます。

重要例題1:図の△ABCは、AB=11cm、BC=10cm、CA=9cmで、Hは頂点Aから底辺BCにひいた垂線です。
AHの長さを求め、△ABCの面積を求めなさい。


一般的な三角形
数学では、求めたい数値をxとおいて、方程式をたててxを求めるのが原則です。
ところが、この問題では、求めたいAHをxとおくと途中で解けなくなります。(この稿最後尾の注1参照)

この問題では、BHをxとして解いていきます。
AHの左にある△ABHが直角三角形であること、だから三平方の定理を使ってAHを表す式ができること。
AHの右にある△ACHも直角三角形であり、同様にAHを式で表せること。
左の△ABHで作ったAHを表す式と、右の△ACHで作ったAHを表す式は、同じものを2通りの方法で表したものだから等式にできること、以上に着目して方程式を立てます。

まず、左の△ABHから。

左の三角形




次に、右の△ACHで。

右の三角形





2つの式から等式をつくり、方程式を解く。

方程式の解き方(2)








これで、BH=7cmとわかりました。

再び、△ABHで、今度はAH=xとおいて、三平方の定理を使い方程式をたてます。

方程式を解く






















AH=6√2cmです。

よって、△ABHの面積は10×6√2×1/2=30√2平方cm。

「知っていないと解けない」問題で、私はあまり好きではありませんが、「知っておかないといけない」問題ではあります。


重要例題2:AB=ACの二等辺三角形でAB=7、BC=6です。頂点Aからひいた垂線の底辺BCとの交点をM、頂点Bからひいた垂線の辺ACとの交点をHとします。
二等辺三角形(2)(1)△ABCの面積を求めなさい。
(2)
線分BHの長さを求めなさい。







(1)面積をもとめるために、まず、高さのAMを求めます。

方程式を解く(2)





















高さがわかったので、面積=6×2√10×1/2=6√10


(2)重要例題1の方法でも解けますが、ここは(1)から続いた問題と考えたほうが簡単に解けます。

(1)で、この三角形の面積が求められました。これを利用します。
見方を転じて、ACを底辺と考えると、BHが高さになります。
三角形の面積を2つの式で表せることに着目して、BH=xとして等式、方程式を作って解きます。

方程式を解く(3)










面積や体積を2通りの方法で表して等式をつくって解く」、知っておくと得をする解法です。





(注1)重要例題1の、「この問題では、求めたいAHをxとおくと途中で解けなくなります」について、俊英塾のUさんから、「解く方法があります」というご指摘がありました。

笛吹訂正





























mathematics 三平方の定理(2)(特別な直角三角形)


入試問題では、直角三角形で成り立つ三平方の定理そのもの
a2+b2=c2

を使って解くほうが例外で、特殊な直角三角形を組み合わせた問題のほうが多いような印象があります。
特殊な直角三角形とは、(1)辺の長さが特別なとき、(2)角度が特別なとき、の2種類です。

(1)辺の長さが特別なとき(3:4:5と5:12:13)

数字は不思議です。一番ありふれた数字の3と4と5。それぞれを2乗してみますと、3の2乗は9、4の2乗は16、5の2乗は25。9+16=25、3の2乗+4の2乗=5の2乗(三平方の定理)が成り立っています。
つまり、辺の長さが3cm、4cm、5cmの三角形は三平方の定理が成り立つので直角三角形です。

3:4:5の図3:4:5が成り立つときは、比を使って解くほうが簡単です。

左の図のxの長さを求めるとき、25=5×5、20=5×4から5:4が成り立っていることに気づいて、xは、5:4:3の3、すなわちxは5×3=15だと考えます。
(比例式で解くこともできる。25:x=5:3。よってx=15。)



辺の長さが特別な場合として、3辺が5cm、12cm、13cmの三角形も、その2乗が25+144=169となり、直角三角形です。


(2)角度が特別なとき(90・30・60度と90・45・45度)

90・30・60角度が90度、30度、60度の三角形は特殊な三角形です。どこが特殊かというと、一番短い辺を1としたとき、必ず斜辺が2の割合になります。













正三角形90・60・30度の直角三角形を2つ、図のように組み合わせると正三角形ができます。
当然、底辺の半分が1、底辺が2ですから、別の辺の長さは2です。
高さをxとすると、
1:2:√3

つまり、90・60・30度の直角三角形の3辺の比は、常に1:2:√3になります。







この種類の三角形では、
a2+b2=c2

を使って問題を解くより、1:2:√3を使って問題を解くほうが簡便です。

例えば、1辺の長さが6cmの正三角形の高さを求めたいとき、2にあたる長さが6cmで2の3倍なので、1にあたる長さは1の3倍の3cm、高さは√3の3倍の3√3cmと、あっさり求めることができます。
(比例式を使ってもよい。高さをxとして、6:x=2:√3。よってx=3√3。)



1:1:√2角度が90度、45度、45度の直角二等辺三角形も特別な三角形です。

このときは、等しい辺が1:1の割合なので、斜辺は必ず√2の割合になり、3辺の間に1:1:√2の関係がなりたちます。

例えば、等しい辺の長さが4cmの直角二等辺三角形で斜辺の長さを求めるとき、1のところが1の4倍の4だから、斜辺は√2の4倍の4√2と求めたほうが、いちいち斜辺をxとおいて三平方の定理に代入するより、ずっと簡単です。
(比例式でも解ける。4:x=1:√2。よってx=4√2。)


正三角形の問題

正三角形が出てきたら、1つの角が60度なので、1:2:√3を使います。

例題:1辺の長さが6cmの正三角形の面積を求めよ。

正三角形(2)2にあたる辺が2の3倍の6cm。
1にあたる底辺の半分は3cm。
高さは√3の3倍の3√3cm。

よって、面積は6×3√3÷2=9√3平方cm。





正方形の問題

正方形の辺と対角線が出てきたら、1:1:√2を使います。

例題:1辺の長さが4cmの正方形の対角線の長さを求めよ。

1:1:√2(2)
1にあたる辺の長さが4倍の4cm。
だから、√2にあたる対角線も√2の4倍、4√2cm。







正四角錐の問題

正方形、正三角形の組合せでできた図形に正四角錐があります。

例題:すべての辺の長さが4cmの正四角錐の体積を求めなさい。

正四角錐
体積の公式は、底面積×高さ×1/3なので、先に高さを求めないといけません。
頂点のOから底面におろした垂線OHがこの立体の高さであり、Hは底面の正方形ABCDの対角線の交点、つまりBDの中点を通るはずだという見当をつけます。

BC=4cm、CD=4cmだからBD=4√2cm。
よってBH=2√2cm。
BH=2√2cm、OB=4cmで2√2:4=1:√2。だから、三角形OBHも1:1:√2の直角二等辺三角形。
よって、正四角錐の高さOH=2√2cm。

以上より、体積=底面積ABCD×高さOH×1/3
=(4×4)×2√2×1/3
=32√2/3



science 露点・湿度


水蒸気(気体)と水滴(液体)


(1)砂糖やホウ酸を水に溶かすと、溶けて見えなくなります。
(2)砂糖やホウ酸などの溶質は、溶媒である水の温度が高いほどよく溶けます。
(3)溶けた水溶液を冷やしていくと、溶けていた溶質は溶けることができなくなって容器の底に沈殿として現れてきます。

同じことが、水と空気との間に起こっています。

(1)水は、空気にとけて見えなくなります。水は液体で目に見えます。空気にとけると気体の水蒸気であり、水蒸気は目には見えません。
(2)空気にとける水蒸気の量には限界があります(この量を飽和水蒸気量という)。空気の温度(気温)が高いほど水は空気にとけることができます。
(3)空気の温度を下げていくと、空気にとけきれなくなった水蒸気は水になって現われてきます。空気中に浮いていることはできないので、床や壁や窓ガラスに水滴となって出てきます。

水がいくら空気にとけているかは、空気1立方mに何gとけているかで表します(だから、単位はg/立法m)。気温10度だと1立方mに9.3g、気温20度だと17.3g、30度だと30.4gまで、空気にとけることがわかっています(誰か賢い人が、実験で見つけてくれた数値です)。

飽和水蒸気量




露点

今、目の前にある空気にどれくらいの水が水蒸気になってとけているか、学校の理科実験レベルで直接測る方法はありません。空気を切り取ることも、水蒸気だけを取り出すことも難しいからです。
そこで、次のような実験で、空気1立方mに含まれる水蒸気の量を求めます。

露点の実験前日から汲んで水を入れておいた金属製のコップを用意し、温度計で水温を測ります(汲み置きしてあったので、水温は部屋の温度と同じ温度です)。

氷入りの試験管で静かにかき混ぜます(当然、水温は下がり始めます)。

暖かい部屋の温度だと空気に溶けていた水蒸気が、冷やされると空気に溶けることができなくなって水滴になって現われてくるはずです。
この実験の場合、氷入りの試験管によって金属製のコップ内の水の温度は下がり始めます。コップのすぐ近くにある空気の温度もコップに冷やされて下がります。そうすると、ある温度に達したとき、コップの周りの空気にとけていた水蒸気がとけなくなって水滴になってコップの表面につき始めます。このときの温度が、その部屋の空気の露点です。

つまり、露点とは、水滴ができ始めるときの温度です。

例として、部屋の温度が20度、コップ内の水温が10度に下がったときに水滴ができ始めたとしましょう。
20度の飽和水蒸気量・・・17.3g
10度の飽和水蒸気量・・・9.4g
10度の空気は、空気1立方mに9.4gの水蒸気を含むことができるはずです。コップの周りの空気が、9.4gを少しだけ超える水蒸気を含んでいたから、10度で水滴が現われ始めたのです。
つまり、この部屋の空気は、気温20度で空気1立方mに約9.4gの水蒸気を含んでいたことがわかります。
こうして、空気1立方mに何gの水蒸気が含まれていたかを求めることができます。
露点とは、実際の空気1立方mに含まれている水蒸気の量が飽和水蒸気量である温度だということができます。

飽和水蒸気量のグラフ(2)
















湿度

湿度を求める公式は、目の前にある(空気1立方mに実際に含まれている水蒸気量÷その気温での飽和水蒸気量)×100です。

湿度の式



(うしろの、×100は何のためにあるのかも確認のこと。例えば、数字の0.18は%にすると18%です。普段は意識していませんが、数値を%にするときは100倍をしているわけです。つまり、この×100は%になおすための×100です。)

水溶液の場合、濃度(%)は、(溶けているものの質量÷水溶液全体の質量)×100です。つまり、全体の「重さ」に対する溶けているものの割合を示すのが濃度の%です。
湿度(%)は違います。ある気温での、もうこれ以上とけない水蒸気量(飽和水蒸気量)を100%として、それに対する割合を表したものです。


湿度の計算問題

パターン1:公式を使うだけの問題

気温24度で、1立方mに17.3gの水蒸気を含む空気がある。この空気の湿度は何%か。四捨五入して整数で答えよ。
飽和水蒸気量



もっとも基本的な問題です。
理科の公式は、「そのまま覚えて、そのまま代入する」のが鉄則。

表より、24度の飽和水蒸気量は21.8gです。
湿度の式これを、公式にそのまま代入します。


湿度の計算(1)
(1)湿度の公式にそのまま代入


(2)×100を先に済ませるのがコツ
あとで、どこで四捨五入するか迷わなくてすみます


(3)そのあと、筆算をします


(4)小数点の位取りもまちがえないように


(5)筆算をすると、答えは79.3になります


(6)「四捨五入して整数で」だから、79%が答えです






パターン2:気温と露点から湿度を求める問題

部屋の気温が20度で、露点が14度であった。湿度は何%か。小数第1位を四捨五入して求めなさい。
飽和水蒸気量



何度か、14/20×100という式を書いている人を見たことがあります。気温の割合を求めたって何も出てきません。
気温は、表を使って水蒸気量を見つけるために使うだけです。
20度の飽和水蒸気量が17.3g、14度の飽和水蒸気量が12.1gです。露点は、実際の水蒸気量が飽和水蒸気量である温度のこと。だから、式は次のようになります。

湿度の計算(2)
(1)湿度の公式にそのまま代入


(2)×100を先に済ませる


(3)そのあと、筆算


(4)小数点の位取りもまちがえないように


(5)筆算をすると、答えは69.9


(6)「小数第1位を四捨五入して」とあるから、70%が答え






パターン3:湿度から水蒸気量を求める問題

気温が30度で湿度が75%の空気がある。この空気1立方mには何gの水蒸気が含まれているか。
飽和水蒸気量




理科らしい、正式なやり方は多分次のようになります。

湿度の計算(3)
(1)求めたい水蒸気量をxとして、湿度の公式にそのまま代入

(2)方程式なので、両辺に分母の30.4をかける

(3)方程式を解いて、水蒸気量22.8gを求める



ただし、この解き方は、かたすぎるというか、本当にレベルの高い人には向いた方法ですが、中学生にはどうなんだろうという気もします。

普通は、次のような解き方のほうがわかりやすいし、中学生らしい解き方かもしれません。

(解き方2)気温が30度だから、飽和水蒸気量は30.4g。これは、湿度100%なら水蒸気量は30.4gという意味である。
湿度が75%だから、その0.75倍。
よって、30.4×0.75=22.8g。



パターン3’:湿度から露点を求める問題

気温が22度で、湿度が29%の空気がある。この空気の露点は何度か。
飽和水蒸気量




気温22度の飽和水蒸気量は19.4gです。湿度29%から、空気1立方mに含まれている水蒸気量は19.4×0.29=5.626g

飽和水蒸気量の表で、5.626gの数値に一番近いのは気温2度のとき。
したがって、解答は2度。



mathematics 相似(6)(円と相似)


円と相似がからんだ問題も入試ではよく出題されます。

まず、円についての定理のまとめから。

1、円周角の定理(1)

円周角の定理(1)中心角∠BOCは円周角∠BACの2倍の大きさになります。
なぜそうなるのかの証明は、図に書いてある記号と補助線を参考に自分で考えてみてください。





2、円周角の定理(2)


円周角の定理(2)同じ弧の円周角、∠BACと∠BDCは常に等しくなります。
円周角の定理(1)を使うと簡単に証明できます。補助線を参考に自分で考えてみてください。





3、内接四角形の定理


内接四角形の定理円に内接する四角形があるとき、∠BAD=∠DCX、∠BAD+∠BCD=180度となります。
なぜそうなるかは、円周角の定理(1)を使うと証明できます。補助線を参考に考えてみてください。



4、接弦定理


接弦定理円に接する直線BXと、接点Bを通る弦AB、BCがあるとき、∠CBX=∠BAC。
接線と弦があるとき成り立つ定理なので接弦定理とよばれます。
接弦定理が成り立つことの証明は、ややむずかしめですが、左図の記号と補助線を使えば証明できます。


以上4つの円に関する定理を念頭において、円と相似がからんだ問題を解いていきましょう。


例題1:

円と相似(2)円Oの周上に、4点A、B、C、Dがある。線分ACと線分BDの交点をEとし、線分ADの延長線と線分BCの延長線との交点をFとする。このとき、次の問いに答えなさい。(和歌山開智高)
(1)∠AEB=75度、∠DBC=24度のとき、∠ADEの大きさを求めなさい。

解き方:


(1)の1仮定の∠AEB=75度、∠DBC=24度を図に記入したあと、それからわかる角度を書き込んでいきます。
このとき、やみくもに探してはだめです。図から浮かんでくる円の定理を念頭において、その導きで(円周角の定理を使うことに狙いをしぼって)探します。

∠ACB+∠DBC(24度)=∠AEB(75度)。
よって、∠ACB=51度。
弧ABの円周角だから、∠ACB(=51度)=∠ADE=51度。

これが多分、もっとも手っ取り早い解法ですが、∠CAD(=∠DBC)=24度からも見つけられますし、∠DEC=75度を使って見つけることもできます。


(2)△ABFと△CDFは相似である。このときの相似条件を答えなさい。

解き方:

(1)の2辺の長さが書いてないので、9分9厘、相似条件の3番目、「2組の角がそれぞれ等しい」ですが、確認しておきましょう。

△ABFと△CDFで、
共通に含まれる角だから∠AFB=∠CFD・・・(1)
内接四角形の定理より∠BAF=∠DCF・・・(2)
内接四角形の定理を使うと∠FBA=∠FDCもいえます。(2’)
(1)と(2)または(2’)より、やはり「2組の角がそれぞれ等しい」でした。


もし、内接四角形の定理を知らなかったら

内接四角形の定理を習っていなくても(内接四角形の定理は、教科書の必修事項ではありません)、2組の角が等しいことを何とか見つけようと諦めずに頑張れば、方法はあります。

上の図において、円周角の定理より等しいといえる角にマル印と×印をつけておきました。
△ABDの内角の和は180度ですから、∠BAF=180度−∠ADB(マル)−∠ABD(×)です。
また、1直線が180度であることより、∠DCF=180度−∠ACB(マル)−∠ACD(×)です。
これで、∠BAF=∠DCFを、内接四角形の定理を使わないで見つけられます。



(3)AB=6cm、CD=3cm、CF=6cm、DF=4cmのとき、次のものを求めなさい。
(1)の31、ADの長さ
2、AE:DE
3、AE:EC







解き方:

1、ADの長さ
数学の大原則、「(2)を利用して(3)を解く」より、△CDF∽△ABFを活用します。
CD:BA=3:6=1:2より、△CDFと△ABFの相似比は1:2です。そして、△CDFの3辺の長さが3cm、4cm、6cmなので、△ABFの辺の長さは、AB=6cm、BF=8cm、AF=12cm。
よって、AD=12−4=8cm。

2、AE:DE
AEとDEの2辺を含む三角形は△AEBと△DECです。この2つの三角形は、「2組の角がそれぞれ等しい」ので相似です。
その相似比は、AB:CD=6:3=2:1。
よって、AE:DE=2:1

3、AE:EC

同じように、AE、ECが含まれる相似な三角形の組を見つけます。
△AEDと△BECです。
相似比は、AD:BC=8:2=4:1。
しかし、これで言えるのは、DE:EC=4:1で、AE:ECではありません。

ううん、どうしようってなったときの最終兵器が、「前の問題で解いたことを使え!」です。
一つ前のAE:DE=2:1は、実はここで使うために求めたのです。
DE:EC=4:1で、AEはDEの2倍だから、AE:EC=8:1。



例題2:

円と相似(1)円に内接する四角形ABCDがあり、AB=AD=5cm、BC=7cm、CA=8cmとする。また、対角線ACとBDの交点をEとする。次の問いに答えなさい。(大阪桐蔭高)
(1)△ABE∽△ACBであることを証明しなさい。
(2)CDの長さを求めなさい。







(1)△ABE∽△ACBの証明

解き方:

(2)の1やはり、「2組の角がそれぞれ等しい」が言えるのではないか、から出発します。
共通に含まれる角が、1つあります。
また、弦AB=弦AD=5cmより、弧AB=弧ADと言えますから、それぞれの円周角4つすべてが等しいことも見つかります。
これで、方針が立ったので、あとは落ち着いて証明を書くだけです。

(証明)△ABEと△ACBにおいて、
共通に含まれる角なので、∠BAE=∠CAB・・・(1)
弦AB=弦ADより弧AB=弧AD
弧AB=弧ADより、それぞれの円周角は等しいから∠ABE=∠ACB・・・(2)
(1)、(2)より、2組の角がそれぞれ等しいので、
△ABE∽△ACB


(2)CDの長さ

解き方:

(2)の2
いろいろ考えるより、ここでも、大原則「(1)を使って(2)を解く」に解き方をしぼってしまうことがもっとも有効です。
つまり、(1)で証明した、△ABE∽△ACBを利用して解こうと決めてしまいます。
そして、△ACBは3辺の長さがすべてわかっていますから、△ABEの辺、AE、BEの長さを求めることができるはずです。

また、等しい角に印をつけておくことで、xを含む△CDEと△CABが相似であることがわかります。

以上の考察を経て、次のように解いていきます。

△ABE∽△ACBより、AE:5=5:8
比例式を解いてAE=25/8

そうすると、CE=8−25/8=39/8

△CDE∽△CABより、x:8=39/8:7
7x=39
x=39/7cm



mathematics 相似(5)(中点連結定理と重心)


今日は、相似の章の後半に出てくる、中点連結定理と重心の問題をとりあげます。

中点連結定理とは、中点連結定理
左の図のように、中点と中点を横に結ぶ(連結する)と、その線分は底辺と平行で、長さは底辺の2分の1になる、という定理です。

名前は立派ですが、中身はたいしたことない。この定理を知らなくても、相似で解決することが可能です。使えたら、時間を節約できる、いわばショートカットのようなものです。




重心
重心のほうは、教科書の必修事項からはずれていますが、ものにはすべて重心があり、そこの1点を支えればもの全体を支えることができる場所であるわけで、大事といえば大事です。
ある辺の中点と、その辺の向かい側にある頂点を結んだ線分を中線といい(左図のAD、BE、CF)、中線の交点が重心です。中線は重心によって、2:1に分割されます。





(中点連結定理そのもの、重心の性質そのものの証明はこちらをご覧ください。)


では、中点連結定理と重心の性質を使って解く問題をながめていきましょう。


例題1:

中点連結定理の1△ABCの辺BAを延長し、BA=ADとなるように点Dをとり、辺BCを3等分する点をそれぞれE、Fとする。辺ACと線分DFの交点をGとする。DGの長さを求めなさい。(青森県)





解き方:
問題文を読んだ段階で記入しておくべき目印は下のようになります。

1の(1)AがBDの中点、EがBFの中点であることに気づき、△DBFで中点連結定理を使うことを考えます。
中点連結定理の長所はショートカットですから、ぱっ、ぱっと素早く解くのが大事。
AEが3cmだからDFは6cm!くらいの、瞬間的判断で。

1の(2)次に、FがECの中点、GがACの中点ですから、△AECで中点連結定理を使います。
やはりショートカットで。
AEが3cmだからGFは1.5cmと、瞬時に。



以上より、DG=DF−GF=6−1.5=4.5cm。



例題2:

4の(1)三角形ABCの辺BC、CAの中点をそれぞれD、Eとし、ADとBEの交点をFとする。AD=9cmのとき、FDの長さを求めなさい。







D、Eが中点なのでAD、BEは中線、Fは重心です。したがって、AF:FD=2:1、ADの比は2+1の3。
FDの長さはADの3分の1だから9÷3=3cm。



例題3:

中点連結定理の2
平行四辺形ABCDの対角線の交点をO、辺ADの中点Eと点Cを結び対角線BDとの交点をFとする。次の問いに答えなさい。(徳島県)

(1)△EFDと△OCFの面積が等しいことを証明しなさい。
(2)四角形AOFEの面積は、平行四辺形ABCDの面積の何倍か、求めなさい。


(1)の解き方:
いろいろな解き方ができる、面白い問題です。私なら、入試ということを忘れて遊んでしまいそう(入試で一番やってはいけないことです。どんなに才をひけらかしても配点以上の得点はもらえません。アホのまねはしないように)。

(1)1つ目の解き方。
△ECDの面積は△ACDの半分で平行四辺形ABCDの4分の1、△OCDの面積も△ACDの半分で平行四辺形ABCDの4分の1。それぞれから△FCDの面積を引いた残りだから△FED=△OCF。

2つ目の解き方。
△AODの面積は平行四辺形ABCDの面積の4分の1で、△FEDの面積=△AOD−四角形AOFE。
△ACEの面積は平行四辺形ABCDの面積の4分の1で、△OCFの面積=△ACE−四角形AOFE。
よって、△FED=△OCF。

3つ目の解き方。
2の(1)△EFD∽△CFBに着目してもいろいろできそうです。

まず、ED:CB=1:2より、EF:CF=1:2
底辺の比が1:2だから、△EFDの面積:△DFCの面積=1:2

同様に、DF:BF=1:2
よって、BD=1+2=3、OはBDの中点だから3÷2=1.5
よって、FO=2−1.5=0.5
ということは、FO:DF=0.5:1=1:2
底辺の比が1:2だから、△OCFの面積:△DFCの面積=1:2

ともに△DFCの面積の半分だから、△EFD=△OCF

4つ目の解き方。
中点連結定理の問題として取り上げたのに、遊びすぎてまだ中点連結定理を使っていません。正気に戻って、中点連結定理を用いて解いてみましょう。

2の(2)
仮定よりEはADの中点、平行四辺形ABCDの対角線の交点だからOはACの中点。
よって、中点連結定理よりEO//DC。
したがって、底辺が共通で、高さが同じ長さだから△ECD=△OCD。
よって△ECD−△FCD=△OCD−△FCD。
すなわち△EFD=△OCF。



(2)の解き方:
(1)で遊びすぎたので、今度はテーマにそって、あっさりと解いていきましょう。
2の(3)EがADの中点、OがACの中点であることから、Fが三角形ACDの重心であることに着目します。

OF:FD=1:2になりますから、△EOFの面積:△EFDの面積も1:2。
ここで、いつものように、一番小さい△EOFの面積を1と決めてしまいましょう。△EFDの面積は2です。
次に、△AOEの面積と△EODの面積は、AE:ED=1:1ですから等しくなります。△EODの面積は1+2=3なので、△AOEの面積も3です。

以上より、四角形AOFEの面積は、△AOE+△EOF=3+1=4。

平行四辺形ABCDの面積は、△AODの面積の4倍だから、(3+1+2)×4=24。

よって、四角形AOFEの面積は、平行四辺形ABCDの面積の、4÷24=1/6。
6分の1倍です。


例題4:

中点連結定理の3すべての辺の長さが8cmの正三角錐(正四面体ともいえる)がある。点Eは辺BCの中点であり、点Fは辺BDの中点である。点Eから辺ACと辺ADのどちらにも交わるように点Fまで線をひく。
このような線のうち、最も短い点Eから点Fまでひいた線の長さを求めなさい。(平塚江南高)







最短距離「最も短い線」、「最短距離」を求める問題です。

「寄り道しないでさっさと帰りや。」と塾を出る子どもたちに呼びかけます。なぜかというと、(あたりまえのことですが)寄り道をすると家までの道筋が遠くなるからです。直線で2点を結ぶのが一番短い道筋です。
数学的には、三角形の長い辺をa、短い辺をb、cとするとき、a<b+cということになります。

説明のほうも寄り道をしてしまいましたが、最も短い線を求める問題ですから、EからFへ至る直線を求めないといけません。最短距離=直線です。
ところが立体図形の場合、立体に直線は書けません。この問題に与えられた図でも、EからFへ至る線は2箇所で折れ曲がっています。しかし、直線なのです。
では、どうすればよいか。平面にしか直線は書けないわけですから、立体を平面にしてしまいます。つまり、展開図を書けばよいわけです。

展開図
左の図の赤色の直線が最も短い線、EからFへの最短距離です。
E、FがBC、BDの中点ですから、中点連結定理より、EG=4cm、GH=4cm、HF=4cm。
よって、EFの長さは12cmです。






mathematics 三平方の定理(1)(三平方の定理の証明)


直角三角形の直角をはさむ2辺の長さをa、b、斜辺の長さをcとするとき、
三平方の定理
短い辺aの2乗+短い辺bの2乗=長い斜辺cの2乗が成り立つ

これが3つの辺の2乗(=平方)で式ができているので、三平方の定理と呼ばれる定理です。

直角三角形であれば、常に三平方の定理が成り立つことを証明してみましょう。

三平方の定理には数え切れないくらい多くの証明方法があるそうです。
中学生向けの教科書や参考書に記載されているものは、ほぼ3種類に分類できるように思います。

(1)直角三角形を組み合わせて正方形などを作り、面積を2通りの方法で表し、等式を作って証明する
(2)直角三角形の相似を利用して、等式を作って証明する
(3)直角三角形の外にそれぞれの辺を1辺とする正方形を3つかいて、小さい正方形+別の小さい正方形=大きい正方形を証明する

証明1:
三平方の定理の証明(1)台形ABDEの面積を2通りの方法で表してみます。

まず、直接台形の面積を求めます。
上底a、下底b、高さa+bの台形だから、その面積は、(a+b)×(a+b)÷2

次に、台形ABDEの面積を、三角形3つの和として求めます。
△ABCと△CDEの合計は、(a×b÷2)×2

△ACEはすぐには求められません。まず、∠ACE=90度の直角三角形であることを見つけます。
△ABCと△CDEは、AB=CD、BC=DE、∠B=∠D=90度より、2辺とその間の角が等しいから△ABC≡△CDE
よって∠BAC=∠DCE
したがって、∠BAC+∠ACB=90度から、∠DCA+∠ACB=90度
だから、∠ACE=90度
以上より、△ACEは∠ACE=90度の直角三角形です。
△ACEの面積はc×c÷2

同じ台形の面積を2通りの方法で表すことができたので等式にします。

三平方の定理の証明(1)解答
















同じ場所を2通りの方法で表せたら証明できますから、△ACEの面積を2通りに表すことでも証明できます。挑戦してみてください。


証明2:
三平方の定理の証明(2)正方形CDEFの面積を2通りの方法で表せたら証明できます。

まず、1辺a+bの正方形と見て面積を求めると、(a+b)×(a+b)

次に、4つの三角形と、中にある小さい正方形(正方形であることの証明が必要ですが)の和としても求められます。

4つの三角形の面積の和は、(a×b÷2)×4

また、中の四角形BAGHが正方形であることを証明してその面積を求めます。
(正方形であることの証明は少し簡略化して書きます。)
2辺がaとbで、その間の角が90度で等しいから4つの三角形は合同
よって∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90度
また4つの辺の長さはcで等しい
4つの辺の長さが等しく、角もすべて90度だから四角形BAGHは正方形である
よって、面積はc×c

これで2通りの方法で正方形CDEFの面積を表すことができたので、等式を作ります。

三平方の定理の証明(2)解答














同じ場所を2通りの方法で表せたら証明できますから、四角形BAGHの面積を2通りに表すことでも証明できます。挑戦してみてください。


同じような証明を、別の形の正方形をつくって証明することもできます。
三平方の定理の証明(3)
左の図でも2通りの証明の仕方が考えられます。
チャレンジしてみてください。









証明3:
三平方の定理の証明(4)直角三角形の中に相似な三角形を2つつくり、相似を利用して証明することもできます。

Cから底辺ABに垂線を引き、できた△ABC、△ACD、△CBDが相似であることを先に証明します。



三平方の定理の証明(4)解答1△ABCと△ACDにおいて
仮定より、∠ACB=∠ADC(=90度)
どちらの三角形にも共通に含まれるから∠BAC=∠CAD
2組の角がそれぞれ等しいから△ABC∽△CAD

同様に、△ABC∽△CBD

次に辺ABの長さを表す式を2通り見つけることができたら等式をつくることができます。

1つ目は、当然AB=cです。

2つ目は、相似を利用して、ADとDBをa、b、cを使って表し、AB=AD+DBでABを表せないか、考えてみます。
AD=x、DB=yとして式をつくってみましょう。

△ABC∽△ACDより、AB:AC=AC:AD
つまり
三平方の定理の証明(4)解答の1











△ABC∽△CBDより、AB:BC=CB:BD
つまり
三平方の定理の証明(4)解答の2










辺AB=x+y=a2乗/c+b2乗/c

これで、辺ABを2つの式で表すことができました。
最後に等式をつくります。

三平方の定理の証明(4)解答の3














証明4:
三平方の定理の証明(5)a2+b2=c2

が、三平方の定理の式です。

素直に考えたら、直角三角形の各辺を1辺とする正方形の面積を表していると見るのが自然です。

証明4はその観点からの証明です。
ちょっとわかりにくいのが難点ですが、私はこの証明が一番好きです(私の好みなんかどうでもいいですが)。





この証明の目標は、次の図のようになります。
三平方の定理の証明(5)解答の目標
正方形ACIJの面積の半分の△ACJの面積と、長方形ADKHの半分の△ADHの面積が等しいことが言えれば、その2倍どうしの正方形ACIJと長方形ADKHの面積が等しいことが証明できたことになります。
同じように、△CBFの面積と、△HEBの面積が等しいことを論証して、正方形BFGCの面積=長方形HKEBを言います。

これで、小さい正方形の面積+もう1つの小さい正方形の面積=大きい正方形の面積が証明できたことになります。


では、順に証明しましょう。
結構難しいので、頑張らないといけません。


△ACJの面積=△ADHの面積の証明

三平方の定理(5)解答の1まず、△ACJの面積=△ABJの面積を証明します。

∠BCA=∠JAC=90度より、錯角が等しいのでJA//CB
△ACJと△ABJにおいて、底辺はAJで共通
2つの三角形の高さは平行線JAとCBの距離(幅)と等しいから等しい
よって、△ACJの面積=△ABJの面積

次に、△ABJの面積=△ADCの面積を証明します。
正方形ADEBの辺だからAB=AD
正方形ACIJの辺だからAJ=AC
90度+∠CABで共通だから∠JAB=∠CAD
2辺とその間の角がそれぞれ等しいから△ABJ≡△ADC
合同な三角形なので、△ABJの面積=△ADCの面積

最後に、△ADCの面積=△ADHの面積を証明します。
AD//CKより、底辺が共通で高さが等しいので△ADCの面積=△ADHの面積

以上より、△ACJの面積=△ABJの面積=△ADCの面積=△ADHの面積
つまり、△ACJ面積=△ADHの面積

2つある四角形の半分の面積が等しいことが証明できたので
正方形ACIJの面積=長方形ADKHの面積


△BFCの面積=△HEBの証明

三平方の定理の証明(5)解答の2
同じ要領で、左の図を使って、△BFCの面積=△HEBを証明して、正方形BFGC=長方形HKEBを論証してみてください。

まず、△BFCと同じ面積の三角形を見つける。

次に、その見つけた三角形と合同な三角形を見つける。

最後に、その合同な三角形と面積の等しい三角形を見つける。




以上の証明によって、正方形ACIJの面積=長方形ADKHの面積、
正方形BFGCの面積=長方形HKEBの面積、
よって、正方形ACIJ+正方形BFGC=正方形ADEB
つまり、
a2+b2=c2

が、証明できたことになります。



mathematics 三平方の定理(0)(「三平方の定理を証明する」前の雑談2)


三平方の定理の証明に入る前にもう1つ、雑談。
今から話すことは、ある程度経験を経て、少々のことには驚かなくなった人にしか理解できない話かもしれません。

誰かの有名な小説で、鎌倉時代の彫刻家、運慶か快慶かが出てくるおもしろい話があります。
ある人が運慶に尋ねるわけです。
「なぜ、これほど見事な仏像を彫れるのか?」と。
運慶は答えます。
「私は仏像を彫ってはいない。仏像を自分で彫ることなんて誰にもできない。この仏の姿は最初から木の中にあって、私がノミで彫る前から木の中に埋まっていたものだ。私はただ、もとからある仏を隠していた木を剥ぎ取って、埋まっていた仏像を取り出しているだけだ。」

次は、ある人(多分、内田樹さんだったような気がします)の受け売りです。
ニュートンは、試行錯誤して万有引力を発見したわけではない。万有引力があることは、先験的にニュートンにはわかっていた。わかりやすく言うと「生まれたときから」万有引力があって地球上の万物はその影響のもとにあることをニュートンは知っていた。彼が苦労したのは、それを本当に理解することと、他人もわかるように説明することだけだ。

今、日経新聞の『私の履歴書』はノーベル賞を受賞した理論物理学者、益川さん(だったっけ?)です。彼は物理学の大発見「対称性の破れ」理論(だったかな?)で、小林さんとともにノーベル賞をもらったのですが、お書きになったものを読むと、やはり偶然に「対称性の破れ」に遭遇されたわけではない。
師匠の物理学者、坂田さんに示唆されて、原子の対称性が破れていることは初めから「わかっていた」。何十年も実験や研究に時間を費やされたのは、それを人にもわかるように説明するための証拠を集めるため、だけです。

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なぜこんなことを書いたかというと、三平方の定理を証明しようとするとき、いくつかの方法があるのだそうですが、その方法のどれもが、三平方の定理を知らない人が偶然見つけたっていう種類のやり方ではないからです。

非常に技巧的というか、ずるいというか、もとから三平方の定理を知っている人が、こじつけで屁理屈を言っているようにしか(素人には)見えない。

その証拠に、もとの直角三角形1つだけを使って証明している方法は1つもない。何個かの直角三角形を組み合わせて特殊な形をつくったり、相似を無理やり使ったり、「こんなん、誰が思いつくねん!!」という方法しかありません。

いわばインチキ。手品師だけが手品のタネを知っていて、素人はそれにだまされておおおっと驚嘆しているだけ。
腹が立つこと、この上ない。


しかし、それでいいのだというのが、この稿で言いたいことです。

誰も子どもには言ってくれませんが(私も普段は言いません、とうとう完全に壊れたかと思われるのがオチだから)、偉い人は、なぜか「人の知らない真理」をわかって生まれてくるのです。
偉人とは、人生のどこかでその真理をさらにはっきりと「わかって」、それを苦労してわれわれ人類に伝えようとしてくれた人たちなのです。運慶がもとからあった仏像を彫りだしてくれたように。
人は、「知らない」ものを「発見」はできません。

ピタゴラスは、おそらく地面に直角三角形を書いていて、短い辺の2乗と他の短い辺の2乗をたすと長い辺の2乗になることを「発見」したのでしょう。しかし、彼が発見することができたのは、そうなることを最初からなぜか「わかっていた」からです。
そして、ピタゴラスはさらに何年か、苦労して考えて、われわれ凡人に、そうなる理由を「証明」してくれたわけです。


本当は、われわれも、三平方の定理が成り立つことを知って生まれてきているのかもしれません。悲しいことに、人類の歴史が長いばっかりに、いろんな偉い人が「証明」までしちゃってるものだから、私たちは「勉強」でそれを教えてもらわないといけない。

しかし、見方をかえると、世界で一番かしこかったであろうピタゴラスでさえ、今では中学生が習うくらいのことを「発見」しただけで歴史に名を残せた。私たちはピタゴラスより数段上のことを、「勉強」することによって「発見」できている。

そう思って三平方の定理の証明にとりかかると、なぜかうれしくなってきませんか。



mathematics 三平方の定理(−1)(「三平方の定理を証明する」前の雑談1)


ある日の授業後、実際におこなわれた会話。

「子どもに合わせた教え方をしないと力はつかないと思うなぁ。基礎がまだ弱い子は武器を持たない軍隊と一緒だから、計算力をつけるなり、まず武器を持たせないといけない。そこそこできるようになった子にはいろいろ解くためのコツを教えるのが有効。ところが一番よくできる子たちに先に小手先のテクニックを教えるとかえってじゃまになる。できるだけ教えないようにして、原理だけを追究させて、それでばっさばっさと問題を解けるようにしないと、かえって足を引っ張ることになる。」

卒塾生の学生講師A(理系)「ぼくもそう思います。高校のとき、いつも数学が100点の奴がいたんですが、授業中、話はろくすっぽ聞かないで、教科書に出てくる公式を証明することに熱中してましたよ。」

(同席していた卒塾生の学生講師(文系)に向かって)「君はその反対やったなあ。」

卒塾生の学生講師B(文系)「ええ、ええ。どうせぼくは数学ができなかったって言いたいのでしょう?公式とは、天から降ってきて無条件に覚えて使うものだと思ってました。だから、試験前の辛かったこと・・・。」

「そのかわり、君は小5で、大阪から東京までJR東海道線の駅の名前を全部言えたがな。」

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教える人間は、まだ自分の領域に達していない人には「教える」ことができますが、自分を超える人には教えることなんかできません。じゃあ、そういう人にはどう勉強させたらいいかっていうと、教える人間よりもっと賢い人の真似をしてもらうしかない。

「学ぶ」は「まねぶ」、習うこととは真似(まね)をすることだとよく言われます。
その伝でいくと、指導者の上をいく弟子には、指導者よりずっと賢い人の真似をしてもらうしか方法はないわけです。

三平方の定理、別名ピタゴラスの定理ですが、どうやってその定理が生まれたのか、どのテキストにも最初にその証明が載っています。

今からおよそ2000年ほど前、私たちの祖先が今日はイノシシを食えるかなあくらいのことしか考えていなかった時代に、ギリシャのピタゴラスはこんな高尚なことを考えていたわけです。多分、ピタゴラスはその当時の世界で一番賢い人だったはずで、その人の真似、その人の考えたことをたどることができたら、それは世界で一番賢い人がどのように物事に対処したかをトレースすることになる。

これこそ、私のような凡人の指導者を越えていく「生徒」の勉強法であろうし、そういう人にはこの勉強法しかないであろうというのが、私の今思っていることです。

というわけで、普通、学校でも塾でもさらっとふれるだけであまり長くは時間をかけない三平方の定理そのものの証明を、じっくりと考えてもらおうと思います。



mathematics 相似(4)(面積と比:面積比は、となりあった三角形で求める)


相似ではない(形が同じわけではない)のですが、相似の分野で、あるいは相似の問題中に出題されるものに、「となりあった三角形の面積の比」の問題があります。

面積の比の説明左の図で、左の三角形の面積S1=a×h÷2
右の三角形の面積S2=b×h÷2
よって、S1:S2=a:b

つまり、となりあった三角形の面積の大きさは高さが共通なので底辺の比に比例する
となりあった三角形で底辺の比がa:bであれば面積もa:bになる、ということです。

この定理(定理といえるほどたいしたものかどうかはおいといて)を使うときの注意点は、となりあった三角形でしか使えない、言い換えればとなりあった三角形を見つけていけば簡単に面積の比がわかる、ということです。

では、もっとも基本的な問題から練習していきましょう。

例題1:左の図の三角形ABCで、辺BC上の3等分点をD、Eとし、点AとEを結ぶ。点DからAEに平行な直線をひきへんABとの交点をFとし、点EとFを結ぶ。このとき、次の(1)〜(4)の面積が△ABCの面積の何倍になるかを答えなさい。
面積の比
(1)△AEC

(2)△AFE

(3)△FDE

(4)△FBD





解答:
順にとなりあった三角形を見つけていけば(慣れたら簡単に)解ける問題です。

(1)△AEC
面積の比(1)
仮定の3等分を、1という数字を入れて記入しておきます(比を使いたいので、数字を書きこんだほうが便利)。

△BDF∽△BEAですからBF:FAも1:1です。BD:DE:ECの1:1:1とは別の比なので、違う比だということがわかるように、私はマルで囲むようにしています。

△ABEと△AECがとなりあっていて、底辺BE:EC=2:1なので、2つの三角形の面積の比も△ABE:△AEC=2:1
全体の三角形ABCの比は2+1=3
△AECが△ABCの何倍かという問題なので、△AECのの比を、基準になる△ABCの比でわり算して1÷3=1/3(なぜこんな面倒くさい説明を?と思われるかもしれませんが、実際の入試問題をやらせてみると何倍かという問題で間違って逆数を答える例が続出します(この問題だと3倍という誤答)。式をきちんと確認しておくと間違いを防ぐことができます。)


(2)△AFE

面積の比(2)
今度は、△AFEととなりあっている三角形は△FBEなので、この2つで解いていきます。

AFとFBが底辺であることに気づけば簡単です。

(1)で、△ABEの面積の比が2であったことも使います。

底辺AF:FB=1:1で、2つの三角形を合わせた△ABEの面積が2なので、△AFEの比も△FBEの比も1:1で2を分けて1。

よって、1÷3より、△AFEは1/3倍。


(3)△FDE

面積の比(3)
(2)で、△FBEの面積の比が1であったことを使います。

底辺BD:DE=1:1より、1の比を1:1で分けて△FDEの比は0.5(分数だと1/2)。

0.5÷△ABCの3で、1/6。



(4)△FBD

(3)と同様で、1/6


コツがつかめたでしょうか?
次は、面積の比のもっとも典型的な問題で、できるかどうか確認してみましょう。

ここでは、一番小さいところの面積とおくと、やっかいだった問題が格段に解きやすくなることも学んでください。

例題2:左の図で、△ABCの2辺AB、ACの中点をそれぞれM、Nとし、MC、NBの交点をOとする。このとき、次の問いに答えなさい。

面積の比の2
(1)△AMNと△MBOの面積の比

(2)△ABCと△OBCの面積の比

(3)△ABCと台形MBCNの面積の比







解答:

(1)△AMN:△MBO

面積の比の2(1)
まず、AM:MB=1:1より、△AMN:MBN=1:1

次に、△AMN∽△ABCで相似比1:2だからMN:BC=1:2(または、中点連結定理よりMN:BC=1:2)
△MON∽△COBだからNO:OBも1:2
よって△MON:△MBO=1:2

以上より、一番小さい△MONの面積をとすると、△MBOの面積は2、△AMNの面積は△MBNと同じで1+2の3。

以上より、△AMN:△MBO=3:2


(2)△ABC:△OBC

面積の比の2(2)
△NOCの面積を1と考える。

NO:OB=1:2より△NOM:△OBC=1:2
よって、△OBCの面積は2

そうすると△NBCの面積は△NOC+△OBCだから1+2=3

さらに、AN:NC=1:1だから△NBC:△ABN=1:1
つまり、△ABNの面積も△NBCと同じ3

最後に、△ABCの面積は△ABN+△NBCだから3+3=6

よって、△ABC:△OBC=6:2=3:1


(3)△ABC:台形MBCN

面積の比の2(3)
番小さい三角形の面積とおいて、他の三角形の面積を数字で表してみます。
MO:OC=1:2より△NOCは
NO:OB=1:2より△MBOも
NO:OB=1:2より△OBCは
AM:MB=1:1だから△AMNは1+2=

以上の数字を使って、△ABC=12

台形MBCN=1+2+2+4=

よって、△ABC:台形MBCN=12:9=4:3


最後に、ややむずかしめの入試問題に挑戦です。

例題3:図の平行四辺形ABCDにおいて、Eは辺BC上の点で、Fは線分ACと線分DEの交点である。また、点G、Hはそれぞれ線分AE、辺DC上にあり、線分GHと線分AC、DEとの交点をそれぞれI、Jとする。∠BAE=∠DAE、AG:GE=DH:HC=3:5、AB=4cm、AD=6cmであるとき、次の問いに答えなさい。(清風南海高)

面積の比(清風南海)
(1)線分IJの長さを求めなさい。

(2)△FIJの面積は平行四辺形ABCDの面積の何倍かを求めなさい。




(1)線分IJの長さの求め方

私が受験生なら、解き始める前に左の図の状態まで準備をします。

清風南海(1)∠BAE=∠DAE(図の赤丸)を書き込んだとき、錯角で∠AEBにも同じ印(図の黒丸)をつけておくかどうかが解けるかどうかの分岐点です。
そうすると、△BEAが二等辺三角形だとわかりますから、BE=4を書き込むことができ、EC=2もわかってきます。

この書き込みで、△ACDと△DECで解けそうだという見通しがたちます。
IJはIH−JHで求められるからです。

まず、△ICH∽△ACDよりIH:6=5:8
8IH=30
IH=15/4

次に△DJH∽△DECより、JH:2=3:8
8JH=6
JH=3/4

以上より、IJ=IH−JH=12/4=3


(2)△FIJの面積は平行四辺形ABCDの面積の何倍かの求め方

いくつかの求め方ができるんですが、今日のテーマに忠実に解いていきましょう。

清風南海(2)まず、必ず(1)の答えを使うはずなので(数学の問題の大原則)IJに3cmを記入します。
次に、一番小さい△FECを1とおきます。

求めないといけないのは△FIJですが、「となりあう三角形」がありません。そこで、△FECから解いていくこと、EF:FJを使いたいことから、JCを結びます。
そうすると、EC=2cm、IJ=3cmより、EF:FJ=2:3
△FEC:△JFCも2:3だから、△FEC=1なら△JFC=3/2(=1.5)
次にCF:FIも2:3だから、△JFC:△FIJも2:3
よって△FIJは3/2×3/2で9/4(=2.25)
ここまでで、△FIJの(△FECをもとにしたときの)比9/4を求めることができました。

次に、平行四辺形の面積の(△FECをもとにしたときの)比を求めます。
EF:FD=2cm:6cm=1:3
だから、△FEC=1なので、△DFC=3
さらに、CF:FA=1:3だから△DFC:△AFD=1:3、△DFC=3なので△AFD=9
△AFD+△DFC=9+3=12
△AFD+△DFC=△ACD=12
平行四辺形ABCDの半分の△ACDGが12だから、平行四辺形の(△FECをもとにしたときの)面積の比は24

やっと、こっちもやっつけることができました。

最後は慎重に、「△FIJの面積は平行四辺形ABCDの面積の何倍か」だから、9/4÷24=3/32



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