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math 大阪府23年後期B 大問4 平面図形


平成23年度後期B問題・平面図形の問題は、暗記カードをモデルにした問題でした(例年と同様、暗記カードであることは問題を解くのに関係ありません単語帳)。



大問4図1において、四角形ABCDはAB=6cm、AD=11cmの長方形である。Iは、辺ABの中点である。Pは、長方形ABCDの内部の点であっ図1て、Iを通り辺ABに垂直な直線上にあり、PI=2cmである。このとき、AD//IPである。線分PJと四角形EFGHとは、それぞれ線分PIと長方形ABCDとを点Pを中心として同じ向きに同じ角度だけ回転させたものである。このとき、PI=PJ、長方形ABCD≡長方形EFGHである。Gは、直線EHについてAと反対側ににあって、直線ADについてCと反対側にある。K,L,M,Nは、それぞれ辺ABと辺EF、辺ABと辺EF、辺BCと辺EF、辺ADと辺FGとの交点である。このとき、Pは直線LN上にある。
次の問いに答えなさい。答えが根号をふくむ形になる場合は、その形のままでよい。


(1)PとCとを結んでできる線分PCの長さを求めなさい。


(解き方と解答)
まず、問題を読んで必要なことを図にかき込んでおきます。
図1の2
かき込んだ図をながめて、どうやって解くかの方針を立てます。

図形の問題ですから、解くのに使う道具は『相似』か『三平方の定理』です。

図をながめると、Pから辺BCに垂線をひくことで、三平方の定理が使えることに気づきます。





三平方の定理より、PC^2=3^2+9^2
図1の3PC^2=9+81
PC^2=90
PC>0より、
PC=√90
PC=3√10


PC











(2)次の「証明」は、まず、△PIL≡△PJLであることを証明してから、IL=JLであることを示し、その後、IL=JLであることを用いて△KEL≡△MBLであることを証明したものである。次の「証明」における( )から適しているものを一つ選び、記号を書きなさい。また、「証明」における(b)の部分に△KEL≡△MBLであることの証明を書き加え、「証明」を完成させなさい。

「証明」
△PILと△PJLにおいて
PL=PL(共通)・・・(あ)
PI=PJ(仮定)・・・(い)
∠PIL=∠PJL=90°(仮定)・・・(う)
(あ)(い)(う)より、( ア 直角三角形の斜辺と他の1辺  イ 直角三角形の斜辺と一つの鋭角  ウ 2辺とその間の角 )
がそれぞれ等しいから △PIL≡△PJL
よって IL=JL
(     b     )



(解答)
図1の4
「証明」
△PILと△PJLにおいて
PL=PL(共通)・・・(あ)
PI=PJ(仮定)・・・(い)
∠PIL=∠PJL=90°(仮定)・・・(う)
(あ)(い)(う)より、( ア 直角三角形の斜辺と他の1辺  イ 直角三角形の斜辺と一つの鋭角  ウ 2辺とその間の角 )(正解はア)
がそれぞれ等しいから △PIL≡△PJL
よって IL=JL
( b △KELと△MBLにおいて、
対頂角は等しいから、∠KLE=∠MLB・・・(1)
長方形の角だから、∠KEL=∠MBL・・・(2)
また、BI=3cm、EJ=3cm
IL=JLだから、
EL=EJ-JL、BL=BI-ILより、EL=BL・・・(3)
(1)(2)(3)より、1辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
△KEL≡△MBL


(3)EL=2cmであるときの線分ANの長さを求めなさい。求め方も書くこと。

(解き方と解答)
また、図に必要な数値をかき込みます。
図1の5
特に、求めるANにxとかき込むのが大事です。
xをかき込むことで、△LPI∽△LNAを利用できることがわかります。

(求め方)
El=2cmであり、△KEL≡△MBLだから、BL=2cm
よって、IL=1cm
IP//ANだから、IP:AN=LI:LA
2:x=1:1+3
2:x=1:4
x=8cm




*****数学の全目次はこちら、ワンクリックで探している記事を開くことができます*****


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