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mathematics 三平方の定理(5)(空間図形と三平方の定理)


直方体の対角線


直方体の内部を通る、頂点と頂点を結ぶ線分が直方体の対角線です。

縦の長さがa、横の長さがb、高さがcの直方体の対角線を、三平方の定理を使って求めてみましょう。
直方体の対角線








直方体の対角線(1)まず、線分BDの長さを求めます。
△ABDは直角三角形だから、三平方の定理より
直方体の対角線(2)





次に直方体の対角線BHの長さを求めます。
△BHDは∠BDH=90度の直角三角形です。よって、
直方体の対角線(3)










つまり、縦がa、横がb、高さがcの直方体の対角線の式は、

直方体の対角線(4)
です。




重要例題1:AB=AD=4、AE=6の直方体ABCD−EFGHがある。点P、Qはそれぞれ辺BF、DHの中点である。四角形APGQで直方体を切断するとき、次の問いに答えなさい。
直方体の対角線(5)
(1)四角形APGQの周の長さと面積を求めなさい。

(2)切断された頂点Cを含むほうの立体の体積を求めなさい。










(1)四角形APGQの周の長さ
例題1(1)
△AQDは∠ADQ=90度の直角三角形であり、AD=4、DQ=3より、AQ=5

同様にAP=PG=GQ=5

よって周の長さは20






四角形APGQの面積

直方体の対角線(6)四角形APGQは、AP=PG=GQ=QAより、ひし形です。
面積は対角線×対角線÷2で求めることができます。

ひし形APGQの対角線AGは、直方体ABCD−EFGHの対角線でもあります。







よって、公式

直方体の対角線(4)
より


直方体の対角線(7)












また、もう一つの対角線PQはBDと等しくなりますから、AB:AD:BD=1:1:√2を使ってBD=4√2

以上より、四角形APGQの面積は、2√17×4√2×1/2=4√34


(2)四角形APGQで切断された立体の体積

もとの直方体の体積の半分です。

4×4×6×1/2=48



円錐と三平方の定理

円錐で知っておいたほうがよいこと

円錐体積は底面積×高さ×1/3で求められます。

表面積=底面積+側面積です。
底面積=r×r×π、こちらは簡単ですが、側面積は少々やっかいです。









側面積の求め方1:
円錐の展開図円錐の展開図で考えます。
中1のとき、おうぎ形の面積を求める公式、半径×弧×1/2を習いました。
側面積Sはおうぎ形なので、半径にあたる母線l×弧(赤い線)×1/2で求めることができます。
そして、赤い線の弧の長さは下の小さい円Osの円周と等しくなります。
以上より、側面積S=おうぎ形の半径l(円錐の母線)×おうぎ形の弧(底面の円周)×1/2
S=l×2πr×1/2
=l×r×π

側面積の求め方2:
円錐の展開図やはり円錐の展開図で考えます。

円O(点線の円)の面積は半径l×l×πです。
側面積であるおうぎ形は、その円の一部です。
円の何分のいくらかを考えます。
円周に対する弧の割合がわかれば、円の何分のいくらかがわかります。
円Oの円周は直径×π、l×2×π。
弧の長さは小さい円Osの円周と等しいのでr×2×π。

以上より、おうぎ形の面積は円Oの面積のr×2×π/l×2×π、つまりr/lにあたることがわかります。

円Oの面積はl×l×πですから、おうぎ形の面積はそのr/l、すなわちl×l×π×r/l=l×r×π

よって側面積S=l×r×π

いずれにしても、側面積は、l×r×π(母線×半径×π)と、公式化して覚えておいたほうがよいように思います。


円錐の体積と表面積

円錐の側面積左図の、底面の半径3、母線の長さ9の円錐の場合、

体積は、底面積×高さ×1/3より
高さをxとすると、三平方の定理より6√2
3×3×π×6√2×1/3
=18√2π

表面積は、側面積+底面積より
9×3×π+3×3×π
=36π




重要例題2:底面の半径が5、母線の長さが13の円錐に球が内接している。球の半径を求めなさい。

円錐と球
















(解き方)円錐の高さADは12(5:12:13の直角三角形であることに気づくと瞬時に求められます)。

また、△ABDと△AOPは
∠ADB=∠APO=90度
∠BAD=∠OAP
より△ABD∽△AOP

対応する辺の比が等しいので
AB:AO=BD:OP
すなわち、13:(12−r)=5:r
5(12−r)=13r
60−5r=13r
−18r=−60
r=10/3


(俊英塾U先生の別解)
三平方(5)笛吹
△ABCの面積は10×12×1/2=60

また、△ABC=△ABO+△OBC+△AOC
半径をrとすると
13×r×1/2+10×r×1/2+13×r×1/2
=(13+10+13)×r×1/2
=36×r×1/2
=18×r

以上より等式をつくり
18r=60
r=10/3

「高1で習う数Aで、S=1/2(a+b+c)rという公式が出てきます」とのことです。



最短距離と三平方の定理

まわって進むよりまっすぐ進むほうが近道です。
2点の最短距離は2点を通る線分をひくことで求められます。
空間図形でも原理はかわりません。

最短距離左の直方体で頂点から頂点へ糸をぴんと張ったとき(このとき糸の長さは最も短くなります)、糸は直線になっています。
空間図形では直線であることがわかりにくいので、展開図をかいて平面で考えたらわかりやすくなります(空間図形の問題を解くときは平面にして取り出して考えるのが基本です)。



最短距離展開図この展開図ではすべての面を記入しましたが、実際に問題を解くときは必要な面だけ(青色の線の部分)をかけば十分です。

直角三角形ができるので、三平方の定理を使うことができます。









重要例題3:底面の半径BOが3、母線の長さABが6の円錐がある。母線ACの中点をPとする。
円錐と最短距離(1)点Bから点Cまで、側面上を半周してひもをかける。ひもの長さが最短になるときのひもの長さを求めなさい。

(2)点BからPまで、側面上を半周してひもをかける。ひもの長さが最短になるときのひもの長さを求めなさい。







(解き方)展開図をかきます。
母線が6、底面の半径が3で2:1なので、側面の中心角は180度になります。
展開図上、直線で表された部分が最短の長さになります。
円錐と最短距離展開図
(1)線分AB=6、AC=6の直角三角形で1:1:√2が使えるので線分BC=6√2

(2)AB=6、AP=3の直角三角形。BPの長さをxとして三平方の定理を使う。
計算すると、BP=3√5









体積を2通りの方法で求めて等式をつくって解く問題

重要例題4:1辺が6の立方体ABCD−EFGHがある。次の問いに答えなさい。

立方体と三平方
(1)3点A、F、Cを頂点とする△AFCの面積を求めなさい。

(2)三角錐B−AFCの体積を求めなさい。

(3)点Bから面AFCにひいた垂線BHの長さを求めなさい。










(解き方)空間図形でもっともよく出る問題の1つです。

(1)△AFCは、正方形の対角線を3辺とする三角形なので正三角形です。1:2:√3を使って、まず高さ、それから面積を求めます。
簡単に正三角形の図をかいて求めます。

正三角形1:1:√2よりAC=AF=FC=6√2

正三角形の高さは、1:2:√3より3√6

面積=6√2×3√6×1/2=9√12=18√3



(2)よく出題される問題です。
三角錐
三角錐B−AFCと書いてあっても、三角形AFCを絶対の底面だと思う必要はありません。

面ABCと辺BFが垂直ですから、面ABCが底面で、BFを高さと見ることもできます。

「見方をかえて」解く問題です。

三角錐なので体積=底面積×高さ×1/3。

底面積ABC=6×6×1/2=18
高さは6

よって18×6×1/3=36

(3)1番の、△AFCを正三角形とわかること、その正三角形の面積を求めること、2番の三角錐の体積を上手に求めること、どれも重要で良い問題ですが、さらに、その結果を活用するよくできた問題です。

(2)で、すでに三角錐B−AFCの体積はわかっています。
ところが、見方をかえて、△AFCをこの三角錐の底面と見ると、今度はBHが高さになります。
つまり、三角錐B−AFCの体積を2通りの式で表せるわけで、等式をつくることができますから、方程式と考えて解くことができます。

底面積を△AFCと考え、高さのBHをhとすると、三角錐の体積は18√3×h×1/3
底面積を△ABCと考えると体積は(2)より36
等式にして
6√3h=36
h=36/6√3
h=6/√3
分母を有理化して
h=2√3




(U先生に教えられてわかったのですが、Hの記号を別々の2箇所に使ってしまっていました。後日、訂正します。)



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