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math 【超速まとめ】 連立方程式の利用(代金・2けたの整数・年齢・速さ・割合・食塩水)


「連立方程式の利用」の章を一目で理解できるように、重要事項を最も簡単にまとめました。

1、問題を解くときの順序
(1)何をxとyにするかを決める(ふつう、問題文の最後で「求めなさい」と書かれているものをx、yにする)

(2)問題文中で、「文章を等式に表せる部分」を2か所見つけて、等式2つ作る

(3)作った連立方程式を、もっとも簡単な解き方・方法で解く

(4)求めた連立方程式の解が答えとしてふさわしいかどうかを確認して、単位をつけて答えを書く


2、個数や値段の問題(基本)
例題1:1本80円の鉛筆と1本100円のボールペンを合わせて8本買い、700円払った。買った鉛筆とボールペンの本数をそれぞれ求めよ。

(1)鉛筆の本数をx、ボールペンの本数をyとする

(2)「合わせて8本買い」から、本数を表す等式、x+y=8を導く
「700円払った」から、代金を表わす等式、80x+100y=700を導く

(3)連立方程式を解く
x+y=8…(1)
80x+100y=700…(2)
(2)の式の両辺を10でわって、8x+10y=70
(1)の式の両辺を8倍して、8x+8y=64
この2式を加減法で解いて、y=3、x=5

(4)答えは、鉛筆5本、ボールペン3本


3、2けたの整数の問題(基本)
例題2:2けたの正の整数がある。その整数の十の位の数と一の位の数の和は13である。また、十の位の数と一の位の数を入れかえてできる整数は、もとの整数より27大きい。もとの整数を求めよ。

(1)中1の文字式で学んだことを思い出して、もとの整数である2けたの整数10x+yとする

(2)「その整数の十の位の数と一の位の数の和は13」から、x+y=13(「十の位の数」は「十の位を表す数字」つまりxであって10xではない、10x+y=13は一番多い間違い)
「十の位の数と一の位の数を入れかえてできる整数は、もとの整数より27大きい」から、10y+x=10x+y+27(「入れかえてできる整数」は10y+x、「もとの整数」は10x+y

(3)連立方程式を解く
x+y=13…(1)
10y+x=10x+y+27…(2)
(2)の式の10x、yを左辺に移して-9x+9y=27
さらに両辺を9でわって、-x+y=3
この式と(1)のx+y=13の2式を加減法で解いて、x=5、y=8

(4)答えは、問題文「もとの整数を求めよ」から、58


4、年齢の問題(基本)
例題3:現在、父親の年齢は子どもの年齢の3倍であるが、15年後には父親の年齢が子どもの年齢の2倍になる。現在の父親の年齢と子どもの年齢を求めよ。

(1)現在の父親の年齢をx、現在の子どもの年齢をyとする

(2)「現在、父親の年齢は子どもの年齢の3倍である」から、等式のx=3yを導く
「15年後には父親の年齢が子どもの年齢の2倍になる」から、等式のx+15=2(y+15)を導く(15年後、父親の年齢はx+15、子どもの年齢はy+15である)

(3)連立方程式を解く
x=3y…(1)
x+15=2(y+15)…(2)
(2)の式の()をあけて、式を整頓して、x-2y=15
(1)の式の形から代入法で解くこと決めて、x-2y=15の式にx=3yを代入する
この式を解いて、y=15、(1)のx=3yに代入してx=45

(4)答えは、現在の父親は45歳、子どもは15歳


5、速さの問題(基本)
例題4:峠をはさんで18km離れたA・B両地がある。ある人がA地からB地へ行くのに、A地から峠までは毎時4km、峠からB地までは毎時6kmの速さで歩いたら全部で4時間かかった。A地から峠まで、峠からB地までの距離をそれぞれ求めよ。

(1)A地から峠までの距離をxkm、峠からB地までの距離をykmとする

(2)「18km離れたA・B両地がある」から、距離を表す等式、x+y=18を導く
「A地から峠までは毎時4km、峠からB地までは毎時6kmの速さで歩いたら全部で4時間かかった」から、時間を表わす等式、x/4+y/6=4を導く

(3)連立方程式を解く
x+y=18…(1)
x/4+y/6=4…(2)
(2)の式の両辺に分母の公倍数12をかけて、3x+2y=48
(1)の式の両辺を2倍して、2x+2y=36
この2式を加減法で解いて、x=12、y=6

(4)答えは、A地から峠まで12km、峠からB地まで6km


6、割合の問題(基本)
例題5:ある中学校の昨年の生徒数は男女合わせて350人であったが、今年は昨年と比べて男子が10%増加し女子が5%減少したので、男女合わせて358人になった。今年の男子、女子の生徒数をそれぞれ求めよ。

(1)問題文は「今年の男子、女子の生徒数をそれぞれ求めよ」とあるが、昨年の男子の生徒数をx人、女子の生徒数をy人とする(「過去・今」の問題は、「今を求めよ」とあっても「過去」のほうをx、yとする)

(2)「昨年の生徒数は男女合わせて350人であった」から、昨年の人数を表す等式、x+y=350を導く
「今年は男子が10%増加し女子が5%減少したので、男女合わせて358人になった」から、今年の人数を表わす等式、1.1x+0.95y=358を導く(「10%になった」ではなくて「10%増加した」だから、0.1xではなくて、(1+0.1)xつまり1.1x、同様に、「5%減少した」だから、(1-0.05)yつまり0.95y

(3)連立方程式を解く
x+y=350…(1)
1.1x+0.95y=358…(2)
(2)の式の両辺を100倍して、110x+95y=35800
(1)の式の両辺を110倍して、110x+110y=38500
この2式を加減法で解いて、y=180、x=170

(4)連立方程式のは「去年の男子、女子」であり、問題文には「今年の男子、女子の生徒数をそれぞれ求めよ」とあるから、答えは、男子は170×1.1=187人、女子は180×0.95=171人


7、食塩水の問題(基本)
例題6:4%の食塩水と8%の食塩水がある。この2種類の食塩水を混ぜて、5%の食塩水を400gつくりたい。2種類の食塩水をそれぞれ何g混ぜればよいか。

(1)4%の食塩水をxg、8%の食塩水をygとする

(2)「食塩水を400gつくりたい」から、食塩水を表す等式、x+y=400を導く
「2種類の食塩水を混ぜて、5%の食塩水を400gつくりたい」から、食塩水にふくまれる食塩を表わす等式、0.04x+0.08y=0.05×400を導く(食塩を表す式は%×食塩水であり、%×食塩水+%×食塩水=%×食塩水の式を作る)

(3)連立方程式を解く
x+y=400…(1)
0.04x+0.08y=0.05×400…(2)
(2)の式の両辺に100をかけて、4x+8y=2000、さらに両辺を4でわって、x+2y=500
(1)の式のx+y=400と、(2)の式を変形したx+2y=500から
この2式を加減法で解いて、x=300、x=100

(4)答えは、4%の食塩水が300g、8%の食塩水が100g



(数学の、さらに詳しい説明はこちらの目次からたどってご覧ください。)


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